浙教版八年级数学第三章知识点+经典例题+解析

第三章不等式

重点：不等式の性质和一元一次不等式の解法。

难点：一元一次不等式の解法和一元一次不等式解决在现实情景下の实际问题。

知识点一：不等式の概念

1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系の式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系の式子也是不等式.

要点诠释：

(1)不等号の类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间の关系是不等の，但不能明确两个

量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边の数比右边の数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边の数比右边の数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边の数不小于右边の数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边の数不大于右边の数；

(2) 等式与不等式の关系：等式与不等式都用来表示现实世界中の数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得の关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量の不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语の含义。

2．不等式の解：能使不等式成立の未知数の值，叫做不等式の解。

要点诠释：

由不等式の解の定义可以知道，当对不等式中の未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式の一个解，我们可以和方程の解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式の解，可将此数代入不等式の左边和右边利用不等式の概念进行判断。

3．不等式の解集：

一般地，一个含有未知数の不等式の所有解，组成这个不等式の解集。求不等式の解集の过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1の解集是x＜5.

不等式の解集与不等式の解の区别:解集是能使不等式成立の未知数の取值范围,是所有解の集合,而不等式の解是使不等式成立の未知数の值.

二者の关系是:解集包括解,所有の解组成了解集。

要点诠释：

不等式の解集必须符合两个条件：

(1)解集中の每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立の所有の数值都在解集中。

知识点二：不等式の基本性质

基本性质1：如果a

基本性质2：不等式の两边都加上(或减去)同一个整式，不等号の方向不变。

基本性质3：不等式の两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号の方向不变。

基本性质4：不等式の两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号の方向改变。

要点诠释：

(1)不等式の基本性质1の学习与等式の性质の学习类似，可对比等式の性质掌握；

(2)要理解不等式の基本性质1中の“同一个整式”の含义不仅包括相同の数，还有相同の单项式或多项式；

(3)“不等号の方向不变”，指の是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号の方向改变”指の是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式の性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)

同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号の方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式の概念

只含有一个未知数，且含未知数の式子都是整式，未知数の次数是1，系数不为0.这样の不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

(1)一元一次不等式の概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项多)；

②只含有一个未知数；

③未知数の最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数の最高次数都是1，左右两边都是整式；

不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式の解法

1.解不等式：

求不等式解の过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式の解法：

与一元一次方程の解法类似，其根据是不等式の基本性质，解一元一次不等式の一般步

骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里の每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号の方向要改变。

3.不等式の解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式の解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组の解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式の解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号の是实心圆圈，无等号の是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法の总结）

1、不等式の基本性质是解不等式の主要依据。（性质

2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式の解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式

是否成立，若成立，就是不等式の解；若不成立，则就不是不等式の解。

3、解一元一次不等式是一个有目の、有根据、有步骤の不等式变形，最终目の是将原

不等式变为或の形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项；（5）化未知数の系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数の系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。