高等数学练习答案6-2
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习题6-2
1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
6
1
]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)
解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101
0=-=-=⎰x x e ex dx e e A ,
解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为
1)1(|ln ln 1
11=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e
e e
. (3)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3
32]2)3[(1
32=--=⎰-dx x x A .
(4)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3
32
|)313()32(31323
12=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22
1
x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);
解:
3
8
8282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A
3
4238cos 16402+=-=⎰ππ
tdt .
346)22(122-=-=ππS A .
(2)x y 1=与直线y =x 及x =2;
解:
所求的面积为
⎰-=-=2
12ln 2
3)1(dx x x A .
(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;
解:
所求的面积为
⎰-+=-=-1021
)(e
e dx e e A x x .
(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解
所求的面积为
a
b e dy e A b
a y b
a y -===⎰ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:
y '=-2 x +4.
过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,2
3(, 所求的面积为
49]34(62[)]34(34[23
023
2
32=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A .
4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2
(p p
处的法线所围成的图形的面积.
解
2y ⋅y '=2p .
在点),2(p p 处, 1),2(=='p p y p
y , 法线的斜率k =-1,
法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p
x -=2
3.
求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p
和)3,2
9(p p -.
法线与抛物线所围成的图形的面积为 2332323
16)612123()223(
p y p y y p dy p y y p A p
p p
p =--=--=--⎰. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;
(1)ρ=2a cos θ ; 解:
所求的面积为
⎰⎰==-202222
2cos 4)cos 2(21π
ππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解
所求的面积为 ⎰
⎰
⎰===204
220
2330sin cos 34)cos ()sin (44π
πtdt t a t a d t a ydx A a
220620428
3]sin sin [12a tdt tdt a ππ
π
=-=⎰⎰.
(3)ρ=2a (2+cos θ ) 解
所求的面积为
2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[2
1a d a d a A πθθθθθπ
π=++=+=⎰⎰.
6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:
所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==a
a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020
)cos 1()cos 1()cos 1(π
π22023)2
cos 1cos 21(a dt t t a a
=++-=⎰.
7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积. 解
所求的面积为
)(4
21)(21222222πππ
πθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A .
8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.
(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ 解
曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3
,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为
πθθθθπ
ππ4
5])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=. 解
曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6
,22(π. 所求的面积为
2
316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπ
ππd d A .