粗糙集方法
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IND(D) {{1,2,6,8,14},{3,4,5,7,9,10,11,12,13}}
PosC (D) U
1）计算缺少一个属性的等价关系
IND(C \{a1}) {{1,3},{2},{4,8},{5,9},{6.7},{10},{11},{12,14},{13}} IND(C \ {a2}) {{1,8},{2},{3},{4},{5,10},{6},{7},{9},{11},{12},{13},{14}} IND(C \ {a3}) {{1},{2},{3,13},{4,10},{5},{6},{7},{8},{9},{11},{12},{13},{14}}
即：
fa (x) fa ( y)
成立，称对象x和y是对属性A的等价关系， 表示为：
IND( A) {( x, y) | (x, y) U U ,a A, fa (x) fa ( y)}
（3）等价类定义
在U中，对属性集A中具有相同等价关系的 元素集合称为等价关系 IND(A) 的等价类， 表示为：
X {a,b,c}{b,c}
例2
对上例1的等价关系A有集合 X {b, c, f } 是粗糙集，计算集合X的下近似、上近似、 正域、负域和边界。 U中关于A的划分为：
A {{a,b,c},{d,e},{ f }}
有：
X {a,b,c}{b,c}
X {d, e}
X {f}{f}
可知有：
A ( X ) { f } A (X ) {a,b,c}{ f } {a,b,c, f }
A ( X ) PosA ( X ) BNDA ( X )
对于元素 xBND(X ) ，是无法确定其是否属于 X，因此对任意元素 x A(X ) ，只知道x可能属 于X。
（4）粗糙集定义
若 A (X ) A(X ) ，即 BND(X ) 即边界为空，称X 为A的可定义集；
否则X为A不可定义的， 即 A (X ) A(X ) ，称X为A的Rough集（粗糙集）
（3）正域定义 设决策属性D的划分 A {y1, y2...yn}，条件属性C 相对于决策属性D的正域定义为：
PosC (D) C _( y j )
（4）条件属性C相对于决策属性D的约简定义 若 c C，如果Pos(C{c}) (D) PosC (D) ， 则称c是C中相对于D不必要的，即可约简的，
由此可知，属性a2，a3是相对于决策属性d可省略的， 但不一定可以同时省略， 属性a1和a4是相对决策属性不可省略的，因此：
Core(c) {a1, a4}
2）计算同时减少{a2,a3}的等价关系和正域
IND(C \ {a2, a3}) {{1,8,9},{2,11}.{3,13},{4,5,10},{6,14},{7,12}}
从上面可见：
A ( X ) A ( X ) BNDA (X )
用图说明正域、负域和边界，每一个小长方形表 示一个等价类。
NEG（X）
Pos（X）
= A ( X )
X
正域
负域
图8.1 正域、负域和边界
BND（X） 边界
任意一个元素 x Pos(X ) ，它一定属于X； 任意一个元素 x NEG，(X )它一定不属于X；集 合X的上近似是其正域和边界的并集，即
CoreD (C) redD (C)
一般情况下，信息系统的属性约简集有多个，但约 简集中属性个数最少的最有意义。
属性约简实例
气候信息表是4个条件属性（天气a1，温 度a2，湿度a3，风a4）和1个决策属性（类别 d），见表8.1。
NO.
