高一数列练习题及答案

1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝ 3．已知方程(x 2

－2x ＋m )(x 2

－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4

1

的等差数列，则 ｜m －n ｜等于

4．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是 5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

35a a ＝9

5

，则59S S ＝ 6．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2

1

2b a a -的值是

7．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2

n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝

8．设f (x )＝

2

21+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得

f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .

9．已知等比数列{a n }中，

(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .

10．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．

11．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 . 12．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ . 13．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2

－2n ，求证数列{a n }成等差数列.

(2)已知

a 1，

b 1，

c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，c

b

a +也成等差数列. 14．设{a n }是公比为 q

的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．

(1)求q 的值；

(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n

与b n 的大小，并说明理由．

15．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

n

n 2

+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{n

S n

}是等比数列．

1． 代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．

2．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，

即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2

＝7． 解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．

3．解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝4

1

＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中

两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，

∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45

是另一个方程的两个根．

∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝2

1

，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4

＝n ．

由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为

第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47

，

∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21

．

4．解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0. ∴S 4 006＝2

＋006400641)

(a a ＝

2

＋006400420032)

(a a ＞0，

∴S 4 007＝

20074·(a 1＋a 4 007)＝2

007

4·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．

解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，

∴S 2 003为S n 中的最大值．

∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示， ∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，

∴

2

007

4在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．

5．∵59S S ＝2

)(52)

(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·9

5＝1

(第4题)