公交线路选择模型与算法

路径矩阵。其基本思想是： 假设求顶点 ｖｉ 到 ｖｊ 之间的最短路 径。如果从 ｖｉ 到 ｖｊ 有弧， 则从 ｖＩ 到 ｖｊ 存在一条长度为 ａｒｃｓ［ｉ］ ［ｊ］的路径， 该路径不一定是最短路 径 ， 尚 需 要 进 行 ｎ 次 试 探 。
首 先 考 虑 路 径 （ ｖＩ，ｖ０，ｖｊ） 是 否 存 在 （ 即 判 断 弧 （ ｖＩ，ｖ０） 和 （ ｖ０，ｖｊ） 是 否存在） 。如果存在， 则比较（ ｖｉ， ｖｊ） 和（ ｖＩ，ｖ０，ｖｊ） 的路径长度取长 度 较 短 者 为 从 ｖｉ 到 ｖｊ 的 中 间 顶 点 的 序 号 不 大 于 ０ 的 最 短 路 径。假如在路径上再 增 加 一 个 顶 点 ｖ１，也 就 是 说 ， 如 果 （ ｖｉ，…， ｖ１） 和 （ ｖ１，…，ｖｊ） 分 别 是 当 前 找 到 的 中 间 顶 点 的 序 号 不 大 于 ０ 的最短路径， 那么（ ｖｉ，…，ｖ１，…，ｖｊ） 就有可能是从 ｖｉ 到 ｖｊ 的中间 顶点的序号不大于 １ 的最短路径。将它和已经得到的从 ｖｉ 到 ｖｊ 的中间顶点的序号不大于 ０ 的 最 短 路 径 相 比 较 ， 从 中 选 出 中间顶点的序号不大于 １ 的最短路径之后， 再增加一个顶点
站换乘公交。
３．１．２ 算法评价
此算法可使用 ｍａｔｌａｂ 编程实现。
经过此算法可得出起始站 Ａ 和终到站 Ｂ 的符合中转假
设的所有线路， 并可得到每次乘车总站点数。为后续模型提
供了可以查询的可靠数据。
３．２ 模型Ⅰ
由本题可知， 从起始站 Ａ 到终到站 Ｂ 的线路是有限的，
故在各站点数据处理好的情况下， 用穷举法可求出最佳路
２ 符号说明
Ａ： 线路的起始站； Ｂ： 线路的终到站； Ｘａｂｉ： 从第 ａ 站到第 ｂ 站第 ｉ 条线路所经过的总站点数； Ｋａｂ： 判 断 是 否 需 要 中 转 。Ｋａｂ＝０ 时 ， 说 明 ａ，ｂ 之 间 可 以 直 达 ， 无 需 转 乘 ； Ｋａｂ＝１ 时 ， 说 明 ａ，ｂ 需 要 转 乘 一 次 才 可 以 达 到 ； Ｋａｂ＝２ 时， 说明需要转乘两次才可以达到；
决策参考
公交线路选择问题的数学模型与算法
侯晓利，薛伟坡，张军委
（河南师范大学 计算机与信息技术学院， 河南 新乡 ４５３００７）
摘 要： 文章针对问题， 分别就公汽、地铁、步行等出行方式建立了四个模型， 并按具体需求将乘
客分为偏向时间和偏向费用两种类型， 在尽量减少交通阻抗条件下制定最优路线。建立穷举模型和
间线路集合 Ｄ１， 则可地铁直达， 否则转②
②分别依次比较 Ａ 点下行方向与 Ｂ 点和 Ａ 点与 Ｂ 点上
行方向各公交线路上的站点， 依据 Ｔａ 算法同理判断若有地
铁直达， 则可实现公交地铁一次换乘。
③依次判断 Ａ 点及下行方向和 Ｂ 点及上行方向各公交
线路站点附近有无公共地铁站， 若有则为公交一次经过地铁
（ ａ，ｂ
中转一次）
（３）
$
%$Ｆａｃ＋Ｆｃｄ－ １（ ａ，ｂ 中转两次）
其中：
Ｆｍｎ＝Ｆｍｎ·Ｘｍｎｉ／２０
（４）