属性
类别
天气
气温
湿度
风
1
晴
热
高
无风
N
2
晴
热
高
有风
N
3
多云
热
E1 [a]A [b]A [c]A {a,b, c}
E2 [d]A [e]A {d, e}
E3 [ f ]A { f }
U中对属性A的划分为：
A {E1, E2 , E3} {{a,b,c},{d,e},{ f }}
（1）集合X的下近似定义
对任意一个子集 X U 属性A的等价类
粗糙集以等价关系（不可分辨关系）为 基础，用于分类问题。
它用上、下近似两个集合来逼近任意一 个集合，
该集合的边界线区域被定义为上近似集 和下近似集之差集。
上、下近似集可以通过等价关系给出确 定的描述，边界域的含糊元素数目可以 被计算出来。
模糊集（Fuzzy）是用隶属度来描述集合 边界的不确定性，隶属度是人为给定的， 不是计算出来的。
SGF(a,C, D) (C, D) (C {a}, D)
其中 (C {a},D) 表示在缺少属性a后，条件属性与决 策属性的依赖程度。 SGF(a,C, D) 表示C中缺少属性a后，导致不能被准确分 类的对象在系统中所占的比例。
2. SGF(a,C, D性) 质
（1） SGF(a,C, D∈) [0，1]
PosA ( X ) A ( X ) { f }
NEGA (X ) U A (X ) {d,e}
BNDA (X ) A (X ) A (X ) {a,b,c}
8.1.2属性约简的粗糙集理论
属性约简概念 在信息表中根据等价关系，我们可以用等
价类中的一个对象（元组）来代表整个等价 类，这实际上是按纵方向约简了信息表中数 据。
Pos(C \{a2 ,a3}) (D) {3,4,5,6,7,10,12,13,14} U
说明{a2,a3}同时是不可省略的。
3） 在{a2,a3}中只能删除一个属性 即存在两个约简：
redD (C){{a1, a2, a3},{a1, a2, a4 }}
从实例计算可以看出，信息表的属性约简是在 保持条件属性相对决策属性的分类能力不变的 条件下，删除不必要的或不重要的属性。 一般来讲，条件属性对于决策属性的相对约简不 是唯一的，即可能存在多个相对约简。
否则称c是C中相对于D必要的。
（5）条件属性C相对于决策属性D的核定义 若 R ，C 如果R中每一个都是相对于D必要的， 则称R是相对于D独立的。如果R相对于D独 立的，且 PosR (D) PosC (D) ，则称R是C中相对于D 的约简，记为redD (C)，所有这样简约的交称为C的D 核，记为：
（1）约简定义 给定一个信息表IT（U，A），若有属性集 B A 且满足 IND(B) IND(A)， 称B为A的一个约简。记为red（A）
B=red(A)
（2）核定义 属性集A的所有约简的交集称为A的核。记作
core(A) red(A)
Core(A)是A中为保证信息表中对象可精确定义 的必要属性组成的集合，为A中不能约简的重要 属性，它是进行属性约简的基础。
第8章
集合论方法
（一） 粗糙集方法
8.1粗糙集方法
8.1.1粗糙集概念 8.1.2属性约简的粗糙集理论 8.1.3属性约简的粗糙集方法 8.1.4粗糙集方法的规则获取 8.1.5粗糙集方法的应用实例
8.1.1粗糙集概念
粗 糙 集 （ Rough Set） 是 波 兰 数 学 家 Z.Pawlak于1982年提出的。
或
A (X ) x | [x]A X
表示等价类 Ei [x]A 中的元素x可能属于X， 即x A (X )，则x可能属于X，也可能不属于X。
（3）正域，负域和边界的定义
全集U可以划分为三个不相交的区域，即正域 （Pos），负域（NEG）和边界（BND）：
PosA ( X ) A ( X ) NEG A ( X ) U A ( X ) BNDA ( X ) A ( X ) A (X )
对信息表中的数据按横方向进行约简就是 看信息表中有无冗余的属性，即去除这些属 性后能保持等价性，使对象分类能力不会下 降。
