工程流体力学5理想流体

2 gh 1 1 du dt 2 gh u l 2 gh u
积分得：
2 gh u 2 gh u
2 gh
Ce
l
t
当t=0时，u=0，C=1。因此：
u
2 gh e
2 gh
2 gh l
t
1
e
l
t
1
当
t
这就是理想流体运动方程的兰勃-葛罗米科形式。
§5.2 理想流体的伯努里方程
一、伯努里方程 当理想流体的密度仅与压强有关时，我 们称它为理想正压流体。理想正压流体在有 势质量力的作用下，其运动方程在定常及无 旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体 兰勃-葛罗米科形式运动方程： 1 u 1 2 u u u F p t 2
当流体为理想、正压、质量力有势、无旋且定 常时，拉格朗日积分改写成：
u2 p z C 2g g
二、拉格朗积分应用
旁管出流的不定常 过程如图示。旁管为等直 径的水平管，水箱很大， 近似认为出流不影响液面 高度，水平管内的流动近 似认为一维流动。根据无 旋流动，有：
x x u u 0 udx dx 0 x t 0 t
式中 为势函数。
积分上式得：
1 ~ u 2 V C t t 2
C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取 同一常数值，这就是拉格朗日积分。
对不可压缩均质流体：
1 p dp
~ V gz
拉格朗日积分写成：
1 2 p u gz C t t 2
C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线 取不同的值，这就是伯努里方程。对不可压缩 均质流体： 1 dp p ~

V gz
伯努里方程写成：
1 2 p u gz C 2 u2 p z C1 2g g
当流体为理想、正压、质量力有势且定常 且无旋时，运动方程写成：




当 a b 时，有：
1 a 2 a a a a 2 a a 1 a 2 a a 1 a 2 a a 2 2
原理：利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内 的液体吸入泵内与主液流混合。
分析： √ √ √ √ ？ √ AA、 pA、 VA； AC、 pC、 VC 则A-C列能量方程可求 PC .
射流泵
例9 图示为一抽水装置，利用 喷射水流在吼道断面上造成的 负压，可将M容器中的积水抽 出。 已知：H、b、h（不计损失），
1 2 ~ u V 0 2
积分得：
u2 p z C 2g g
C为积分常数，在整个流场中取同一值。
二、伯努里方程的物理意义
上式表明单位重量流体的总能量（动能、 势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图 示。
三、伯努里方程的应用
（1）一般水力计算问题 例1: 已知一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图所示。 dA= dB
通常将理想流体的运动方程称为欧拉方程。在
直角坐标系中有：
u x u x u x u x p t u x x u y y u z z Fx x
u y u y u y u y p Fy ux uy uz t x y z y
时，
u
2 gh
例2：已知不可压缩流体作平面势流流动， 在X方向上的速度分量为 u x yt x ，且在 x＝y＝0 处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝0 时流场的压力分布。
解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒 方程，有：
u y u x u y u x 0 1 u y y c ( x, t ) x y y x
当 a u 时，有：
u u 1 u 2 u u 2
故加速度可表示为
d u u u 1 2 u u u u u dt t t 2


这就是兰勃-葛罗米科形式的加速度表达形式。
u 1 2 u u u F p 2 t
得：
u s 将等式两端点乘流线的切线单位矢量 ， u
1 2 ~ s u V s u u 0 2 1 2 ~ u V 0 s 2
~ 沿流线积分得： 1 u 2 V C 2
（2）节流式流量计
例4: 设管径为 D，孔板孔径为 d，1－1 断面处速度为 V1， 2－2 断面处速度为 V2，孔眼处速度为 V。
取1－2断面列能量方程和连续性方程
p1 V12 p 2 V22 hw1 2 2g 2g V1 A1 V2 A2 VA
工程流体力学
机械工程学院装备系
§5 理想流体运动
§5.1 理想流体运动方程
假设存在一种流体，其粘度为零， 该流体称为理想流体。客观上是不存在 这种流体的，但当流体的粘度非常小且 对运动过程的影响可以不考虑时，可以 把它当理想流体处理。
理想流体的运动方程：
du F p dt
根据势流流动条件，有：
u y
u x c 0 t 0 cx, t xt c1 t x y x
由于x＝y＝0 处ux=uy=0条件，得C1(T)=0， 所以 u 。求势数： y y xt
1 2 u x yt x xyt x c2 y, t x 2 c2 1 2
u z u z u z u z p t u x x u y y u z z Fz z
u u u F p t
例： 巳知流体流动的速度为：
u y y 2 6 xy 3 yz 2 u z z 3 xy 2 u x 3x 2 xy
当理想流体为正压流体时，则：
1
当质量力有势时，则：

p
~ F V
运动方程具有以下形式：
u 1 2 ~ u V u u 0 t 2
当流体为理想、正压、质量力有势且运动为 定常时，上式变为：
~ 1 u 2 V u u 0 2
求：Vc＝？Q＝？pB＝？ √ √ ？ √ ？ ？ √ √ ？ zA、 pA、 VA； zB、 pB、 VB； zC、 pC、 VC
例2: 有一喷水装置如图示。 已知h1＝0.3m，h2＝1.0m， h3＝2.5m，求喷水出口流速 及水流喷射高度h（不计水头 损失）。
例3：一水槽在同一 侧面有两个大小相同的 孔口，上面的孔口离水 面2m，下面孔口离水面 4m，试求两孔射流为定 常运动时，在哪一点相 交。
d R dt u v V dv d u v u dt dt V S
其中：
d dt u v V t u u x x u u y y u u z z u v V dv u x u y u z u dt V u x y z v V
体流量。
例6: U形水银压差计连接 于直角弯管，已知： d1＝300mm， d2＝100mm，
管中流量Q＝100L/s时，
试问：压差计读数Δh等 于多少？（不计水头 损失）
（3）皮托管(测速管)原理
例7: 常用皮托管测量流 速，皮托管测速原理 如图示，如果被测流 体为不可压缩流体。
根据伯努里方程有：


当x＝y＝0 处，ux=uy=0，p＝p0。故：
c3 p o C t t
c3 1 p c3 p0 2 2 xy yt x y xt t 2 t


p0 1 p 2 2 xy yt x y xt 2 p0 p 1 2 2 xy yt x y xt 2
y u y y xt y c2 y, t y c3 t y 2
所以:
1 2 1 2 xyt y x c3 t 2 2
由拉格朗日积分得：
1 2 p u C t t 2 c3 1 p 2 2 xy yt x y xt C t t 2
求：吼道有效断面面积A1与喷 嘴出口断面面积A2之间应满足 什么样的条件能使抽水装置开 始工作？
§5.3 理想流体的拉格朗日积分
一、拉格朗日积分
当流体为理想、正压、质量力有势且无旋 流动时，兰勃-葛罗米科形式运动方程变为：
~ 1 2 u V 0 t 2 ~ 1 2 u V 0 2 t
根据连续性方程，有：
u 0 u C t x
在X段内，u仅是时间的函数，即：
du x du 0 dx t dt x t dt
在同一时刻，A、B 两点的关系：
p0 du u 2 p0 gh l dt 2
du 1 2 2 gh u dt 2l
Q理论 A 2 g p1 p2
(1) (2)
p

Q A 2 g

对于液气压差计
对于水－汞压差计
p1 p2

h
p1 p2
Hg 1h
例5：液体自下而上 流动，如图示。液 体的密度为ρ ，测 压计的流体密度为 ρ m ，试求管中液
2
质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1） 位置上的压力梯度。采用ρ=1000kg/m3, g＝ 9.8m/s2。