排列数与组合数的计算
排列组合概率与算法
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
附：排列数组合数部分性质：
1
Anm
n
Am1 n 1
n m 1
Am1 n
A A 2 m2 n n2
Ann Amm
n! m!
Cnm
Amm
n, m N , n m
2 n 1! n 1 n! n n!n! n n! n 1!n!
2）知概率求概率问题：弄清复合事件的类型
事件和（互斥事件只是一个发生）、事件积 （相互独立事件同时发生）、n次独立实验中某 事件发生k次的概率
例、电报信号由“.”与“-”组成，设发报台传送 “.”与“-”之比为3：2，由于通讯系统存在干扰， 引起失真，传送“.”时失真的概率为0.2（传送 “.”而收到“-”），传送“-”时失真的概率为0.1. 若收报台收到信号“.”，求发报台确实发出“.” 的概率
N 0,1 u N u, 2
排列组合与排列数和组合数
复习排列、组合的定义及排列数和 组合数的计算
一、基本内容 1、计数原理：加法原理(分类)与乘法原理(分步) 使用原则：先分类后分步 应用示例 流量问题等\染色、花坛问题等等
2、排列与组合 1）排列与组合定义
2）排列数与组合数
公式：Anm=
Cnm=
注意问题：(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 数与组合数性质；必胜429页例1、2
2、概率及其计算
1)等可能事件的概率计算方法
2)几何概型的计算方法
3)条件概率及其计算
4)连续型随机事件的概率的计算：积分
3、基本公式
1)古典概率
PA
m n
2)互斥事件的概率 PA B PA PB
排列组合计算公式
1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
排列与组合的求解方法
排列与组合的求解方法排列与组合是数学中重要的概念和计算方法，广泛应用于各个领域。
在解决问题时，我们经常会遇到需要计算不同元素的排列或组合的情况。
本文将介绍排列与组合的定义、基本性质以及常用的求解方法。
一、排列的求解方法1.全排列法全排列法是求解排列问题最常用的方法之一。
它的基本思想是通过逐个确定某个元素的位置，将问题分解为子问题，并递归求解。
以求解n个元素的全排列为例，首先将第一个位置确定为一个元素，然后将剩余的n-1个元素进行全排列，直到最后一个元素。
2.字典序法字典序法是另一种常用的排列求解方法。
它的基本思想是通过字典序的顺序，依次生成下一个排列。
具体做法是，从右向左找到第一个不满足升序的相邻元素对（i，j），然后从右向左找到第一个大于i的元素（k），将i和k交换位置，最后将j右边的元素按升序排列。
3.逆序对法逆序对法是一种简单而直观的排列求解方法。
它的基本思想是通过计算逆序对的个数，确定排列的位置。
逆序对指的是右边的元素小于左边的元素的情况。
以求解n个元素的全排列为例，全排列总数为n!，每个元素在某一位置上产生逆序对的概率为1/n。
因此，逆序对法可以通过计算逆序对的个数，确定某个排列的位置。
二、组合的求解方法1.穷举法穷举法是求解组合问题最直观的方法。
它的基本思想是通过逐个选择元素，将问题分解为子问题，并递归求解。
以求解从n个元素中选取m个元素的组合为例，首先将第一个元素选择为组合的一部分，然后将剩余的n-1个元素中选择m-1个元素的组合，直到最后一个元素。
2.数学公式法数学公式法是一种快速计算组合数量的方法。
通过使用组合数公式，可以直接计算出从n个元素中选取m个元素的组合数量。
组合数公式为C(n,m) = n! / ((n-m)! * m!)，其中n!表示n的阶乘。
根据这个公式，可以直接计算出组合的数量。
3.递推法递推法是一种逐步确定组合元素的方法。
它的基本思想是通过前一步的组合结果，推导出下一步的组合结果。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P----——和顺序有关组合C ——-——--不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法。
”排列”把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p（n,m）表示.p（n，m）=n(n—1）(n-2)……（n-m+1）= n！/（n—m）!（规定0!=1）。
2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m）表示。
c(n,m）=p（n，m）/m！=n!/(（n—m）！*m！)；c（n,m）=c(n,n-m)；3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r（n—r）！。
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2，。
.。
nk这n个元素的全排列数为n!/（n1！＊n2！＊。
＊nk！)。
k类元素，每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c（m+k —1，m）。
排列（Pnm(n为下标，m为上标））Pnm=n×（n—1）....（n—m+1)；Pnm=n！/(n—m)！（注：！是阶乘符号）；Pnn(两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标)=n组合（Cnm（n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！;Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ;Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn —m2008—07—08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