约简后的属性集称作属性约简集，约简集 通常不唯一。
求最小约简集（含属性个数最少的约简集） 同样是一个困难问题，实际上它是一个NPhard问题。
研究者提出了很多启发式算法，如基于遗 传算法的方法等。
[x]A {y | (x, y) IND(A)}
（4）划分的定义
在U中对属性A的所有等价类形成的划分表 示为： A {Ei | Ei [x]A，i＝1，2....}
具有特性： （i.） Ei （ii.）当 i j时，Ei E j （iii.） U＝ Ei
例1
U {a( 体温正常），b（体温正常），c（体
温正常），d (体温高），e(体温高），f（体 温很高} 对于属性A（体温）的等价关系有：
IND( A) {(a,b), (a, c), (b, c), (d, e), (e, d ), (a, a), (b,b), (c, c), (d, d ), (e, e), ( f , f ),}
属性A的等价类有：
②若0< <1,则称D部分依赖于C（D Rough依赖于 C），即在已知条件C下，只能将U上那些属于正 域的个体分类到决策属性D的类别中去。
③若 ＝0，则称D完全不依赖C，即利 用条件C不能分类到D中的类别中去。
2.属性重要度定义 ,CD A，C为条件属性集，D为决策属性集，a∈ ，
属性Ca关于D的重要度定义为：
粗糙集理论用在数据库中的知识发现主要 体现在：
（1）利用等价关系对数据库进行属性约简。
（2）利用集合的上、下近似关系获取分 类规则。
(1)信息表定义
信息表S=(U，R，V，f)的定义为: U:是一个非空有限对象(元组)集合,
U={x1 x2 …xn},其中xi为对象(元组)。 R:是对象的属性集合,分为两个不相交的子集,
8.1.3粗糙集的属性约简方法
1．属性依赖度定义 信息表中条件属性C和决策属性D，属性D依赖
属性C的依赖度为：
(C, D) | PosC (D) | / | U |
其中 | PosC (D) |表示正域 PosC (D) 的元素个数， |U | 表示整个对象集合的个数。
(C,D) 的性质：
①若 ＝1，意味着 IND(C) IND(D，) 即已知条件 C下，可将U上全部个体准确分类到决策属性D的 类别中去，即D完全依赖于C。
即条件属性C和决策属性D, R=C D V:是属性值的集合， V a是属性的值域。 f ：是 U R V 的一个信息函数，它为每个对
象x的每个属性a赋予一个属性值，即
a R, x U , fa (x) Va
（2）等价关系定义
对 于 a A（ A 中 包 含 一 个 或 多 个 属
性），A R, x U, y U ，它们的属性值相同，
高
无风
P
4
雨
适中
高
无风
P
5
雨
冷
正常
无风
P
6
雨
冷
正常
有风
N
7
多云
冷
正常
有风
P
8
晴
适中
高
Baidu Nhomakorabea
无风
N
9
晴
冷
正常
无风
P
10
雨
适中
正常
无风
P
11
晴
适中
正常
有风
P
12
多云
适中
高
有风
P
13
多云
热
正常
无风
P
14
雨
适中
高
有风
N
令 C {a1, a2 , a3, a4}, D {d}
IND(C) {{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8},{9},{10},{11},{12},{13},{14}}
（2）若 SGF(a,C, D)
=0，表示属性a关于D是
可省的。因为从属性集中去除属性a后， C-{a}中的信息，原来可被准确分类所有 对象仍能准确划分到各决策类中去。
（3） SGF(a,C, D) ≠0，表示属性a关于D是 不可省的。因为为从属性集C中去除属性a 后，某些原来可被准确分类的对象不再能 被准确划分。
IND(C \{a4}) {{1,2},{3},{4,14},{5,6},{7},{8},{9},{10},{11},{12},{13}}
计算减少一个条件属性相对决策属性的正域
