圆锥曲线离心率选择题

圆锥曲线离心率选择题
1．已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x
, 1A 、2A 是实轴顶点,F 是右焦点，),0(b B 是
虚轴端点，若在线段
BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得
12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是
A ．)2
1
6,
2(+ B ．51(2,)2+ C ．)2
1
6,
1(+ D ．51(,)++∞ 2．已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且3
21π
=∠PF F ，则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．
334 B ．3
3
2 C ．
3 D ．2 3．设双曲线2222x y a b
-＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1相切，则该双曲线的离心
率等于( )
A ．3
B ．2
C ．5
D ．6 4．已知双曲线C ：
﹣
=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且
=3，则双曲线离心率的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．2
5．抛物线x y 82
=的焦点为F ，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设n FB m FA ==,则
=+n
m 1
1（ ） A ．4 B ．8 C ．2
1
D ．1 6．已知双曲线
)0,0(12
2
22
>>=-b a b y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上情况都有可能
7．已知抛物线2
2y px =（p ＞0）的焦点F 恰好是双曲线22
221x y a b
-=的右焦点,且两条曲线
的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为( )
8．已知动点(,)P x y 在椭圆
22
12516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,则
||PM u u u u r 的最小值是（ )
2 D.3
9．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为e ，直线与双曲线C 交于B A ,两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线()022
>=p px y 上，且M 到抛物线焦点的距
离为p ，则直线的斜率为（ ）
A. 12
+e B. 12
-e C. 212+e D. 2
12-e
10．存在两条直线x m =±与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于ABCD 四点，若四边形
ABCD 是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．)+∞
D ．)+∞
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：由于线段
BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得
12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，说明以12A A 为直径的圆与BF 有两个
交点，首先要满足2a b e <⇒>，另外还要满足原点到BF 的距离小于半径a ，因为
原点到BF 的距离为
2
2
bc b c
+，则
2
2
bc b c
+a <，整理得：
422b a c <，则22210c a ac e e -<⇒--<15
2
e +⇒<
，综上可知51
22
e +<<
； 考点：求离心率 2．A 【解析】
试题分析：设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x ，双曲线的方程为
)0,0(12
2
2212>>=-b a b y a x ，半焦距为c ，由面积公式得333212
⨯=⨯b b ，所以22
12)13(3c a a +=⨯+，令
θθsin 23,cos 21
==c
a c a ，所以 33
4sin 3
2cos 21111≤
+=+=+θθc a c a e e ，即椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
3
3
4。

考点：离心率的表示方法焦点三角形的面积公式 3．C
【解析】设切点P(x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0． 由题意有
y x ＝2x 0， 又y 0＝x 02
＋1，解得x 02
＝1，
所以b a ＝2，e 2
1b a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
5
4．C
【解析】由题意，A 在双曲线的左支上，B 在右支上， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），右焦点F （c ，0），则
∵=3，
∴c﹣x 1=3（c ﹣x 2）， ∴3x 2﹣x 1=2c
∵x 1≤﹣a ，x 2≥a， ∴3x 2﹣x 1≥4a， ∴2c≥4a， ∴e=
≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2， 故选：C ．
5．C 【解析】
试题分析：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0）设l ：y=kx 2k ，与y 2=8x 联立，消去y 可得k 2x 2
（4k 2
+8）x+4k 2
=0，设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=4+
2
8k
，x 1x 2=4根据抛物线的
定义可知
FA m
==x 1+2，
FB n
==x 2+2∴
11m n +=121122x x +++=()121212424x x x x x x +++++=12
故选C . 考点：直线与抛物线的位置关系. 6．B 【解析】
试题分析：设以线段112,PF A A 为直径的两圆的半径分别为12,r r ，若P 在双曲线左支，如图所示，则()2121112111
2222
O O PF PF a PF a r r =
=+=+=+，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P 在双曲线右支，同理求得2112O O r r =-，故此时，两圆相内切．综上，两圆相切，故选B ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定；双曲线的简单性质．
7．C
【解析】
试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（p
p
±,
2
），代入双曲线方程得=
-
2
2
2
2
4
b
p
a
p
１，又c
p
=
2
，,1
4
2
2
2
2
=
⨯
-
∴
b
c
a
c
化简得0
64
2
2
4=
+
-a
c
a
c，0
1
62
4=
+
-
∴e
e，2
2)2
1(
2
2
3+
=
+
=
∴e，1
2+
=
∴e，故选C.
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.
8．B
【解析】
试题分析：由||1
AM=
u u u u r
可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，∴要使得|PM
u u u u r
的值最小，则要
u
的值最小，而
u
的最小值为a-c=2，此时|PM
u u u u r
=3，故选B．
考点：本题考查了圆与圆锥曲线的关系
点评：求最值过程中利用三角形两边之差小于等于第三边来取得最值，又要结合椭圆的定义，很关键
9．D
【解析】
试题分析：∵M到抛物线焦点的距离为p，∴
2
M
p
x p
+=，∴M
(,)
2
p
p
，设点
1122(,),(,)A x y B x y ,代入双曲线方程22
221x y a b
-=相减得222122
212M AB
M y y b x b k x x a y a -===-，又
双曲线C 的离心率为e ，∴2
2
21b e a =+
，∴2
2
2
1b e a =-，∴
212AB e k -=
，故选D
考点：本题考查了直线与双曲线的位置关系
点评：熟练掌握双曲线中的“中点弦”问题是解决此类问题的关键，属基础题 10．C 【解析】
试题分析：四边形ABCD 是正方形()0A A x y m m ∴==>代入得22
221m m a b -=
22
2
2222222
2a b m a b a c a e b a
∴=≥∴≥∴≥∴≥- 考点：求双曲线离心率
点评：求离心率的值或范围关键是找到关于,.a b c 的齐次方程或不等式。