组合与组合数的计算

探究新知
排列：一般的，从n个不同元素中，任取m（m≤n)个元素,按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：一般的，从n个不同元素中，任取m（m≤n)个元素并合成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
导入公式
组合
abc
abd acd
bcd
每一个组合对应3！个排列. 排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
导入公式
A 求求3P可34 可分分两两步步考虑考：虑 ： 4
需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的
方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺
序,有多少种不同的方法?
排列问题
深化理解
从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有
组合分别是: ab , ac , bc
(有3个组合)
已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
Cnm
不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
例题讲解
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
3
C A 从而
34
4 3
A3
C3 4
P3 4
P3 3
组合数公式
从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数：
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
3. 将6本书平均分成三堆，有 ___ 种不同的选 法.
4. 将6本分成1,1,4三堆，有 ___ 种不同的选法.
2021
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
导入公式 所有的排列为：
abc
每3！个排列对应一个组合.
bac cab dab
abd bad cad dac
acb bca cba dba
acd bcd cbd dbc
adb bda cda dca
adc bdc cdb dcb
所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 共有6个组合.
导入公式
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.
c
a b
b c
c
d abc ， abd ， acd ， bcd .
d d
每一个组合对应3！个排列.
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
组合与组合数的计算
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动脑思考
（1）从甲、乙、丙三名同学中选出两名，一名担任班长，一名担任副班长， 则共有多少种不同的选法？
从甲、乙、丙三名同学中选出两名，去参加一项活动，则共有多少种不 同的选法？
（2）小明从五本不同的书中选出4本送给4位同学，每人一本，共有多少种不 同的送法？
小明从五本不同的书中选出4本送给小刚，共有多少种不同的送法？
有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种
车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有
多少种分法?
组合问题
例题讲解
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
巩固练习
练习2: 1. 从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 ___
种不同的选法.
C62 15 种不同的选法.
2. 将4位同学平均分成两组去参加座谈会，有 ___ 种不同的选法.
(n m 1)
A Amn
(n
n! , m)!
m m!
m
被选数的阶乘
Cnm
n! m!(n
m)!
剩余数的阶乘 选出数的阶乘
巩固练习
练习1: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，
通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.
（1） 中国—美国 美国—古巴