Pos(C\{a1}) (D) {2,5,9,10,11} U Pos(C \{a2}) (D) U Posc (D) Pos(C\{a3}) (D) U Posc (D) Pos(C\{a4})(D) {1,2,3,7,8,9,10,11,12,13} U
A ( X ) Ei | Ei A Ei X
或 A ( X ) x | [x]A X
有：E i
[ x]A
表示等价类 Ei [x]A中的元素x都属于X， 即x A(X ) ，则x一定属于X。
(2)集合X的上近似定义
对任意一个子集 X U ，属性A的等价类 Ei [x]A 有：
A ( X ) Ei | Ei A Ei X
PosC (D) U
1）计算缺少一个属性的等价关系
IND(C \{a1}) {{1,3},{2},{4,8},{5,9},{6.7},{10},{11},{12,14},{13}} IND(C \ {a2}) {{1,8},{2},{3},{4},{5,10},{6},{7},{9},{11},{12},{13},{14}} IND(C \ {a3}) {{1},{2},{3,13},{4,10},{5},{6},{7},{8},{9},{11},{12},{13},{14}}
即：
fa (x) fa ( y)
成立，称对象x和y是对属性A的等价关系， 表示为：
IND( A) {( x, y) | (x, y) U U ,a A, fa (x) fa ( y)}
（3）等价类定义
在U中，对属性集A中具有相同等价关系的 元素集合称为等价关系 IND(A) 的等价类， 表示为：
X {a,b,c}{b,c}
例2
对上例1的等价关系A有集合 X {b, c, f } 是粗糙集，计算集合X的下近似、上近似、 正域、负域和边界。 U中关于A的划分为：
A {{a,b,c},{d,e},{ f }}
有：
X {a,b,c}{b,c}
X {d, e}
X {f}{f}
可知有：
A ( X ) { f } A (X ) {a,b,c}{ f } {a,b,c, f }
A ( X ) PosA ( X ) BNDA ( X )
对于元素 xBND(X ) ，是无法确定其是否属于 X，因此对任意元素 x A(X ) ，只知道x可能属 于X。
（4）粗糙集定义
若 A (X ) A(X ) ，即 BND(X ) 即边界为空，称X 为A的可定义集；
否则X为A不可定义的， 即 A (X ) A(X ) ，称X为A的Rough集（粗糙集）
（3）正域定义 设决策属性D的划分 A {y1, y2...yn}，条件属性C 相对于决策属性D的正域定义为：
PosC (D) C _( y j )
（4）条件属性C相对于决策属性D的约简定义 若 c C，如果Pos(C{c}) (D) PosC (D) ， 则称c是C中相对于D不必要的，即可约简的，
由此可知，属性a2，a3是相对于决策属性d可省略的， 但不一定可以同时省略， 属性a1和a4是相对决策属性不可省略的，因此：
Core(c) {a1, a4}
2）计算同时减少{a2,a3}的等价关系和正域
IND(C \ {a2, a3}) {{1,8,9},{2,11}.{3,13},{4,5,10},{6,14},{7,12}}
从上面可见：
A ( X ) A ( X ) BNDA (X )
用图说明正域、负域和边界，每一个小长方形表 示一个等价类。
NEG（X）
Pos（X）
= A ( X )
X
正域
负域
图8.1 正域、负域和边界
BND（X） 边界
任意一个元素 x Pos(X ) ，它一定属于X； 任意一个元素 x NEG，(X )它一定不属于X；集 合X的上近似是其正域和边界的并集，即
CoreD (C) redD (C)
一般情况下，信息系统的属性约简集有多个，但约 简集中属性个数最少的最有意义。
属性约简实例
气候信息表是4个条件属性（天气a1，温 度a2，湿度a3，风a4）和1个决策属性（类别 d），见表8.1。
NO.