Ｃａｂ＝ｍｉｎ｛Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｉ，…Ｃｎ｝
３．２．２ 模型的评价
该模型思路清晰、简单， 容易使人想到。但是由于它需要
处理大量数据， 并且在算法上没有什么创新， 因此计算机运
行起来异常吃力。针对该问题， 我们建立了模型Ⅱ— ——图论
１ 模型假设
假 设 １ 所 给 公 汽 、地 铁 线 路 数 据 来 源 准 确 、可 信 、稳 定 、科 学 。
假设 ２ 当两站点之间最多中转两次； 且有直达线路 时， 乘坐直达车； 无直达车时， 考虑中转一次的路线； 中转一 次无法到达时再考虑中转两次的路线。
假设 ３ 公 共 交 通 工 具 （ 包 括 公 汽 、地 铁 等 ） 票 价 稳 定 ， 不因其他外在因素的变动而变动。
统计与决策 ２００８ 年第 １８ 期（ 总第 ２７０ 期） ７７
决策参考
针对本题来说， ｎ 相对比较大， 因此程序运行起来比较吃力。 通过 ｍａｔｌａｂ 编程运行的时间相对来说比较长， 这对于一个查 询 者 来 说 是 不 能 够 忍 受 的 。针 对 这 个 问 题 我 们 进 一 步 做 了 算 法上的改进， 导出了基于广度优先算法的最短路径模型。 ３．５ 模型Ⅳ
３ 模型的建立与求解
针对求任意两公汽站点之间最佳线路的问题（ 在假设 ２ 的条件下） ， 本章首先判断两站点之间有无直达车。有直达车 时， 在直达的线路里分别求出时间最优线路和票价最优线 路； 若无， 则判断需中转一次还是两次， 并分别求出时间最优 和票价最优线路。我们首先需要对数据进行处理： ３．１ 数据的处理 ３．１．１ 算法思想
假设 ４ 基本参数的设定设置合理且不会因其他外在 因素的变动而变动。
假设 ５ 地铁之间的换乘不用另外买票。 假 设 ６ 公 交 车 在 运 行 过 程 中 的 所 有 的 阻 塞 、停 站 、等 车以及其他等一切外在因素均包括在平均时间中。 假设 ７ 环形线路为单车道、单一方向行驶线路。 假设 ８ 将乘客分为两种类型： （ １） 偏向时间型； （ ２） 偏向金钱型。
０－ １ 规划模型对数据进行预处理， 分别以时间和票价作为权重用有向图表示， 构造邻接矩阵， 建立
Ｆｌｏｙｄ 模型。针对 Ｆｌｏｙｄ 算法对时间要求较高， 建立基于广度优先算法的最短 路 径 模 型 ， 达 到 较 好 效
果。用地铁站置换可转乘的公汽站， 调整邻接关系， 调用广度优先算法得出最优路线。
ｖ２，继续进行试探。一次类推。在一般情况下， 若（ ｖｉ，…，ｖｋ） 和（ ｖｋ， …，ｖｊ） 分别是从 ｖｉ 到 ｖｋ 和从 ｖｋ 到 ｖｊ 的 中 间 顶 点 的 序 号 不 大 于 ｋ－ １ 的最短路径， 则将（ ｖｉ，…，ｖｋ，…，ｖｊ） 和已经得到的从 ｖｉ 到 ｖｊ 且中间顶点的序号不大于 ｋ－ １ 的最短路 径 相 比 较 ， 其 长 度 较 短 者 便 是 从 ｖｉ 到 ｖｊ 的 中 间 顶 点 的 序 号 不 大 于 ｋ 的 最 短 路 径。这样， 在经过 ｎ 次比较后， 最后求得的必是从 ｖｉ 到 ｖｊ 最短 路径。按此方法， 可以同时求得各对定点间的最短路径。
