关键路径与最短路径_C

总之，关键路径的求解操作包括： 1）计算 ve[j] 和 vl[j]
① 向汇点递推
ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max { ve(i)+ dut(<i, j>)} ② 向源点递推 vl(汇点) = ve(汇点);
vl(i) = Min { vl(j) – dut(<i, j>)} 2）判断 l(i) = e(i)的活动（关键活动）
如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过
程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：
1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0<=i<n-1）;
2）在算法中增加一个计算vi的直接后继vj的最早发生 时间的操作：若 ve(i)+dut(<i,j>) > ve(j), 则 ve(j) = ve(i)+dut(<i,j>)； 3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值， 需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要 在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则 在计算求得各顶点的 ve 值之后，从栈顶至栈底便为逆拓 扑有序序列。
关键路径
对整个工程和系统，人们关心的是两个方面
的问题：
1）工程能否顺利进行
对AOV网进行拓扑排序
2）估算整个工程完成所必须的最短时间 对AOE网求关键路径
AOE-网

AOE－网(Activity On Edge Network) ：即 边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向 无环图。其中：

求ve(j)和 vl(j)需分两步进行：
ve[j]和vl[j]可以采用下面的递推公式计算： （1）向汇点递推 ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max{ ve(i) + dut(<i, j>)}
p
Vi
Vj
公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一 个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间ve[j]
公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中取需最早 开始的一个开始时间作为Vi的最迟发生时间。
由此得到下述求关键路径的算法：
1）输入e条弧<i,j>，建立AOE网的存储结构。 2）从源点v0出发，令ve[0]＝0按拓扑有序求其余各顶点的 最早发生时ve[i]（1≤i≤ n-1）。如果得到的拓扑有 序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在
（2） 向源点递推 由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时 间ve[n]。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生
时间相同，即vl[n]=ve[n]。从汇点最迟发生现时间vl[n]
开始，利用下面公式：
Vi Vj
S
vl(汇点) = ve(汇点);
vl(i) = Min{ vl(j) – dut(<i, j>) }
（1）完成整项工程至少需要多少时间？ （2）哪些活动是影响工程进度的关键？
完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的
长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。
从v1到v9的最长路径是（v1,v2,v5,v8,v9），路径长 度是18。
事件vห้องสมุดไป่ตู้的最早发生时间
V9 的 最 早 发 生 时 间 是 18
共有11项活动：a1,a2,a3,…a11；
共有9个事件：v1,v2,v3,…v9，每个事件表示在它之 前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
源 点
汇 点
由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正 常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称 作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）
依据AOE-网可以研究什么问题？
环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。
3）从汇点vn出发，令vl[n-1]= ve[n-1]，按逆拓扑有序求 其余各顶点的最迟发生时间vl[i] (n-2 ≥i≥ 0)； 4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s) 和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s)=l(s)， 则为关键活动。
假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事 件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的 弧所表示的活动的最早开始时间。 用e(i)表示活动ai的最早开始时间。
活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完 成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。
a6的最早开始时间是5，最迟开始时间是8。如a6推迟3天开 始或延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。 l(i)－e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。 我们把l(i)＝e(i)的活动叫做关键活动。 显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提 前完成非关键活动并不能加快工程的进度。
顶点表示事件（Event） 弧表示活动（Activity） 权值表示活动持续的时间
通常可用AOE网来估算工程的完成时间。
v1 表 示 整 个 工 程 的 开 始
v5表示a4和a5已经完 成， a7和a8可以开始
与每个活动相联系的数是 执行该活动所需的时间
v9 表 示 整 个 工 程 的 结 束
上图AOE-网中：
由此可知：辨别关键活动就是找e(i)＝l(i)的活动。
为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早 发生时间 ve(j)和 最迟发生时间vl(j)。 若活动ai由弧<i,j>表示，持续时间记为dut(<i,j>)， 则有如下关系：
Vi
ai
Vj
活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间 e(i)＝ ve(i) 活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i 的持续时间 l(i)＝ vl(j) - dut(<i，j>)