随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解

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2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=,其中0ω为常数,随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度?

解:2

2

1

~(0,1)..........()A a A N f a -

=

212

11

()~(0,1)(0)t X x X t A N f x e

-==⇒

=;,

2

223203A 1

2()

~(0,)()24

X t x X t N f x e πωπ

ω-==⇒;, 00

2323()

0()()

t X t f x x πωπ

ωδ===,;

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示,已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成,出现的概率为1131

,,,8484。

t

()

X t 1

234561

t 2

t 1()x t 2()x t 3()x t 4(x t o

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t 两个时刻的分布律如下:

? 1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()411

29

[()]8

k k k E X t x p t ===

∑221

[()]8

E X t =

()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2-23

[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程,其中(均匀分布)。求,,?[][][][][][][][]

[][][]()()()22

2

2

1212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12

(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY

D a

E X t E A t XH t EA XH

D X t

E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t

t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦

=+=+=⋅=

++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式:+b =Y方法:

()2212s cos cos 2

XH t t t XH +++

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20

H t k x XH else π

π⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪=+=⎪⎪

⎪⎩

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+,其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ?②若已知随机变量相互独立,它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ,求()X t 的一

维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一:用雅克比做(求随机变量函数的分布) 步骤:

t 时刻,()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+⎧⎨

=⎩(题目要求的)(自己设的量,可以是其它量)

②求反函数

③求雅克比行列式J ,得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅

()AB ()AB A B f f a f b ⇔=相互独立

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量,则得到(;)X f x t

,A B

,(,)()()

()

01()1

()()11()11(,;)(,)(,)()()

1(;)(,;)()(),(;)AB A B XY AB AB A B X XY A B X A B f a b f a f b A Y t X t A Bt J X t Y t Y t t B t t t x y x y

f x y t f a b f y f y f t t t t x y

f x t f x y t dy f A dy y f t t

f x t y J a +∞+∞

-∞

-∞

∴=⋅=⎧=+⎧⎪⇒==--⎨

⎨==-⎩⎪⎩

--=⋅=⋅=⋅⋅-===⋅⋅∴⎰

与独立()1()()A B x a f a f d a t t

+∞-∞

-=⋅⋅⎰

()()()();1X A B A B a b

x a f x t f a f d t t f x bt f b d ∞

-∞∞

-∞

-⎛⎫

=⋅ ⎪⎝⎭

=-⋅⎰⎰

方法二: 用特征函数定义和性质(独立变量和的

特征函数等于各特征函数的乘积)做 (特征函数和概率密度一一对应)

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