高斯积分点以及有限元中应用汇总.

1 1
的数值时，可以先对ξ 、η 进行积分，

1
1
f ( , )d H i f ( i , ) ( )
i 1
n

n
1
1
( )d H j ( j )
j 1
m

或改写成
1
1
1
1 1
f ( , )dd H j H i f ( i , j )
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2， ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
I f ( )d H1 f (1 )
1 1
f ( ) C0 C1
I f ( )d 2C0 2 f (0)
1
1
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
一、一维积分的高斯公式

1
1
f ( )d H i f ( i )
i 1
n
其中f(ξ i)是被积函数在积分点ξ i处的数值，Hi为 加数系数，n为积分点数目。 对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点 位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时 精确成立。 由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应 于大多数函数。
j 1 n i 1
m

1
1 1
f ( , )dd H i H j f ( i , j )
i 1 j 1
m
这就是二维的高斯积分公式。
高斯积分法
三维积分的高斯公式
同样，可以求得三维高斯积分公式：

1
1
Fra Baidu bibliotek
1
1 1 1
f ( ,, )ddd H i H j H k f ( i , j , k )
高斯积分法
高斯积分法
在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时，需用到如下形式的定积分：

1
1
1 1
f ( , )dd

1
1
1
1 1 1
f ( ,, )ddd
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
i 1 j 1 k 1
n
m
l
中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。 各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常 在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值

1 1
1
1
1 1
f ( , )dd H i H j f ( i , j )
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H 2 2
2 H H 3
2 1 1 2 2 2
H11 H 2 2 0
3 H113 H 2 2 0
1 2
1 3
0.577,350,269,2
反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值
完全精确，积分点的数目必须取 。
高斯积分法

高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式， 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点 这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积 分点的应力。:{σ }={D}{B}{U}
i 1 j 1
1
n
n

1 1 1
f ( ,, )ddd H i H j H k f ( i , j , k )
i 1 j 1 k 1
n
n
n
高斯积分法
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时 ，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高 斯求积公式求得的积分值是完全精确的。
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法

n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表

1
1
f ( )d Ai f (i )
i 1
n
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维 重积分 1 1 f ( , )dd
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度，或 者说用较少的积分数达到同样的精度。
高斯积分法
f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为
数值积分为
2 I f ( )d 2C 0 C 2 1 3
1
2
I H i f ( i ) H 1 f (1 ) H 2 f ( 2 )
i 1 3 H 1 (C0 C1 C212 C313 ) H 2 (C0 C1 C2 22 C3 2 )

积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工 作量。 积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全 精确积分） 很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精 确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分 更好的精度。（减缩积分）

完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下 {F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。