属性
类别
天气
气温
湿度
风
1
晴
热
高
无风
N
2
晴
热
高
有风
N
3
多云
热
E1 [a]A [b]A [c]A {a,b, c}
E2 [d]A [e]A {d, e}
E3 [ f ]A { f }
U中对属性A的划分为：
A {E1, E2 , E3} {{a,b,c},{d,e},{ f }}
（1）集合X的下近似定义
对任意一个子集 X U 属性A的等价类
粗糙集以等价关系（不可分辨关系）为 基础，用于分类问题。
它用上、下近似两个集合来逼近任意一 个集合，
该集合的边界线区域被定义为上近似集 和下近似集之差集。
上、下近似集可以通过等价关系给出确 定的描述，边界域的含糊元素数目可以 被计算出来。
模糊集（Fuzzy）是用隶属度来描述集合 边界的不确定性，隶属度是人为给定的， 不是计算出来的。
SGF(a,C, D) (C, D) (C {a}, D)
其中 (C {a},D) 表示在缺少属性a后，条件属性与决 策属性的依赖程度。 SGF(a,C, D) 表示C中缺少属性a后，导致不能被准确分 类的对象在系统中所占的比例。
2. SGF(a,C, D性) 质
（1） SGF(a,C, D∈) [0，1]
PosA ( X ) A ( X ) { f }
NEGA (X ) U A (X ) {d,e}
BNDA (X ) A (X ) A (X ) {a,b,c}
8.1.2属性约简的粗糙集理论
属性约简概念 在信息表中根据等价关系，我们可以用等
价类中的一个对象（元组）来代表整个等价 类，这实际上是按纵方向约简了信息表中数 据。
Pos(C \{a2 ,a3}) (D) {3,4,5,6,7,10,12,13,14} U
说明{a2,a3}同时是不可省略的。
3） 在{a2,a3}中只能删除一个属性 即存在两个约简：
redD (C){{a1, a2, a3},{a1, a2, a4 }}
从实例计算可以看出，信息表的属性约简是在 保持条件属性相对决策属性的分类能力不变的 条件下，删除不必要的或不重要的属性。 一般来讲，条件属性对于决策属性的相对约简不 是唯一的，即可能存在多个相对约简。
否则称c是C中相对于D必要的。
（5）条件属性C相对于决策属性D的核定义 若 R ，C 如果R中每一个都是相对于D必要的， 则称R是相对于D独立的。如果R相对于D独 立的，且 PosR (D) PosC (D) ，则称R是C中相对于D 的约简，记为redD (C)，所有这样简约的交称为C的D 核，记为：
（1）约简定义 给定一个信息表IT（U，A），若有属性集 B A 且满足 IND(B) IND(A)， 称B为A的一个约简。记为red（A）
B=red(A)
（2）核定义 属性集A的所有约简的交集称为A的核。记作
core(A) red(A)
Core(A)是A中为保证信息表中对象可精确定义 的必要属性组成的集合，为A中不能约简的重要 属性，它是进行属性约简的基础。
第8章
集合论方法
（一） 粗糙集方法
8.1粗糙集方法
8.1.1粗糙集概念 8.1.2属性约简的粗糙集理论 8.1.3属性约简的粗糙集方法 8.1.4粗糙集方法的规则获取 8.1.5粗糙集方法的应用实例
8.1.1粗糙集概念
粗 糙 集 （ Rough Set） 是 波 兰 数 学 家 Z.Pawlak于1982年提出的。
或
A (X ) x | [x]A X
表示等价类 Ei [x]A 中的元素x可能属于X， 即x A (X )，则x可能属于X，也可能不属于X。
（3）正域，负域和边界的定义
全集U可以划分为三个不相交的区域，即正域 （Pos），负域（NEG）和边界（BND）：
PosA ( X ) A ( X ) NEG A ( X ) U A ( X ) BNDA ( X ) A ( X ) A (X )
对信息表中的数据按横方向进行约简就是 看信息表中有无冗余的属性，即去除这些属 性后能保持等价性，使对象分类能力不会下 降。
约简后的属性集称作属性约简集，约简集 通常不唯一。
求最小约简集（含属性个数最少的约简集） 同样是一个困难问题，实际上它是一个NPhard问题。
研究者提出了很多启发式算法，如基于遗 传算法的方法等。
[x]A {y | (x, y) IND(A)}
（4）划分的定义
