高中数学选修计数原理概率知识点总结

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选修2-3定理概念及公式总结

第一章基数原理

1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法

2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”

3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理,

如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理.

4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

(1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m

n

用于计算, 或m n

A )!

(!

m n n -=()

n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

n

n

A =!n =()1231⨯⨯⨯⨯-Λn n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

(1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用m

n C 表示

(2)组合数公式: (1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算,

或)!

(!!

m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

(3)组合数的性质:

①m n n m n C C -=.规定:10=n C ; ②m n C 1+=m n C +1-m n

C . ③ n C C n n n ==-11 ④1=n

n C

6.二项式定理及其特例:

(1)二项式定理()()

*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n

ΛΛr r r 1

10

展开式共有n+1项,其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,

0r r Λ∈叫做二项式系数。 (2)特例:.

7.二项展开式的通项公式: r r r 1r b a C T n n -+= (为展开式的第r+1项) 8.二项式系数的性质:

(1)对称性:在()n

b a +展开式中,与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,

即m

n n m n C C -=,直线是图象的对称轴.

(2)增减性与最大值:当2

1

r +<

n 时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的

后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。

当是偶数时,在中间一项2

2n +T 的二项式系数取得最大值;

当是奇数时,在中间两项2

1n +T ,2

3n +T 的二项式系数,取得最大值.

9.各二项式系数和: (1)

=+++n 210n n n n C C C C Λ n 2,

(2)1

5314202

-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ.

10.各项系数之和:(采用赋值法)

例:求

()932y x -的各项系数之和

解:()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ

令1,1==y x

,则有()()132329

92109

-=-=++++=-a a a a y x Λ,

故各项系数和为-1

第二章 概率

知识点:

1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i 的概率p 1,p 2,..... , p i ,......, p n ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① p i ≥0, i =1,2,… n ;② p 1 + p 2 +…+p n = 1.

5、二点分布:如果随机变量X 的分布列为:

其中0

6、超几何分布:一般地, 设总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,则它取值为m 时的概率为

为和中的较小的一个()(0,n M )m n m M N M

n

N

C C P X m m l l C --==≤≤, 7、条件概率:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,叫

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