第1章 质点的运动及其运动定律

位矢r的值为
r rv x2 y2 z2
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
2 运动方程
r(t)

x(t)i
y(t)
j
z(t)k
z
y
r P
o x
yP
limtv0n
t

t 0
lim
vtt

t0 t
t0 t
v2 r
en

an en
dv dt
et

at
et
a
dv dt
atet
anen
v2
en
et
v1
o r
v2vt vvv1n

第一章 质点运动学
1 – 2 圆周运动 切向加速度（速度大小变化引起）
dv 0
dt
第一章 质点的运动及其运动定律
vv(t) O vv(t dt) dvv
所以 a dv dt
1 – 1 质点运动的描述
例 某质点的运动方程为 x =2t7t3+3（SI），
则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向
(B) 匀加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向
(C) 抛物线运动
(D) 一般曲线运动
第一章 质点的运动及其运动定律
[B]
1 – 1 质点运动的描述 五 求解质点运动学的两类问题
(一) 由质点的运动方程求质点在任一时刻 的位矢、速度和加速度；
(二) 已知质点的加速度以及初始速度和初 始位置, 求质点速度及其运动方程 .
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
第一章 质点的运动及其运动定律
1rrBA–1xx质BAii点运yy动BA的jj 描述
位移 r rB rA

y
yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
(xB xA)i (yB yA) j o xA
xB x
若质点在三维空间中运动
xB xA
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
讨论
一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
dr （B） dt
d r
（C）
dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
A
tv时间内r, 质点x的i平均y速j度
o
r(t)
x
或
vtvxit
v
y
t j
平均速度 vv 与 r同方向.
平均速度大小 v (x)2 (y)2 t t
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度，
P1 rs P2
决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量
r(t1)
r
r(t2 )
性和r叠加性xi.
yj
zk
z
O
P1(x1, y1, z1)
x
r x2 y2 z2
注意 r r
P2 (x2 , y2 , z2 ) 位矢长度的变化
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
at

dv dt

r

d2s dt2
法向加速度（速度方向变化引起）
an

v
2r

v2 r
y v
a en et
o
x
➢ 圆a周运动a加te速t 度anen

dv dt
et
v2 r
en
第一章 质点运动学
a
a与
et 夹角at2
1） 平均加速度
单位时间内的速度增
量即平均加速度
av vv
av
与 vv
t
同方向
.
2）（瞬时）加速度
av lim vv dvv t0 t dt
y vvA
vvB
B
A
O
x
vvA
vv
vvB
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
加速度
av
dvv dt
d 2 rv dt 2
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
是而不位移唯一r的是, 唯可一以的是.s或s
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
y
s'
p1 rs p2
r(t1)
r(t2 )
vr s
O
z
x
（C）什么情况 r s？

dvx
i
dv
ห้องสมุดไป่ตู้
y
dt dt
j
加速度大小 a lim v t0 t
ax2

a
2 y
质点作三维运动时加速度为
av

v axi

ay
v j

v azk
加速度大小
ax

dvx dt

d2x dt 2
ay

dvy dt

d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az

vB
r
o en
B vA rAet
t 0, 0, v v
a
ddvt
v2 r
en


2ren
法向单 位矢量
vB
v

vA
第一章 质点运动学
1 – 2 圆周运动
三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度
a limvvvt tlimvnvn
r
(xB

xA)i
( yB

yA)
j
(zB

z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
位移的物理意义
y
A) 确切反映物体在空间
位置的变化, 与路径无关，只
第一章 质点的运动及其 运动定律
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
一 参考系 质点 1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
➢ 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动的相对性.
➢ 坐标系：参考系的数学抽象. 2 质点
如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
dt
速率
vddst ltim0st rltim0t
v r
y
B
r A o x
角加速度 d
dt
第一章 质点运动学
1 – 2 圆周运动
二 匀速率圆周运动
v r vr
加速度大小
a

v t
lim
v r
v
r t
v2
t0 t r
vv ac cb vn vt
vn ac
速度方向变化
vt cb
速度大小变化
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
讨论
问 av a dv 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0
而
dt
a a
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
太阳 r
地
R球
地球
绕
太
阳
公
转
地——日间平均距离 r ：1.5 ×108 km
地球半径 R ： 6.37 × 103 km r
➢ 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
x x(t) 分量式 y y(t)
y(t)
r(t )
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z (t )
x(t )
x
f (x, y, z) 0
z
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
例如：已知一质点的位矢为
r(t)