如何计算出所有组合
如何计算出所有组合计算所有可能的组合是一种数学问题，可以使用不同的方法来解决。
下面将介绍几种常用的计算组合的方法以及其应用场景。
1.排列组合法排列组合法是一种基本方法，用于计算给定集合中的所有可能的组合。
对于给定的n个元素，可以使用排列组合法计算它们的组合数。
(a)计算组合数：组合数是n个元素中选取r个元素的排列数，可以根据以下公式计算：C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)。
例如，C(4,2)=4!/(2!*2!)=6 (b)列举所有组合：可以使用递归方法列举给定集合中的所有组合。
具体步骤如下：-选择第一个元素，并将其与剩下的n-1个元素的所有组合进行组合。
-重复上述步骤，直到选择了r个元素，则每次得到一个组合。
2.二进制法二进制法是一种简单且高效的方法，适用于计算二进制组合。
对于给定的n个元素，可以使用二进制法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-将n个元素用二进制表示成长度为n的二进制串，例如n=4，则有0000~1111-对于每个二进制串，将其对应位置上为1的元素加入组合中。
例如，对于n=4个元素，可以使用二进制法得到以下组合：0000000100100011...111011113.递归法递归法是一种常用的方法，适用于计算元素个数较少的组合。
对于给定的n个元素，可以使用递归法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-选择第一个元素，并将其与剩下的n-1个元素的所有组合进行组合。
-重复上述步骤，直到选择了r个元素，则每次得到一个组合。
例如，对于n=4个元素，可以使用递归法得到以下组合：(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)4.位图法位图法是一种高效的方法，适用于计算元素个数较多的组合。
对于给定的n个元素，可以使用位图法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-创建一个长度为n的二进制位图，所有位都设为0。
-遍历所有的组合：-将一些设为1，表示该元素在组合中。
2.2 排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列 （在乎顺序）全排列：n 个人全部来排队，队长为n 。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列：n 个人选m 个来排队(m<=n)。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m 个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2．组合（ 不在乎顺序）n 个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。
如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m 个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质２:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助？练习：311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3．其他排列与组合（1）圆排列：n 个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).（2）重复排列 (有限)：k 种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ，这n 个球的全排列数，为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).（3）重复组合 (无限)：n 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k 个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数！不过已经不是b 系列，而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。
组合数和排列数公式
组合数和排列数公式
组合数和排列数是数学中的重要概念，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
组合数和排列数的公式分别为：
组合数：C（n，m）= n！/（m！*（n-m）！）
排列数：A（n，m）= n！/（n-m）！
其中，n和m分别表示总数和取出的数量。
组合数是从n个不同元素中取出m个元素，构成一个组合的可能性数量。
比如，从10个不同的数字中取出3个数字，构成一个组合的可能性数量就是C（10，3）= 10！/（3！*（10-3）！）= 120。
排列数是从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的可能性数量。
比如，从
10个不同的数字中取出3个数字，按照一定顺序排列的可能性数量就是A（10，3）= 10！/（10-3）！= 720。
组合数和排列数的公式可以帮助我们解决许多实际问题，比如，在抽奖活动中，可以用组合数来计算中奖的可能性；在排列组合中，可以用排列数来计算不同排列的可能性。