在U中对属性A的所有等价类形成的划分表 示为： A {Ei | Ei [x]A，i＝1，2....}
具有特性： （i.） Ei （ii.）当 i j时，Ei E j （iii.） U＝ Ei
例1
U {a( 体温正常），b（体温正常），c（体
温正常），d (体温高），e(体温高），f（体 温很高} 对于属性A（体温）的等价关系有：
IND( A) {(a,b), (a, c), (b, c), (d, e), (e, d ), (a, a), (b,b), (c, c), (d, d ), (e, e), ( f , f ),}
属性A的等价类有：
②若0< <1,则称D部分依赖于C（D Rough依赖于 C），即在已知条件C下，只能将U上那些属于正 域的个体分类到决策属性D的类别中去。
③若 ＝0，则称D完全不依赖C，即利 用条件C不能分类到D中的类别中去。
2.属性重要度定义 ,CD A，C为条件属性集，D为决策属性集，a∈ ，
属性Ca关于D的重要度定义为：
粗糙集理论用在数据库中的知识发现主要 体现在：
（1）利用等价关系对数据库进行属性约简。
（2）利用集合的上、下近似关系获取分 类规则。
(1)信息表定义
信息表S=(U，R，V，f)的定义为: U:是一个非空有限对象(元组)集合,
U={x1 x2 …xn},其中xi为对象(元组)。 R:是对象的属性集合,分为两个不相交的子集,
8.1.3粗糙集的属性约简方法
1．属性依赖度定义 信息表中条件属性C和决策属性D，属性D依赖
属性C的依赖度为：
(C, D) | PosC (D) | / | U |
其中 | PosC (D) |表示正域 PosC (D) 的元素个数， |U | 表示整个对象集合的个数。
(C,D) 的性质：
①若 ＝1，意味着 IND(C) IND(D，) 即已知条件 C下，可将U上全部个体准确分类到决策属性D的 类别中去，即D完全依赖于C。
即条件属性C和决策属性D, R=C D V:是属性值的集合， V a是属性的值域。 f ：是 U R V 的一个信息函数，它为每个对
象x的每个属性a赋予一个属性值，即
a R, x U , fa (x) Va
（2）等价关系定义
对 于 a A（ A 中 包 含 一 个 或 多 个 属
性），A R, x U, y U ，它们的属性值相同，
高
无风
P
4
雨
适中
高
无风
P
5
雨
冷
正常
无风
P
6
雨
冷
正常
有风
N
7
多云
冷
正常
有风
P
8
晴
适中
高
Baidu Nhomakorabea
无风
N
9
晴
冷
正常
无风
P
10
雨
适中
正常
无风
P
11
晴
适中
正常
有风
P
12
多云
适中
高
有风
P
13
多云
热
正常
无风
P
14
雨
适中
高
有风
N
令 C {a1, a2 , a3, a4}, D {d}
IND(C) {{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8},{9},{10},{11},{12},{13},{14}}
（2）若 SGF(a,C, D)
=0，表示属性a关于D是
可省的。因为从属性集中去除属性a后， C-{a}中的信息，原来可被准确分类所有 对象仍能准确划分到各决策类中去。
（3） SGF(a,C, D) ≠0，表示属性a关于D是 不可省的。因为为从属性集C中去除属性a 后，某些原来可被准确分类的对象不再能 被准确划分。
IND(C \{a4}) {{1,2},{3},{4,14},{5,6},{7},{8},{9},{10},{11},{12},{13}}
计算减少一个条件属性相对决策属性的正域
Pos(C\{a1}) (D) {2,5,9,10,11} U Pos(C \{a2}) (D) U Posc (D) Pos(C\{a3}) (D) U Posc (D) Pos(C\{a4})(D) {1,2,3,7,8,9,10,11,12,13} U
A ( X ) Ei | Ei A Ei X
或 A ( X ) x | [x]A X
有：E i
[ x]A
表示等价类 Ei [x]A中的元素x都属于X， 即x A(X ) ，则x一定属于X。
(2)集合X的上近似定义
对任意一个子集 X U ，属性A的等价类 Ei [x]A 有：
A ( X ) Ei | Ei A Ei X