山东大学数学专题高等代数部分第三章第三讲PPT

2. 设A=A n×m与 B=Bm×n . 当n > m时，AB与BA的特征多项式只差一个因子λ n-m . B 证：令A1 = ( A，) 是n阶方阵，B1 = 是n阶方阵， 0 0 由前题知：A1B1与B1A1有相同的特征多项式，又AB=A1B1，
B BA 0 B1A1 = ( A，) = 0 ，设BA的特征多项式为ϕ ( λ )， 0 0 0
3. 最小多项式：
(1) 若g ( λ ) 是首项系数为 1，且以A为根的多项式中次数最低的多项式， 则称g ( λ ) 为A的最小多项式； (2) 对任意多项式ϕ ( λ )，若ϕ ( A ) = 0，则g ( λ ) ϕ ( λ )，特别g ( λ ) f ( λ )； (3) A的特征值是A的最小多项式的根； A1 (4) 若M= O ，Ai是方阵， As 则A的最小多项式是Ai的最小多项式的最小公倍式.
故Tr ( A1B1 − B1A1 ) = 0，而Tr λ I r）=rλ，故： λ r = 0，即λ = 0， （ 即C的任一特征值为0，由上题知 C m = 0.
分别为/A1，/B1，由A1B1 − B1A1 = λ I r，因Tr ( A1B1 ) = Tr ( B1A1 )，
6. 设A、B分别是复数域上的k阶和r阶方阵，且A、B无公共 特征值. 证明：AX=XB只有零解（其中X是k×r矩阵）.
4. A m = 0当 且 仅 当 A的 特 征 值 全 为 零 . 证 ： A m = 0， 则 A的 任 一 特 征 值 λ m = 0， 故 λ =0
J1 0 1 J2 0 O ，J = 反之，设P-1AP=J，则A=PJP-1，J= ， i O O 1 Js 0 设Ji的阶数为 mi，则Jimi = 0, 取m=max {mi }，
二、例题
1. A、B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式（特征值）
证：(1) 设A可逆，则 λ I − AB = A−1 ( λ I − AB) A = λ I − BA . (2) 若A不可逆，若A-xI可逆，则由(1)知， B ( A-xI ) 与 ( A-xI ) B有相同的特征多项式, 即 -B ( A-xI ) + λ I = - ( A-xI ) B + λ I ，但仅有有限个值使 A-xI = 0， 即有无限个x的值使A-xI可逆，从而上式是恒等式. 特别，当x =0时，上式正确，即 λ I − AB = λ I − BA . 时，上式正确，
n −1 n λ − ∑ a ibi . i =1 nFra bibliotekn −1
，且 β ′α = ∑ a i b i
i =1
n
〈 2〉由于 A 的特征值为 0 ， ，， a i b i， L 0 ∑
i =1
故 I + A 的特征值为1 ， 1 ，+ ∑ a i b i . L 1
i =1
n
看书上的题3.35, 3.42, 3.43, 3.46, 3.53, 3.55, 3.57.
7. 设λ1， λn是n阶方阵 A的特征值， A∗为 A的伴随矩阵， L 证明： A ∗ 〈1〉 A可逆，则A 的特征值为 ， 1 ≤ i ≤ n；
λi
〈 2〉 A不可逆，则A ∗的特征值为0与 A11 + A 22 + L + A nn， 其中 A ij是a ij的代数余子式.
证 ： 〈1〉 A可逆， A ∗ = A A −1，从而 A ∗的特征值为 〈 2〉 A不可逆，则 r ( A ) ≤ n − 1，故 r ( A ∗ ) ≤ 1. 故 A ∗的特征值为0与 A11 + A 22 + L + A nn . A ， 1 ≤ i ≤ n.
第三讲 矩阵的特征值与特征多项式
一. 重要公式和结论
1、特征值与特征向量
(1) 存在非零向量 X 使 AX= λ X ，则 λ 称 A 的特征值， X 称 A 属于 λ的特征向量， λ 是特征多项式 f ( λ ) = λ I − A 的根. A 属于 λ的特征向量是方程组 ( λ I − A ) X=0 的所有非零解； ( 2 ) ϕ ( λ ) 是 ϕ ( A )的特征值， A 可逆则 λ -1也是 A -1的特征值；
证： 〈1〉设f ( λ ) 是A的特征多项式，先证f ( B ) 非奇异.
f ( B ) = ( B − λ1I )( B − λ2 I )L ( B − λk I )，λ1， λk不是B的特征值， L 故 B − λi I ≠ 0，即 f ( B ) ≠ 0.
设λ1， λk是A的特征值，则f ( λ ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 )L ( λ − λk )， L
2. 特 征 多 项 式 (A= A n × n )
(1) f ( λ ) = λ I − A = λ n + a 1 λ n-1 + L + a n-1 λ + a n ,
k n
其 中 a k 是 A 的 所 有 k 阶 主 子 式 之 和 与 ( - 1) 的 积 ， 特 别 的 a n = ( - 1) A . A1 A2 ， A 是 方 阵 ， (2) 若 M = i O As 则 M 的 特 征 多 项 式 是 A i的 特 征 多 项 式 之 积 . (3) 哈 密 顿 凯 来 定 理 f(A)=0.
i
则 Jm
J 1m Jm 2 = O J sm
= 0,
A
m
= PJmP
-1
= 0
5. 设A、B、C是实数域上的矩阵，若AB-BA=C，C与A，B可换， 证明：Cm = 0
证：设A、B、C分别是复数域上的n维向量空间V的线性变换/A，/B，/C， 关于基α1， α n的矩阵，则由AB-BA=C知， /A/B-/B/A=/C， L 且/C与/A，/B可换，设λ是C的任一特征值，则λ也是/C的特征值， 令Vλ 是/C的属于λ的特征子空间，则 Vλ 是/C的不变子维空间， 记/C1 = /C Vλ ，/A1 = /A Vλ ，/B1 = /B Vλ ， 显然，/A1/B1 − /B1/A1 = /C1，且因Vλ ≠ {0}，可在Vλ中取基ε1， ε r， L /C1关于该基的矩阵为λ Ir，设/A1，/B1关于该基的矩阵
则 B1A 1的特征多项式为 ϕ ( λ ) λ n-m .
3. A，B是正定矩阵，则AB的特征值大于零.
证：令A=PP′，B=QQ′， ≠ 0， ≠ 0 P Q AB=PP′QQ′=(PP′Q)Q′， 注意Q′(PP′Q)与(PP′Q)Q′有相同的特征值， 又 Q′(PP′Q)=(P′Q)′(P′Q)， P′Q ≠ 0， Q′(PP′Q)=(P′Q)′( P′Q)是正定矩阵，故特征值大于0， 则AB的特征值大于零.
〈 2〉 X=0显然是AX=XB的解，若AX=XB，则A 2 X = A ( XB ) = ( AX ) B = XB2 . 一般的有，A n X = XBn，于是f ( A ) X = Xf ( B )，又f ( A ) = 0， 故 Xf ( B ) = 0， ( B ) ≠ 0，X=0， f 即 AX=XB只有零解.
λi
从而 A ∗至多有一个非零特征值，特征值的和等于矩阵的迹，
8. 令α = ( a1 ,a 2 ,L ,a n )′ , β = ( b1 , b 2 ,L , b n )′ , A = αβ ′, 求： 〈1〉 A的特征多项式； 〈 2〉 I+A的特征值.
解： 〈1〉 A = αβ ′与 β ′α 的特征多项式差因子 λ 故 λ I-A = λ