总之，组合数和排列数是数学中重要的概念，它们的公式可以帮助我们解决许多实际问题。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；An m=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；Cn m=A n m/m!=n!/((n-m)!*m!)C n m=C n n-m倒数排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有()A.6种B.12种 C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
组合与组合数公式
组合与组合数公式组合是数学中的一种问题求解方法，也是一种计算其中一集合的子集数量的方法。
它是离散数学中的一个重要概念，并具有广泛的应用领域，包括概率论、组合数学、计算机科学等。
组合的数学公式有很多种，下面将介绍其中的一些重要的组合公式。
1.排列公式：排列是从给定的元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序组成的方法，排列公式表示为P(n,k)，表示从n个元素中选取k个元素进行排列的方法数。
其公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从给定的元素集合中选取若干个元素不考虑顺序地组成的方法，组合公式表示为C(n,k)，表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方法数。
其公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)3.二项式定理与组合公式：二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了如何展开一个二项式的幂。
在二项式定理的展开式中，组合公式被广泛使用，其公式为：(x+y)^n=C(n,0)x^ny^0+C(n,1)x^(n-1)y^1+···+C(n,k)x^(n-k)y^k+···+C(n,n)x^0y^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方法数。
4.集合的幂集：集合的幂集是指一个集合中所有子集的集合。
对于一个含有n个元素的集合，其幂集的元素数量为2^n。
这可以通过组合公式来进行推导。
假设集合中的元素均不相同，那么对于每一个元素，可以选择放入子集或不放入子集，因此有两种选择。
而对于含有n个元素的集合，总共有n个元素可以进行选择，因此总共有2^n种选择，即幂集的元素数量为2^n。
这些都是组合与组合数公式中的重要的基本公式。
利用这些公式，可以解决很多组合问题，包括如何计算排列或组合的方法数、如何展开一个二项式的幂等问题。
组合数也广泛应用于概率论中，用于求解一些事件发生的概率等问题。
统计组合的计算公式
统计组合的计算公式
在数学中，统计组合是一种研究组合对象的数学分支，它包括了许多计算公式来求解各种问题。
以下是一些常见的统计组合计算公式： 1. 排列计算公式：排列是指从n个不同元素中取r个元素的不
同排列数，用P(n,r)表示，计算公式为：
P(n,r) = n!/(n-r)!
2. 组合计算公式：组合是指从n个不同元素中取r个元素的不
同组合数，用C(n,r)表示，计算公式为：
C(n,r) = n!/r!(n-r)!
3. 重复排列计算公式：重复排列是指从n个元素中取r个元素
进行排列，允许元素重复出现的不同排列数，计算公式为：
n^r
4. 重复组合计算公式：重复组合是指从n个元素中取r个元素
进行组合，允许元素重复出现的不同组合数，计算公式为：
C(n+r-1,r)
5. 圆排列计算公式：圆排列是指n个不同元素围成一个圆排列，不同排列数为(n-1)!，计算公式为：
(n-1)!
以上就是统计组合的一些常用计算公式，它们可以帮助我们快速求解各种组合问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的计算公式来进行计算，以达到最佳效果。
- 1 -。
排列与组合的计算方法
排列与组合的计算方法嘿，咱今儿来聊聊排列与组合的计算方法呀！这玩意儿可有意思啦。
你想啊，排列就像是给一群小伙伴排排队，谁站前面谁站后面，顺序那是相当重要。
比如说，从三个人里选两个人站成一排，那不同的站法可就不一样咯。
这就好比你去挑衣服，红的先穿还是蓝的先穿，效果可能就大不同呢！组合呢，就没那么在意顺序啦。
还是那三个人，咱就只是选出来，不管谁在前谁在后。
就好像你去买水果，你挑了苹果和香蕉，和挑了香蕉和苹果，其实没啥区别，都是那几样水果嘛。
那怎么计算排列呢？咱有个公式哦，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数等于n 乘以(n-1)乘以(n-2)一直乘到(n-m+1)。
举个例子，从 5 个不同的球里选 3 个排排站，那就是 5 乘以 4 乘以 3 啦。
计算组合呢，也有公式呀，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数等于从 n 个元素里取 m 个元素的排列数除以 m 的阶乘。
哎呀，是不是有点晕乎啦？别急别急，咱慢慢来。
比如说，从 5 个球里选 3 个，不管顺序，那就先按排列算，是 5 乘以 4 乘以 3，然后除以 3 的阶乘，也就是 3 乘以 2 乘以 1，这样不就得出组合数啦。
咱再打个比方，要从一群人里选几个去干活儿，这就得考虑是要算排列还是组合啦。
要是去排队站岗，那就是排列，顺序重要呀；要是就去帮忙搬个东西，谁先谁后无所谓，那就是组合咯。
学排列与组合的计算方法有啥用呢？用处可大啦！你想想，以后要是遇到分配任务、安排座位啥的，你就能心里有数，知道有多少种不同的办法啦。
而且，很多实际问题都能用到呢，像抽奖啦、比赛啦等等。
咱学这个可不能死记硬背公式哦，得理解透彻，多做点题，找找感觉。
等你熟练了，就会发现，哇，原来这么简单呀！到时候，你就能在各种问题面前游刃有余啦。
总之呢，排列与组合的计算方法就像是一把钥匙，能帮我们打开很多有趣的数学之门，让我们看到更多奇妙的数学世界。