3t
2
i
4t 2 j
(m)
求该质点的运动轨迹方程。
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
y
j
r
*P
r
xi
yj
zk

z
o
k
i
x
x
式中 i、j 、k 分别为x、y、z z
方向的单位矢量.
简称速度
v
lim
r
dr
r
t0t xi yj
dt
y vy v
vx
v瞬时dd速xt i率：dd速yt度j vv的v大xi小称vy为j速率ovx vy
x
v v ( dx)2 ( dy )2 dt dt
第一章 质点的运动及其运动定律
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 .
y

o
A
r
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
x r cos y r sin
第一章 质点运动学
1 – 2 圆周运动
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 d
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 dr ds .
（D）位移是矢量, 路程是标量.
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
三 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点 B, 其位移为


y
r (t

t)
B
rs
r r(t t) r(t)
(C) 变加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向
(D) 变加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向
第一章 质点的运动及其运动定律
[D]
1 – 1 质点运动的描述
表达练式习为一r质点a在t平2i面上b运t 2动j（，其已中知a质、点b为位常置量矢）量则的
该质点作
(A) 匀速直线运动
(B) 匀变速直线运动
1 – 1 质点运动的描述
当 t 0 时，dr ds
v
ds dt
et
v ds dt
当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方 向就是沿该点曲线的切线方向 .
第一章 质点的运动及其运动定律
v
1 – 1 质点运动的描述
平均速率 v s t
瞬时速率 v ds dt
讨论
y
第一章 质点的运动及其运动定律
(二) 已知运动状态确定运动方程；
第一章 质点运动学
1 – 1 质点运动的描述
例：一质点沿 x 轴运动，其加速度为a 4t (SI) ，
已知 t 0 时，质点位于x0 10m 处，初速 v0 0
试求其位置和时间的关系式
a dv 4t dt
0vdv 0t4tdt
例如：已知一质点的位矢为
x y

3t 2 4t 2

y

4 3
x
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
3 位移
y
rvA A
r rvB
B
y

yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
把B 的由位经始移过点矢时A量间指间,向简隔终称点位t B后移的,. 有质向点线位r段置r矢量rB发称生为r变点A 化A,到
dvz dt

d2z dt 2
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述
讨论 vv v 吗？
vv vv(t t) vv(t) v v(t t) v(t)
a
vv(t)
vv b
vv(tc t)
在Ob上截取 oc oa
有
v cb
O
r(t t)
B s r
r(t) A
o
x
一瞬质时点速在 率平 为面v，上某作一一时般间曲内线的运平动均，速其度瞬为时vr速，度平为均vr速，率
为v ，它们之间的关系必定有 ( )
A. vr v, vr v
B. vr v, vr v
C. vr v, vr v
D. vr v, vr v
v dx 2t 2 dt
dv 4tdt
v 2t 2
xdx t2t 2dt
10
0
x 2t 3 / 3 10 （SI）
第一章 质点运动学
1-2 圆周运动
第一章 质点运动学
1 – 2 圆周运动
平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
运矢动r，与某时x刻轴它之位间于的点夹A 角.位
积分
积分
第一章 质点的运动及其运动定律
1 – 1 质点运动的描述 (一) 已知运动方程求运动状态量； 例：一质点沿x轴运动的位置与时间的关系由方程 x=50t+5t2 确定，式中x的单位为m，t的单位为s，计算： (1) 质点在运动的最初3s内的平均速度； (2) 质点在t=3.0s时的瞬时速度； (3) 质点在运动的最初3s内的平均加速度； (4) 质点在t=3.0s时的瞬时加速度。