７６ 统计与决策 ２００８ 年第 １８ 期（ 总第 ２７０ 期）
Ｔｉ：ａ，ｂ 之间的第 ｉ 条线所花的时间； Ｔｍｉｎ： 所以 ａ，ｂ 之间的线路所花费的最少的时间； Ｆａｂ： ａ，ｂ 之 间 的 票 价 。 若 线 路 为 单 一 票 价 或 Ｘａｂｉ≤２０ 时 ， Ｆ＝１ 元； 若 ２０＜Ｘａｂｉ≤４０， 则 Ｆ＝２；若 ４０＜Ｘａｂｉ 时， Ｆ＝３ 元； Ｃａｂ： ａ，ｂ 之间的最优票价； Ｃｉ： ａ，ｂ 之间第 ｉ 条线路的总票价； !： 北京市乘坐公交的时间因子。
（ ７）
ｉ＝１ ｊ＝１
３．３．２ 模型评价
此模型是在没考虑中间转车所需要的时间， 因此需要进
一步改进。为此我们建立了模型Ⅲ。
３．４ 模型Ⅲ
模型Ⅰ在空间上的复杂度： 图论最小距离模型
３．４．１ 建模理论
弗洛伊德算法是解决任意两点之间最短距离的有效算
法 之 一 。可 通 过 一 个 图 的 权 值 矩 阵 求 出 它 的 每 两 点 间 的 最 短
最小距离模型， 解决了数据量异常大的问题
３．３ 模型Ⅱ
时间最优路线模型： ０—１ 规划模型
３．３．１ 模型建立
首先建立时间邻接矩阵， 设任意两个相邻的站点 Ａ，Ｂ 之
间有公交线路 （ 即 Ａ，Ｂ 之间有公汽直达） ， 则设其时间距离
（ 用时间 代 表 Ａ，Ｂ 之 间 的 距 离 ） 为 ３ｍｉｎ， 如 果 没 有 公 交 线 路 ，
线。
３．２．１ 模型的建立与求解
按照求出的起始站→终点站所经过的公交站点个数
Ｘａｂ，我 们 可 以 建 立 最 优 时 间 模 型
Ｔｍｉｎ＝ｍｉｎ｛Ｔ１，Ｔ２，…，Ｔｉ，…，Ｔｎ｝
（１）
其中：
Ｔｉ＝Ｘａｂｉ＊３＋Ｋａｂ＊５
（２）
最优票价模型：
"$Ｆａｂ（ａ，ｂ 直达）
Ｃｉ＝
Ｆ ＋Ｆ $$
# $
ａｃ
ｃｂ
关键词： Ｍａｔｌａｂ； 穷举； ｆｏｌｙｄ 算法； 广度优先搜索； 交通阻抗
中图分类号： ＴＢ１１４．１
文献标识码： Ａ
文章编号： １００２－ ６４８７（ ２００８） １８－ ００７６－ ０３
近些年来， 城市的公交系统有了很大发展， 北京市的公 交线路已达 ８００ 条以上， 使得公众的出行更加通畅、便利， 但 同 时 也 面 临 多 条 线 路 的 选 择 问 题 。 如 何 省 时 、省 钱 成 为 了 人 们更多关心的焦点。
３．４．２ 模型的建立与求解
分别初始化两个邻接矩阵， 一个以两站点间的时间为权
值， 另一个以票价为权值。调用弗洛伊德程序， 即可得到所需
要的值。
３．４．３ 模型评价
此模型容易理解， 可以算出任意两个节点之间最短距离
的算法， 程序容易写。
由 于 模 型 的 时 间பைடு நூலகம்复 杂 度 是 Ｏ（ｎ３）， 不 适 合 计 算 大 量 数 据 。
决策参考
能否到达， 可调用②来实现， 并根据行车方式排除不合理的
线路。要记录两个中转站的相关信息， 即三段路程途径的站
点数。否则无符合方案。
（ ２） 公交地铁混合线路计算
①若起点 Ａ 附近有地铁站 Ｄ（ａ）， 终点 Ｂ 附近有地铁站 Ｄ
（ｂ）， 都可步行而至， 依据 Ｓａ 算法同理判断若有 Ｄ（ａ），Ｄ（ｂ）地铁