大家可得好好学呀，别小瞧了它们哟！。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P-—---—和顺序有关组合C -——-—-—不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法。
”排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m）表示.p(n，m)=n(n—1)(n-2）……（n—m+1）= n!/（n—m)！（规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示。
c(n，m）=p（n,m)/m!=n!/((n—m)！＊m！）;c（n，m)=c（n,n-m); 3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n—r)!。
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,。
..nk这n个元素的全排列数为n！/(n1！*n2!＊.。
＊nk！).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1，m)。
排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×(n-1）..。
.（n—m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：!是阶乘符号)；Pnn（两个n分别为上标和下标) =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标)=n组合（Cnm(n为下标,m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n！/m！（n-m）！;Cnn（两个n分别为上标和下标) =1 ；Cn1（n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn—m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
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排列数与组合数的运算
陕西省秦岭中学——王 琪
教学目标
1. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合 数的计算公式，理解组合数的两个性质；
2. 掌握排列数、组合数求值与证明技巧。
基础过关
4 1.若C3 C n n , 则n的值为
（ D） D.7
A.5
B.6
C.8
nm 【提示】由Cm C n n 得n 3 4 7.
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
2.组合
从
n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素组成一组
，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
3.排列数公式
从n个不同元素中取出m （m n）个元素的所有排列的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A 表示. A n n 1 n 2 n m 1 ，该公式一般适用于运算.
n2 n 2 n
分析提示 显示答案
小 结
1、排列数的生成，组合数的生成； 2、组合数两个性质公式如何理解与证明； 3、牢记公式，多练习！
高
3 【解】（1）A16 16 15 14 3360.
本题考查排列数、 组合数公式的应用，培 养学生的计算能力.
（2）A 6 720. 6 6！
4 （3）A 6 6 5 4 3 360.
10 9 8 7 6 5 4 （4）（解法一）C 120. 7！ 10 9 8 7 3 （解法二）C10 C10 120. 3! 10 ！ 10 9 8 7 （解法三）C10 120. 7！！ 3 3！
得：x 3或6
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练3】
210 C C C C ______.
3 7 4 7 5 8 6 9
3 4 5 6 5 6 5 6 6 4 【提示】C7 C7 C8 C9 =C84 C8 C9 =C9 C9 =C10 =C10 =210
n m 1
B. C
n m
n m2
C. C
n 1 m
D. C
n 1 m 1
【提示】C +2C C C
分析提示 显示答案
+C
n2 m
n n 1 n 1 n2 =（C m +C m ）（ + Cm ++C m ) n m 1 n m2
C .
n 1 m 1
目标检测
1 2
分析提示
显示答案
典例剖析
【例1】 【例2】 【例3】
方法总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要注意等价转化思想的运用.
2.如果想不到该怎么作，那么将排列数或者组合数都化作阶乘.
目标检测
1 2
3 4 5
6
n n 1 n2 1. C m +2Cm +C m 的值为
（B） .
n 1 m
CA. C
0
.
5 4 5 4 5 5 5 【提示】C5 C C C C C C C m m1 m m m m1 m1 m1 =0.
分析提示
显示答案
目标检测
1 2
5 m
3 4 5
3 m
6
6.(1)若A 2A ，则m的值为 (2)若C
n2 n
5
.
；
28, 则n
8
2.方程C C
x 28
3 x 12 28
的解为x C.6 D.28
（ C）
A.10或6
B.10
n m 【提示】①由Cm C ，得x 10. n n ，x 3x 12 28
②由x 3x 12, 得x 6.
