有限元法

有限元分析课程期末论文----浅谈对有限元法的认识现代工业、生产技术要求高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。

为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切的预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力。

应变和位移。

但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际文艺的有效分析。

弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性，材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。

因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。

有限单元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。

一、有限元法概述有限单元法早在40年代初期就有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限单元法得以迅速发展。

有限单元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授，于1954--1955年间，他在《Aircraft engineerring》上发表了许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限单元法的理论基础。

美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人与1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，说明了如何利用计算机进行分析。

美国R.W.Clough于1960年在Zienlliewice教授及其合作者解决了将有限元应用与所有场的问题，是有限单元法的应用范围更加广泛。

有限单元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。

发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。

而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。

二、有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力，对于每个单元，根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理（或用变分原理）建立单元节点力和节点位移之间的关系。

最后，把所有的单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。

有限单元分析计算的基本步骤可归纳为以下五点：1、结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限元法的基础。

将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元划分。

离散后单元与单元之间利用单元节点相互连接起来，将求解区域变成为用点、线或面划分的有限组数目的单元组合成的集合体。

单元的形状原则上是任意的。

例如，在平面问题中通常采用三角形单元，有时也采用矩形或任意四边形单元。

在空间问题中，可以采用四面体，长方体或任意六面体单元。

可见，不管单元取什么样的形状，在一般情况下，单元的便捷总不可能与求解区域的真实边界完全吻合，这就带来了有限单元法的一个基本近似性---几何近似。

在一个具体的结构中，确定单元的类型和数目以及哪些部位的单元可以取得大一些，哪些部位单元应该取得小一些，需要由经验来做出判断，单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大。

所有有限元法中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的众多单元以一定方式连接成的离散物体。

这样，用有限元法分析计算所得的结果只是近似的。

如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的计算结果就越逼近实际情况。

（1）网格划分基础与划分原则复杂结构的离散是有限元分析的基础，也决定着计算结果的精确度。

一个复杂的结构总可以离散为一维、二维、三维的小单元。

当然对二维和三维单元，其离散后的形状可以为任意的，但是为了计算的方便性和精确性的结合，二维单元一般采用三角形和四边形，而三维单元则采用四面体和六面体。

简单的说，复杂结构的离散就是网格的划分。

有限元网格的划分有很多原则，一是网格数量，网格数量直接影响计算精度和计算时耗，网格的数量增加会提高计算精度，但同时计算时耗也会增加。

当网格数量较少时增加网格计算精度可明显提高，但计算时耗不会有明显增加；当网格数量增加到一定程度后，在继续增加网格时精度提高就很小，而时耗却大幅度增加。

所有在确定网格数量时应权衡着两个因素综合考虑。

二是网格密度，为了适应应力等计算数据的分布特点，在结构不同部位需要采用大小不同的网格。

如在孔的附近有集中应力，因此网格需要加密，周边应力梯度相对较小，网格划分较稀。

该网格反映了疏密不同的网格划分原则：在计算数据变化梯度较大的部位。

为了较好的反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格；而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，网格则应相对稀疏。

三是单元阶次，单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联，单元一般具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。

高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所有增加单元阶次可提供计算精度。

但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。

四是网格形状，网格单元的形状好坏对计算精度有着很大的影响，单元形状太差的网格甚至会中止计算。

在网格划分时应保证合理的单元形状，即使只有一个单元形状很差或畸形时，也可能给计算结果带来很大的误差，甚至使得计算无法进行下去。

（2）对网格的评价单元形状评价一般有以下几个指标：（1）单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准，理想的单元的边长比为以，线性单元可接受的边长比小于三，二次单元小于十。

（2）扭曲度：单元面内的扭转和面外的翘曲程度。

（3）节点编号：节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因素有较大的影响，从而影响计算时耗和存储容量的大小。

因此合理的节点编号有利于刚度矩阵对称、带状分布求解效率，从而提高计算速度。

（3）不同维数模型划分介绍我们对各维模型的单元划分做简单的介绍。

一维单元可分为两种。

一类是单元的节点参数中只包含场函数的节点值C0型，另一类是单元的节点参数中，除场函数的节点值外，还包含场函数导数的节点值的C1型单元。

这分别是拉格朗日单元和Hermite单元。

也就是说拉格朗日是一次插值单元，而后者是二次插值单元，这样就能保证导数的连续性，也就是能保证在连结处除了位移连续，连接的交点也是光滑的。

对二元单元，可以采用三角形和四边形单元。

对三角形单元，如同一维单元的情形，可以利用总体笛卡尔坐标，也可以利用无量纲的局部自然坐标以构造三角形单元的插值函数。

利用总体笛卡尔坐标构造三结点三角形单元的差值函数较复杂，更普遍采用的是局部自然坐标来直接构造一般三角形单元的差值函数，这时运算比较简单。

三角形单元的插值一般采用面积坐标，把一个三角形用线分成等分块，由插值函数的性质等可以推导出差值函数。

通常情况下，采用矩形单元比三角形单元更为方便而有效。

其差值函数的推导和一维情况也很相似，也可以构造二维的拉格朗日矩形单元和Hermite矩形单元。

此时后者的精度同样比拉格朗日单元精度要高。

由于有时四边形单元的节点在矩形内部，所以一个偶然的发现，Serendipity四边形单元被发现，这个单元有很多优势，一方面由于在实际应用中有时希望统一单元的不同边界有不同数目的节点，这样可以实现不同阶次单元之间的过渡，从而可能在求解的不同区域采用不同精度的单元，另一方面通过它阐述构造单元插值函数的一般方法。

三维单元可能有的几何形状要比二维单元多得多，在应用中只讨论集中常用的形状，又因为构造其插值函数的方法是二维的推广，所以其形式是很容易构造出来的。

其四面体单元也可以用体积坐标，同时也存在Serendipity单元。

2、单元分析1）选择位移模式位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数式，由于所采用的函数是一种近似的试函数，一般不能精确地反映单元中真实的位移分布，这就带来了有限元法的另一种基本近似性。

采用位移法时，物体或结构物散离化之后，就可以把单元中的一些物理量如位移、应力和应变等由节点位移来表示。

这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。

通常，有限单元法中我们将位移表示为坐标量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数，如αi Φiy= ni式中，αi 是待定系数；Φi是与坐标有关的某种函数。

2）建立单元刚度矩阵选定单元的类型和位移模式以后，就可以按虚功原理或最小势能原理建立单元刚度方程，它实际上是单元各个节点的平衡方程，其系数矩阵称为单元刚度矩阵k e δe =F e式中，e为单元编号；δe为单元的节点位移向量；F e为单元的节点力向量；k e为单元刚度矩阵，它的每一个元素都反映了一定的刚度特性。

根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。

此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

3、整体分析有限元法的分析过程就是先分后合，即先进行单元分析，在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基本方程。

集成所遵循的原则是各相邻单元在共同节点处具有相同的位移。

利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来；形成整体的有限元方程Kδ=F式中，K为整体结构的刚度矩阵；δ为整体节点位移向量；F为整体载荷向量。

4、求解方程，得出节点位移解有限元方程式Kδ=F得出位移，这里可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

有限元方程是一组方程组，方程组在经历平衡问题中就是以节点位移为基本未知量的系统节点平衡方程。

有限元求解的效率及计算结果的精确很大程度上取决于线性代数方程组的解法。

特别是随着研究对象的更加复杂，有限元分析需要采用更多单元的离散模型来近似实际结构或力学问题的几何构形时，线性代数方程组的阶数就越来越高。

因而，线性方程组采用何种有限的方法求解，以保证求解的效率和精度就成为更加重要的问题。