固体物理第8课一维双原子链课件讲解学习

12
2
2
mM
mM
m
m
M M
m2 m2
M M
2 2
2mM 2mM
cos(2qa) cos(2qa)
1 2
1 2
2122 m mM M m m M M m m22 M M22 22m mM M ccoo22ssqq(()a)a1212
两 种 色 散 关系12 qq::声 光学 学波 波 设M m， 则 ：
2a
2a
2
2
l只能取 N个不同的整数
q只能取 N个不同的分立值，即：
波矢的数目＝原胞的数 目
N个原胞，2N个原子
3.2.3 声学波和光学波
(1)声学波
12
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos(2qa)
1 2
1
mM
m
M
1
1
4mM
m M 2
s
in
2
(
qa
)
2
令
4mM
m M
Aei2tq(2n1)a Bei2tq(2n2)a
xx22nn12
A B
同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的振 幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波描述 了原胞中原子相对质心的运动。
返回
mxM(Lx)x M L mM
m(xx2n1)M(Lxx2n2)m(xA)M(LxB)
BAM mmAMB mxM(Lx)x M L
3.2 一维双原子链的振动(一维复式格子的振动) 3.2.1运动方程及色散关系
m M
d 2 x2n1
dt 2 d 2x2n
dt 2
2
x2n2 x2n
x2n 3 x2
2 x2n1 n1 2 x2n
2
设其试探解为：
x
2
n
1
x2n2
Ae Be
i[tq (2n1)a ] i[tq (2n 2)a ]
超声波点焊机
(2) 光学波
2 m2 A2 cos(qa)B
2 cos(qa)A 2 M2
0 B
0
2
cos(qa)A
2
M22
B
0
A 2 M22 0 B 2 2 cos(qa)
2a
q
2a
2min
2
m
当q 0时，2
2(m M)， A M
mM
B 2
m
x2n1
x2n2
2
m12
A 2 cos(qa)B
0
源自文库
A B 1
2 2
cos(qa)
m12
0
2a
q
2a
1max
2
M
当q
0时，1
0，
A B
1
1
x
2n
1
x 2n 2
Aei1tq(2n1)a Bei1tq(2n2)a
x 2 n 1
x 2n2
此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动.
长声学波除热激发外，还可以用超声波激发。 应用：超声波点焊机，集成电路。图
1min 0 1max
2
M
2min
2max
2
m
2 (m M)
mM
周期性边界条件
设晶体中有 N个原胞
x1 x2 N 1 Ae i (t qa ) Ae i[t q ( 2 N 1) a ] e i 2 qNa 1
2qNa 2 l (l Z ) q l
Na
q N lN
2
sin 2 (qa)
x，则：当
q
0时， x
0，1
1 x 1 x 2
12
2
mM
sin 2 (qa)
2
mM
(qa)2
1
2 q a
mM
u1
1
q
2 a 常数 长声学波可看成是在连续介
mM
质中传播的弹性波。
2 m2 A 2 cos(qa)B
2
cos(qa)A
2
M 2
0 B0
3nN 3nN
1
3.
E
i1
i i1(ni 2)i
硅晶体的倒易原胞
硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点 阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）6个 正方形的面中心对应于倒易点阵的6个<001>矢量，8个 正六边形的面对应于倒易空间的8个<111>矢量。
硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方）
2. 纵 横波 波 光 声 光 声学 学 学 学波 波 波 波 T T L LO A O A ((((llttoorrnanagngnisiseettavavuauoaleolecdp dcrp roitisosnn ituw ciusw caw sataw liatvlcaivcaeav)eav)le)le)
b1 N1
b2 N2
b3 N3
b2
h3 N3
b3,
h1、h2、h3 Z
占 据 的 体 积示：意图
1 N
*
1 N
2 3
2
V
3
q的
分
布密
度
（单
位中体q点积的
数目
）1：
2 3
V
2 3
q被 限 制 在 第 一 布 里 渊 区
V
k 2 n xI 2 n yJ 2 n zK
L
L
L
k空 间 波矢空间 状态空间
表示所有原子均以频 率ω振动，波矢为q。
m2A eiq aeiqB a2A
M2B
eiq aeiqA a2B
2 m 2 A 2 cos(qa)B 0 2 cos(qa)A 2 M 2 B 0
2 m 2 2 cos(qa)
0
2 cos(qa) 2 M 2
自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数 自由度=m×n×N
晶体的维数：m
原胞中的原子数： n
格波支数＝mn
m：声 m(n 1)：光
返回
4 三维晶格振动
a N 1 、 1 、 a N 2 、 2 、 a N 33
b 1 、 b 2 、 b 3 N N 1N 2N 3 n
1.
平 q均Nh11一 b1 个 q点 Nh22
纵 光 学 波
重合
纵 声 学 波
2支横声学波 2支横光学波 各自发生了简并
5.三维晶格振动模型
❖Nl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量 ❖波的数学形式可以表示为波动函数 ❖中晶的格第振m个动原模子型的可位以置看记作为是三R(维l,m的) 弹簧模型，第l个原胞
❖子❖其的此中中原心子Rl与的是原平原胞衡胞顶位顶点置点的记的距为格离矢R 。量0(l，,m r) m 是R 原l 胞r m 内某个原
mM
返回
光学波可用光波的电磁场激发，即称为光学波。
3. 晶格振动的一般结论*
一维单原子链 一维双原子链
N(1)
N(2)
波矢数
N
N
三维晶体 N(n)
N
模式数
N
2N
3nN
格波支数
1(声)
2 1:声 1:光
3n 3:声 3(n-1):光
(1)晶格振动的波矢数＝晶体中的原胞数 (2)晶格振动的模式数＝晶体中原子的自由度数 (3)晶格振动的格波支数＝晶体原胞的自由度数
❖这个原子离开平衡位置的位移记作：
u ( l,m ) R ( l,m ) R 0 ( l,m )