离散数学期末考试试题(有几套带答案1)

离散数学试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R

证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R

⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R

2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)

证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔m0∨m1∨m2∨m7

⇔M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1）C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S

证明：(1) (C∨D)→⌝E

(2) ⌝E→(A∧⌝B)

(3) (C∨D)→(A∧⌝B)

(4) (A∧⌝B)→(R∨S)

(5) (C∨D)→(R∨S)

(6) C∨D

(7) R∨S

2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明（1）∃xP(x)

(2)P(a)

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))

(4)P(a)→Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)∃x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）

证明∵x∈A-（B∪C）⇔x∈A∧x∉（B∪C）⇔x∈A∧（x∉B∧x∉C）⇔（x∈A∧x∉B）∧（x∈A∧x∉C）⇔x∈（A-B）∧x∈（A-C）⇔ x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x,y∈N∧y=x2}，S={| x,y∈N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、

R{1,2}、S[{1,2}]（10分）

解：R-1={| x,y∈N∧y=x2}，R*S={| x,y∈N∧y=x2+1}，S*R={| x,y∈N∧y=（x+1）2}，

七、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1⇔存在z（∈g-1∧∈f-1）⇔存在z（∈f∧∈g）⇔∈gf⇔∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

离散数学试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T

证明左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ⇔T (代入)

2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))

证明∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q) ⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10分）

1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S

证明：（1）R 附加前提

(2)⌝R∨P P

(3)P T(1)(2),I

(4)P→(Q→S) P

(5)Q→S T(3)(4),I

(6)Q P

(7)S T(5)(6),I

(8)R→S CP

2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)

证明：(1)∀x⌝P(x) P

(2)⌝P(c) T(1),US

(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P

(4)P(c)∨Q(c) T(3),US

(5)Q(c) T(2)(4),I

(6)∃x Q(x) T(5),EG

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）

证明：∵x∈ A∩（B∪C）⇔ x∈ A∧x∈（B∪C）⇔ x∈ A∧（x∈B∨x∈C）⇔（ x∈ A∧x∈B）∨（x∈ A∧x∈C）⇔ x∈（A∩B）

∨x∈ A∩C⇔ x∈（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、π={A1，A2，…，A n}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈A i，I=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。

证明：∀a∈A必有i使得a∈A i，由定义知aRa，故R自反。

∀a,b∈A，若aRb ，则a,b∈A i，即b,a∈A i，所以bRa，故R对称。

∀a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈A i及b,c∈A j。因为i≠j时A i∩A j=Φ，故i=j，即a,b,c∈A i，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射（15分）。

证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f-1。所以,f-1是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f-1且∈f-1,则有∈f且∈f。因为f是函数，则y1=y2。所

以，f-1是单射。因此f-1是双射。

一、选择题.(每小题2分，总计30)

1.给定语句如下：

（1）15是素数（质数）

（2）10能被2整除，3是偶数。