《固体物理·黄昆》第四章(2)
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4.2 一维单原子链
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
对应电磁波的能量和波长
的声子所用的电磁
近红外光区（0.75 ~ 2.5µ m） 中红外光区（2.5 ~ 25µm） 远红外光区（25 ~ 1000µ m）
要激发的声子所用的电磁波波长在远红外线波段
4.4 三维晶格的振动 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量 晶体的原胞数目
第lБайду номын сангаас原胞的位置
—— 倒格子原胞体积 状态密度
波矢空间一个点占据的体积
波矢的取值_ h1h2h3
—— 原子振动波函数 —— 不同原胞之间位相联系 波矢改变一个倒格矢
—— 原子振动状态一样
q的取值限制在一个倒格子原胞中 —— 第一布里渊区
——
个取值
对应于一个波矢q : 3支声学波和3n－3支光学波 总的格波数目 —— 晶体中原子的坐标数目 晶格振动总的能量
光学波的最大频率
光学波的最小频率
2）相应声子的能量
3)认为声子是独立的，形成无相互作用的声子气体，不
受泡利原理的限制，属于玻色子系统。声子数不守恒。 当系统处于热平衡状态时，频率为 的格波的平均声 子数由玻色统计给出：
而其平均能量为：
光学波频率的声子数目
声学波频率的声子数目
4）如果用电磁波激发光学波，要激发 波波长在什么波段？
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
—— 晶格振动能量量子
—— 声子_Phonon
短波极限 1)光学波
说明:B~0! 质量大的原子不动!
例题 一维复式格子中，如果
计算 1) 光学波频率的最大值
和最小值 , 和 ；
，声学波频率
的最大值
3) 在
；
下，三种声子数目各为多少？
2) 相应声子的能量
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？
1) 声学波的最大频率
4.3 一维双原子链 声学波和光学波
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
—— 两种原子m和M :( M > m) 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a: 晶格常数
—— 系统有N个 原胞
3n－3支光学波：描述一个原胞中各原子间的相对运动 结论：晶体中一个原胞中有 n 个原子组成，对每一个 q, 有3支声学波和3n－3支光学波.
三维晶格中的波矢 波矢 —— 波矢空间的3个基矢 —— 倒格子基矢 —— 3个系数
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
2h1 h1 x1 x1 N1a1b1 N1 2h2 h2 x2 x2 N 2 a2b2 N2 2h3 h3 x3 x3 N 3a3b3 N3
方程解和振动频率
设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程 格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义 连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2)
——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
原子位移为实数 ,则:
证明2):
……(2)
A)当q=q`时: (2)显然成立.
B)当q-q`=s时
证明完毕.
下面证明:动能和势能的形式都有平方和的形式.
……(1)
……(2) 动能的正则坐标表示:
动能具有平方和的形式.
第2n+1个M原子的方程 第2n个m原子的方程
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式 —— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数
3)当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 单元交换能量;
为
4)声子具有能量 ，也具有准动量 ，但声子只是 反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离 固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种 准粒子 5)声子的作用过程遵从能量守恒和准动守恒 6)由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量 为：
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐 振动称为一种振动模式 能量本征值： 声子的概念：
1)声子是晶格振动的能量量子
2)一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成
—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
波矢的取值
—— 第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件:q的取值! —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
两种格波的振幅:
—— 光学波
—— 声学波
q的取值:
M和m原子振动方程 相邻原胞之间位相差
波矢q的值
—— 第一布里渊区
布里渊区大小
采用周期性边界条件
q的取值:
—— h为整数
每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许的q值的数目 —— 晶体中的原胞数目 —— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
色散关系的特点:
B)短波极限 两种格波的频率
因为 M＞m
—— 不存在格波 频率间隙
—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器
短波极限 1)声学波
2 2 ( ) max ( ) {( m M ) ( M m)} ( ) mM M
1 2 1 2 1
说明:A~0! 质量小的原子不动!
第一布里渊区的线度
第一布里渊区状态数 —— 第一布里渊区包含N个状态
格波的色散关系
频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性
色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
q a a
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
讨论: 1)格波 —— 长波极限情况:
势能
系统势能
将
代入得到
哈密顿量
—— 系统复数形式的简正坐标
实数形式的简正坐标
令
哈密顿量
能量本征值 本征态函数
—— 由N个原子组成的一维单原子链,其振动模式为N个相互独立
的(正交)格波,格波的振幅对应着简正坐标,一个简正坐标对应一 个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 ,振 动能级是量子化的.
A)格波传播频率和速度:
当
连续介质的伸长弹性模量
连续介质介质密度
—— 一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的 色散关系一致
B)长波极限下,
相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质
2)格波 —— 短波极限情况:
A)格波传播频率和速度:
B)相邻两个原子之间的位相差: π=
色散关系的特点:
A)长波极限 1)声学波:
应用
—— 声学波的色散关系与 一维布喇菲格子形式相同
长波极限下
声学波中相邻原子的振动:
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
—— 代表原胞质心的振动
长波极限 2)光学波
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动
处理问题时要考虑到
环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求 —— h为整数 波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
物理意义: 1)相邻两个原子振动的位相 相反; 2)此时格波形成驻波; 3)布里渊区!
