固体物理答案4

（c）由色散关系
ω 2 M = 2c[2 − cos(k x a) − cos(k y a)]
和周期性边界条件可以得到 k x ∈ ( −
π π
k y ∈ (−
π π
, ] a a
, ] ， 所以独立解存在的 k a a
2π 空间区域是一个边长为 a 的正方形。
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
M ω 2 − 11C , C (10 + e − iKa ) C (eiKa + 10), M ω 2 − 11C
=0，解出
M 2ω 4 − 22MCω 2 + 20C 2 (1 − conKa ) = 0
2 ∴ ω± =
C ⎡ 11 ± 121 − 20 (1 − conKa ) ⎤ . ⎦ M⎣
M
将
us = ueisKa • e − iωt , Vs = VeisKa • e − iωt . 代入上式有
解答（初稿）作者
季正华
m
黄昆 固体物理 习题解答
− M ω 2u = C (10 + e − ika ) V − 11Cu , − M ω 2V = C ( eika + 10 ) u − 11CV ,
案
.k hd
所以原命题的证。
为平面格子原子的运动方程
aw .
co
m
② ③ ④ ⑤ 将①②③④⑤式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系（这里代入过程从 略，请自己代入计算） ：
ω 2 M = 2c[2 − cos(k x a) − cos(k y a)]
解答（初稿）作者 季正华 -5-
黄昆 固体物理 习题解答
黄昆 固体物理 习题解答
第一布里渊区允许 q 的数目 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为 2N。
当 M=m 时
—— 两种色散关系如图所示
在长波极限(q→0，λ>>0)情况下：当 q→0 ——与一维单原子晶格格波的色散关系一致。
子晶体。
解
a/2
后 答
课
c
案
处的 ω (k ) ．大略地画出色散关系．此问题模拟如 H 2 这样的双原子分
= c[( μl +1, m + μl −1, m − 2μl ,m ) + ( μl ,m +1 + μl , m −1 − 2μl ,m )]
(b)根据题意，
网
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
ww w
+ c( μl +1,m − μl ,m ) − c( μl , m − μl −1, m )
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
两种不同的格波的色散关系：
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华 -2-
课
后 答
案
网
ww w
.k hd
aw .
μ 2 n = Aei[ωt − (2 na ) q ] μ 2 n +1 = Bei[ωt − (2 n +1) aq ]
co
m
时的 ω − k 图，如右图所示。
.k hd
aw .
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
α e2
r +
co
β
rn
m
其中 值 61 μ 进行比较。
3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 格波 解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.
解答（初稿）作者
季正华
-1-
黄昆 固体物理 习题解答
解：如上图所示，质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 …… 牛顿运动方程：
2 ω+ = 22C / M , 2 ω− = 0,
案
网
ww w
.k hd
3.4 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用
后 答
常数为 c。
课
的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为 M，最近邻原子的力
（a）证明运动方程为：
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) dt 2 + ( μl , m +1 + μl , m −1 − 2μl ,m )]
m μ 2 n = − β (2 μ 2 n − μ 2 n +1 − μ 2 n −1 ) M μ 2 n +1 = − β (2 μ 2 n +1 − μ 2 n + 2 − μ 2 n )
体系为 N 个原胞，则有 2N 个独立的方程 方程解的形式： 将
..
..
μ 2 n = Aei[ωt − (2 na ) q ] μ 2 n +1 = Bei[ωt − (2 n +1) aq ]
ω 2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2 )晶体。
，这里 a 是最近邻原
co
记第 l 行，第 m 列
m
当 K=0 时，
当 K= π / a 时
2 ω+ = 20C / M , 2 ω− = 2C / M ,
黄昆 固体物理 习题解答
系。
2π （c）证明独立解存在的 k 空间区域是一个边长为 a 的正方形，这就
0
其中 L 是原子链的长度， ρ 使质量密度， T0 为周期。 所以 Tnj =
1 1 2 ρ w2 KT j La j = 4 2
课
后 答
1 Tnj = T0
0
0
案
∫
L
dx ∫
T0
⎡ 1 ⎛ d μnj ⎞2 ⎤ ρ wj a2 T0 1 j 2 L∫ a2 ρ w2 ⎢ ρ⎜ ⎟ ⎥ dt = j sin(ω j t + naq j + σ j )dt = j La j 0 2 ⎝ dt ⎠ ⎥ 2T0 4 ⎢ ⎣ ⎦
ω < ω0 ⇒ ω0 − ω = Aq ⇒ q = A (ω0 − ω )
2
1 2
课
依据 ∇ qω ( q ) = −2 Aq, f (ω ) =
3 ( 2π ) ∫
V
f (ω ) =
V
( 2π )
⋅ 3
r ds V 1 A1/ 2 V 1 1/ 2 4 = ⋅ π ω − ω = ⋅ 3/ 2 (ω0 − ω ) ( 0 ) 3 1/ 2 2 2 ∇ qω (q ) ( 2π ) 2 A ( ω0 − ω ) ( 2π ) A
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
μ n = ∑ μ nj =∑ a j sin(ω j t + naq j + σ j )
j j
（1）
2 * 2 * = ⎜ ∑ μnj ⎟⎜ ∑ μnj μn ⎟ = ∑ μnj + ∑ μnj μnj′
⎛ ⎝
⎞⎛ ⎠⎝
⎞ ⎠
j
j
j
j ≠ j′
j
季正华
（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 Nacl 红外吸收频率的测量
案
网
ww w
-6-
黄昆 固体物理 习题解答
一维单原子链色散关系,
ω2 =
4β aq sin 2 ( ) m 2
令
ω0 =
4β aq ω = ω0 sin( ) m ， 2
两边微分得到
d ω = ω0
a aq cos( )dq 2 2 d ω = ω0 a aq cos( )dq 2 2
μl ,m+1 − μl ,m ，上方 原子 与它的 相对 位移为 μl ,m − μl −1,m ，下 方原子 与它 的相对 位移 为 μl +1,m − μl ,m ， 并 考 虑到力 的 方 向性， 得 到 上面平 面 格 子的每 个 原 子的力 学 方程 为：
M( d 2 μl , m dt 2 ) = c( μl ,m +1 − μl , m ) − c( μl ,m − μl , m −1 )
2
2π ndn ，且 2π ndn =
解答（初稿）作者
季正华
ww w
3.7 设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 ω (q ) = ω0 − Aq
网
已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， μ nj 的动能时间平均值为
ww w
μ2 j =
1 T0
∫
T0
a2 j sin(ω j t + naq j + σ j )dt =
1 2 aj 2
.k hd
由于 μ nj 是时间 t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 （2）
aw .
相比是一小量，可以忽略不计。所以 μ n =
网
π a k= a 和 10 c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为 2 ．求在 k = 0 和
10c
•
us −1 M
o
us
•
ww w
3.3 考虑一双原子链的晶格振动， 链上最近邻原子间力常数交替为 c
.k hd
•
us +1