松弛算法

n
Z min iTi
i 1
x
t 1 n i 1
Ti
it
di , i 1, 2
i it
n
（1） max{Ti , i 1 （3） n} （2）
{a x
s.t
siYit } ct , t 1 xit 0 other t 1, 2,
1, if Yit 0, i 1, 2 xit 0 n;
求解以上LRP问题分以下两步: (1)对给定的
0 , 求下子问题(SUBP)
T h(i, X , T , ) min{iTi t ( ai xit siYit )} min X X t 1 s.t. (1) (3) , 得 n T Z ( ) min h(i, X , T , ) ct t i 1 t 1
原 整 数 规 划 问 题
n S {x Z | Ax b, Bx d}
LR :
n SLR {x Z | Bx d}
Z LR ( ) min{cT x T (b Ax)} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z .
拉 格 朗 日 松 弛
拉格朗日松弛法： 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,
并保持目标函数的线性,使问题容易求解. 松弛原问题的难约束，得到原问题的一个下界，通
过这个下界我们可以对算法好坏进行评价
构造拉格朗日启发式算法，来寻找问题的近优解
拉格朗日松弛法
拉格朗日松弛理论
IP : Z IP min cT x s.t. Ax b, (难约束) Bx d（简单约束） , n x Z .
( SUBP :)
(2) 对所有
0求
max Z ( )
0
案例应用
能力约束单机排序问题
0
Step0 : T 1, 0, Z * 为算法A求得的目标值
Step1: 解SUBP,分别求每个产品的最优值,再由 求其次梯度, k 1 max{0, k k v( X )}若不满足判定 准则,则
0, zLR ( ) zIP
9
拉格朗日分解：
T z IP min c x Ax b s.t. Bx d n x Z z IP min cT x T T min{c x ( x y )} Ax b Ax b x y s.t. By d s.t. By d n x , y Z n x, y Z z LR1 ( ) min{cT x T x} s.t. Ax b xZ
X ( xit ) nT , T max{Ti | i 1, s.t. (1) (3)
n T n
n}
记: g(X,T, )= iTi t { [ai xit siYit ] ct }
i 1 t 1 T i 1
[iTi t (ai xit siYit )] t ct }
(1)当 k 1 (T ) 0时，k k 1, 返回step1; (2)当 k 1 (T ) 0时，T T 1, k 1 (T ) 0, k k 1, 返回step1; 若满足判停准则，则转step2.
Step2 : 若所求到的解为WCS可行解则停;否则将其 可行化.
体现在目标函数的选择上。
拉格朗日松弛法将车间调度问题中的难约束
松弛，从而将 NP-hard 问题分解为若干多项
式时间内可解的子问题。因此目标问题的性
能可分性显的非常重要。
车间调度问题的性能指标 这里将车间调度问题的经典性能指标划分为： 可分性能指标
加权总误工(total weighted tardiness) 加权总完工时间(total weighted completion time)
不可分性能指标
时间表长( schedule length, makes pan) 最大时间延误(maximum lateness)
松弛约束的选取 现有文献中常有的松弛约束：
松弛加工能力约束
子问题： 单任务调度
松弛顺序约束
子问题： 并行机调度
同时松弛加工能力约束和顺序约束
案例应用
mod el :
能力约束单机排序问题
n
z LR 2 ( ) min{ T y} and s.t. By d
n y Z
(7.3.8) 子问题约束
(7.3.9) 子问题约束
有：z LR1 ( ) zLR 2 ( ) zIP 其对偶形式：z LD max z LR1 ( ) zLR 2 ( )
能力约束排序问题的拉格朗日松弛算法 案例应用 能力约束单机排序问题
mod el : Z max Z ( )
0
n T n
( LRP :)
max min{ iTi t { [ai xit siYit ] ct }}

X i 1 t 1 i 1
案例应用
能力约束单机排序问题
Ti：完成di 所需要的时段； xit：t时段产品i的产量；di : 产品i的需求； ai：产品i的单位产品所占用的生产能力； ct：t时段可提供的生产能力； si： i产品的生产准备所占用的能力。
约束条件(1): 产品需求量约束
约束条件(2): 个时段产能约束 约束条件(3): 准备时间
拉格朗日松弛法算法框架
上层属于协调层，对应于对偶问题，更新拉 格朗日乘子以极大化对偶函数，并且以此来 协调子问题，尽可能满足被松弛的约束。 下层对应于松弛问题，根据初始或者对偶计 算中得到的拉格朗日乘子，分解为各个子问 题求解，来求原问题的拉格朗日松弛问题。
拉格朗日启发式算法 拉格朗日启发式算法
对偶规划松弛：
根据对偶理论，将问题转化为其对偶问题
原问题与对偶问题有相同的最优值
对偶问题并没有改变原问题的本质，在使用时应比较哪个 更简单
代理松弛法： 当问题中约束数量过多时，代理松弛一个约
束替代原问题中的K个约束，甚至全部约束
代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变
代理松弛法求得的解不一定可行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Step1: 拉格朗日次梯度法求IP下界
Step2: 对所求解按一定的规则可行化
拉格朗日松弛理论： 等号约束的松弛
将等号约束 aij x j bi写成标准形式：
j=1 n n
a x
ij j=1
n
j
bi， aij x j bi
j=1 n n n
把两个约束吸收到目标函数有：
i1 (bi aij x j ) i 2 (bi aij x j ) (i1 i 2 )(bi aij x j )

拉格朗日松弛理论：
拉格朗日松弛LR是IP问题的一个下界,但我们应该 求与IP最接近的下界,即:
即有:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
我们称之为拉格朗日松弛的对偶问题
拉格朗日松弛算法（求下界）： 拉格朗日松弛方法对偶问题的解法
次梯度算法
STEP1: 任选初始拉格朗日乘子 , t 1
总结
对于某些车间调度问题，拉格朗日松弛法可以有
效的求解出目标的下界。 具有很大的局限性
目标性能不可分时，很难使用拉格朗日松弛法解决 要能分解出多项式算法的子问题，否则求解困难
j=1 j=1 j=1
若令i i1 i 2 , 则i 无非负约束。
松弛方法在排产调度中的应用
车间调度问题的性能指标 松弛约束的选取 车间调度问题基于拉格朗日松弛法的 算法框架
案例应用
车间调度问题的性能指标
基于拉格朗日松弛法(Lagrangian Relaxation
LR) 的车间调度问题，它求解的算法独特性
t
t t g ( ) STEP2: 对 ,从 中任选一个次梯度s , t 若s 0则停,否则 t 1 max{ t st ,0}, t : t 1 重 复STEP2.
t
拉格朗日松弛法算法框架
对于车间调度问题的拉格朗日对偶问题一般采用大系统中的 分解协调的方法进行求解，这样原来的复杂的车间调度问题转 化为两层优化问题。
i 1 t 1 t 1
n
T
再记 : h(i, X , T , ) iTi t (ai xit siYit ), 则有:
t 1
T
案例应用
( LRP :)
能力约束单机排序问题
Z max Z ( ) max min g ( X , T , ) X n T min h(i, X , T , ) ct t } max{ X i 1 t 1
拉格朗日松弛方法概述
李冬 2013.09.16
松弛方法
1：松弛方法概述 2：拉格朗日松弛法 3：松弛方法在排产调度中的应用
4：总结
松弛方法概述
线性规划松弛 对偶规划松弛方法 代理松弛法 拉格朗日松弛方法
线性规划松弛方法： 将整数约束松弛为实数 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为较大
整数的情形. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线性规划 问题的最优解; 第二阶段为将解整数化,并考虑可行 性