&原子位移和简正坐标的关系:
第q个格波引起第n个原子位移 第n个原子总的位移 令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式. 原子位移 为实数 ,则:
原胞中各原子的位置
各原子偏离格点的位移
第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有3n个类似的方程
方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程
—— 系数行列式为零条件，得到3n个 长波极限 —— 3个 趋于一致
—— 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 —— 3支声学波
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
格波方程
格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
格波 波矢的取值和布里渊区
相邻原子位相差
—— 原子的振动状态相同
格波1(Red)波矢
相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
对应电磁波的能量和波长
的声子所用的电磁
近红外光区（0.75 ~ 2.5µ m） 中红外光区（2.5 ~ 25µm） 远红外光区（25 ~ 1000µ m）
要激发的声子所用的电磁波波长在远红外线波段
4.4 三维晶格的振动 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量 晶体的原胞数目
第lБайду номын сангаас原胞的位置
—— 倒格子原胞体积 状态密度
波矢空间一个点占据的体积
波矢的取值_ h1h2h3
—— 原子振动波函数 —— 不同原胞之间位相联系 波矢改变一个倒格矢
—— 原子振动状态一样
q的取值限制在一个倒格子原胞中 —— 第一布里渊区
——
个取值
对应于一个波矢q : 3支声学波和3n－3支光学波 总的格波数目 —— 晶体中原子的坐标数目 晶格振动总的能量
光学波的最大频率
光学波的最小频率
2）相应声子的能量
3)认为声子是独立的，形成无相互作用的声子气体，不
受泡利原理的限制，属于玻色子系统。声子数不守恒。 当系统处于热平衡状态时，频率为 的格波的平均声 子数由玻色统计给出：
而其平均能量为：
光学波频率的声子数目
声学波频率的声子数目
4）如果用电磁波激发光学波，要激发 波波长在什么波段？
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
—— 晶格振动能量量子
—— 声子_Phonon
短波极限 1)光学波
说明:B~0! 质量大的原子不动!
例题 一维复式格子中，如果
计算 1) 光学波频率的最大值
和最小值 , 和 ；
，声学波频率
的最大值
3) 在
；
下，三种声子数目各为多少？
2) 相应声子的能量
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？
1) 声学波的最大频率
4.3 一维双原子链 声学波和光学波
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
—— 两种原子m和M :( M > m) 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a: 晶格常数
—— 系统有N个 原胞
3n－3支光学波：描述一个原胞中各原子间的相对运动 结论：晶体中一个原胞中有 n 个原子组成，对每一个 q, 有3支声学波和3n－3支光学波.
三维晶格中的波矢 波矢 —— 波矢空间的3个基矢 —— 倒格子基矢 —— 3个系数
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
2h1 h1 x1 x1 N1a1b1 N1 2h2 h2 x2 x2 N 2 a2b2 N2 2h3 h3 x3 x3 N 3a3b3 N3
方程解和振动频率
设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程 格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义 连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2)
——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
原子位移为实数 ,则:
证明2):
……(2)
A)当q=q`时: (2)显然成立.
B)当q-q`=s时
证明完毕.
下面证明:动能和势能的形式都有平方和的形式.
……(1)
……(2) 动能的正则坐标表示:
动能具有平方和的形式.
第2n+1个M原子的方程 第2n个m原子的方程
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式 —— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数
3)当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 单元交换能量;
为
4)声子具有能量 ，也具有准动量 ，但声子只是 反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离 固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种 准粒子 5)声子的作用过程遵从能量守恒和准动守恒 6)由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量 为：
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐 振动称为一种振动模式 能量本征值： 声子的概念：
1)声子是晶格振动的能量量子
2)一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成
—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
波矢的取值
—— 第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件:q的取值! —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
两种格波的振幅:
—— 光学波
—— 声学波
q的取值:
M和m原子振动方程 相邻原胞之间位相差
波矢q的值
—— 第一布里渊区
布里渊区大小
采用周期性边界条件
q的取值:
—— h为整数
每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许的q值的数目 —— 晶体中的原胞数目 —— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
色散关系的特点:
B)短波极限 两种格波的频率
因为 M＞m
—— 不存在格波 频率间隙
—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器
短波极限 1)声学波
2 2 ( ) max ( ) {( m M ) ( M m)} ( ) mM M
1 2 1 2 1
说明:A~0! 质量小的原子不动!
第一布里渊区的线度
第一布里渊区状态数 —— 第一布里渊区包含N个状态
格波的色散关系
频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性
色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
q a a
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
讨论: 1)格波 —— 长波极限情况:
势能
系统势能
将
代入得到
哈密顿量
—— 系统复数形式的简正坐标
实数形式的简正坐标
令
哈密顿量
能量本征值 本征态函数
—— 由N个原子组成的一维单原子链,其振动模式为N个相互独立
的(正交)格波,格波的振幅对应着简正坐标,一个简正坐标对应一 个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 ,振 动能级是量子化的.
A)格波传播频率和速度:
当
连续介质的伸长弹性模量
连续介质介质密度
—— 一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的 色散关系一致
B)长波极限下,
相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质
2)格波 —— 短波极限情况:
A)格波传播频率和速度:
B)相邻两个原子之间的位相差: π=
色散关系的特点:
A)长波极限 1)声学波:
应用
—— 声学波的色散关系与 一维布喇菲格子形式相同
长波极限下
声学波中相邻原子的振动:
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
—— 代表原胞质心的振动
长波极限 2)光学波
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动
处理问题时要考虑到
环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求 —— h为整数 波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
物理意义: 1)相邻两个原子振动的位相 相反; 2)此时格波形成驻波; 3)布里渊区!
&原子位移和简正坐标的关系:
第q个格波引起第n个原子位移 第n个原子总的位移 令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式. 原子位移 为实数 ,则:
原胞中各原子的位置
各原子偏离格点的位移
第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有3n个类似的方程
方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程
—— 系数行列式为零条件，得到3n个 长波极限 —— 3个 趋于一致
—— 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 —— 3支声学波
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
格波方程
格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
格波 波矢的取值和布里渊区
相邻原子位相差
—— 原子的振动状态相同
格波1(Red)波矢
相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差