基础过关
4 3.若A3 6C n n，则n等于
（C ） D.6
2 100
C C C C C C
3 96 2 96 2 97 2 98 2 99
3 96
C
显示答案
3 101
166650.
… C
3 100
C 18820.
3 96
典例剖析
【例1】【例2】 【例3】
方法总结
本题是排列数的逆用.
【例2】（1）若A m n 17 16 15 … 5 4， 则n 17 ，m 14 ；
6（ n n 1） ( n 2)( n 3) 【提示】由题意得n(n -1)( n - 2) , 4 3 2 1 化简得n 3 4, n 7.
A.9
B.8
C.7
4.解方程： 3 A =2A A.5 B.6
3 x
2 x 1
+6A ，得x等于 C.7 D.8
2 x
【提示】（ 1）m(m 1)(m 2)(m 3)(m 4) 2m(m 1)(m 2)， 化简得m 7m 10 0, 解得m （舍去）或 2 m 5.
2
（ n n 1 ） （2）C 28 C 28，可得 28, 2 1 n 2 n 56 0，解得n 8或n （舍去） 7 .
秦 中
高
万物皆为数！——毕达哥拉斯
所有问题都可以转化为数学问题！——笛卡尔 问题才是数学的心脏。！——（美）（P·R·Halmos)哈尔莫 斯 数学就是解题。 ——（匈-美）G·波利亚 1.依葫芦画瓢地模仿；2.利用现成的方法解决新的问题；3.提 出新的思路,创造新的方法,开辟新的研究领域。——华罗庚先 生在谈及数学研究时,提到了三种境界 数学好玩。 ——（美-中）陈省身
6.如果A 10 9 8 5，那么m
m 10
6
.
【提示】由10-m+1=5得 m=6.
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
1.排列
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素，按照一定的次序排成一列 ， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识要点
排列
从n个不同元素中取出m （m n）个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C 表示. A C A
m n m n m m m n
n n 1 n 2 n m 1 m!
n !m ! ( m n) n m ! .
通过排列数公式的特点推 导出n和m的值.
（2）若n N，则(55 n )(56 n ) (68 n)(69 n) 用排列数符号表示为
A
15 69 n .
对排列数公式掌握透彻.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】【例3】
方法总结
8 ，m 【变式训练2】若Am n 3 4 5 6 7 8，则n
分析提示 显示答案
n 3 n
目标检测
1 2
3 4 5
6
4. Am An m的值为
n n m m A. Am n 1 B. An n C. An m D. Am 1
（ C）
【提示】展成阶乘看看.
分析提示
显示答案
目标检测
1 2
3 4 5
5 m
6
5 m1
5.计算：C C
C
4 m
7 10
本题第（4）小题利用 组合数的性质解决问题， 要比纯用组合数的方式解 决问题方便得多.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析
【例1】 【例2】 【例3】
方法总结
2 3 【变式训练1】求值： A4 C 1 3A5 4 7 3! 2 2 2 2 2 C C C C 2 3 4 100
x 3 x2
3 4 5
6
1 3 2. C C Ax3的值为 10 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
x 2 x2
（C ）
1 3 Ax 3 10
2
【提示】C
x2 x2
C
x 3 x2
=C
x2 x 3
C
5 x 3
x 3！ x 3!， 5 ！ x 2 ！ 10 x
（A ）
3x( x 1)( x 2) 2( x 1) x 6 x( x 1) 【提示】 , 得x 5. x3
基础过关
5.若C C
x 8
x 1 8
C , 则x
3 9
3或6
.
x 3 【提示】由C8x C8x1 C9 C9 , 得x 3或6.
； .
94 95 96 97 ； 3 C C C C 96 97 98 99
(1)原式 60 24 35 6 55.
2 2 2 2 3 原式 C C C C 96 97 98 99
(2)原式 C C C C
3 3 2 3 2 4
知识要点
排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数的性质
5.组合数的性质：
（ 1）C C
m n
n m n
;
（2）C
m n 1
C C
m n
m1 n
（m n, 且m, n N） .
典例剖析
【例1】【例2】 【例3】 方法总结