模型Ⅲ在时间复杂度方面的改进： 基于广度优先搜索算 法的最短路径模型 ３．５．１ 建模思想
广度优先搜索，即 ＢＦＳ，是一种相当常用 的 图 算 法 。 其 特 点是： 每次搜索指定点， 并将其所有未访问过的近邻加入搜 索队列， 循环搜索过程直到队列为空。广度优先搜索的基本 思想： 假设从图中某定点 ｖ 出发， 在访问了 ｖ 之后依次访问 ｖ 的各个未曾访问过的邻接点， 然后分别从这些邻接点出发依 次 访 问 它 们 的 邻 接 点 ， 并 使 “先 被 访 问 的 顶 点 的 邻 接 点 的 邻 接 点 ”先 于 “后 被 访 问 的 邻 接 点 ”被 访 问 ， 直 至 图 中 所 有 已 被 访 问 的 顶 点 的 邻 接 点 都 被 访 问 到 。若 此 时 图 中 尚 有 顶 点 未 被 访问， 则另选图中一个未曾被访问的顶点的邻接点作起始 点， 重复上述过程， 直至图中所有顶点都被访问到为止。换句 话说， 广度优先搜索遍历图的过程是以 ｖ 为起始点， 由近至 远， 依次访问和 ｖ 由路径相通且路径长度为 １， ２， …的顶点。
不妨设器时间距离为 １０００ｍｉｎ（ 数据本身并无意义， 只参与比
较运算） 从而我们构造初一个时间距离矩阵 Ｔ：
( ) ｔ１２ … ｔ１，３９５７
Ｔ＝ ┇ ’ ┇
ｔ ｔ … ３９５６，１
３９５６，３９５７
其中：
*３ （ ｉ 与 ｊ 相邻）
ｔｉｊ＝ １０００ （ｉ 与 ｊ 不相邻）
（ ５）
不妨设 ｒｉｊ 为从第 ｉ 站到第 ｊ 站的权值， 其取值为 ０、１ 如
（ １） 公交间线路计算（ 不考虑地铁） ①分别求出经过起始站 Ａ 和终点站 Ｂ 的所有线路集合 为 Ｐ（Ａ）、Ｐ（Ｂ）。若 Ｐ（Ａ）∩Ｐ（Ｂ）≠Ф， 求出此交集 Ｐ１（ 不 分 上 、下 行） ， 然后根据 Ｐ１ 中线 路 由 Ａ 至 Ｂ 的 行 车 方 式 对 线 路 进 行 筛选， 得到线路集合 Ｐ２。若 Ｐ２≠Ф， 说明 Ａ 与 Ｂ 之间有直达 车， 并计算途径站点数； 否则， 无直达车， 转②。 ②依次比较 Ｐ（Ａ）和 Ｐ（Ｂ）中的各线路上的站点。若无相同 站点， 则说明从 Ａ 经过一次中转不能到达 Ｂ。若有相同站点 集 Ｑ， 则根据由 Ａ 至 Ｂ 行车方 式 依 次 判 断 经 过 Ｑ 中 站 点 中 转能否到达 Ｂ， 能到达的站点保留在 Ｑ 中并分别计算 Ａ 到此 点途径站点数 ｎ１ 和此站点到 Ｂ 途径站点数 ｎ２； 不能到达的 站点要从 Ｑ 中去除。若 Ｑ 不空， 则经过一次中转能到达 Ｂ； 若 Ｑ 为空， 则说明经过从 Ａ 到 Ｂ 经过一次中转不能到达， 转③。 ③依 次 比 较 Ｐ（Ａ）中 各 线 路 上 的 站 点 与 Ｂ 经 过 一 次 中 转
果公汽经 过 ｉ，ｊ 之 间 的 线 路 （ 从 第 ｉ 站 到 第 ｊ 站 ） 则 ｒｉｊ＝１， 如 果
没有则 ｒｉｊ＝０．因此得到 ０－ １ 规划模型：
３９５６ ３９５７
++ 目标函数： ｍｉｎ ＴＡＢ＝
ｔｉｊｒｉｊ （ｉ≠ｊ）
（ ６）
ｉ ＝ １ｊ ＝ １
３９５７ ３９５７
- + 约束条件： （ ｒｉｊ）＝１ （ｉ≠ｊ）