杆件结构的有限元法

F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧

单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k

k u1 k u2

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

节点排列和编号 刚度矩阵的特点

对称性 稀疏性 带状分布

刚度矩阵的存储

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弹簧的节点力向量和节点位移向量
Biblioteka Baidu
F
F1 F 2
u
u1 u 2

1

2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧

单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2

单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—坐标系

局部坐标系统
每个杆件单元坐标系统

整体坐标 坐标变换
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

考虑横向力情况下的杆件单元刚度矩阵
Fx1 1 Fy1 A E 0 F 1 L x 2 F y 0 2
Fx1 cos Fy1 sin Fx2 0 Fy2 0
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

节点位移变换
坐标变换矩阵
T

杆件的单元刚度矩阵在整体坐标下的表达式
F T T K e T K e

2012/5/24
杆件结构的有限元法

杆件结构的有限元法

单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度

基本概念

杆件结构的有限元法—单个弹簧

单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k

杆件结构的单元划分、节点定义

节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

杆件的力与变形关系
等效刚度
F

A E u L
杆件的单元刚度矩阵（均质等截面铰支杆）
F1 A E 1 1 u1 u F 1 1 L 2 2
节点 自由度
0 1 0 0 0 1 0 0
0 u1 v1 0 0 u2 0 v2

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

节点力坐标变换
F T F
sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 Fx1 0 Fy1 sin Fx2 F cos y2
单元刚度 刚度矩阵的对称性 刚度矩阵的奇异性

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—组合弹簧

组合弹簧中节点和单元

单元刚度矩阵 单元刚度组合成系统刚度矩阵
F1 ka F2 ka F 0 3
ka k a kb kb
0 u1 kb u2 kb u3

3

2012/5/24
杆件结构的有限元法—组合弹簧

矩阵扩大 按节点编号将相应单元的刚度矩阵元素叠加 刚度矩阵和节点编号、自由度关系
杆件结构的有限元法—组合弹簧

刚度矩阵奇异性的物理意义 刚度矩阵求解
F1 K11 K12 X 1 F2 K 21 K 22 X 2
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的有限元法—组合弹簧
F1 ka F2 ka F 0 3

ka k a kb kb
0 u1 kb u2 kb u3
节点自由度和总体刚度矩阵阶数的关系 引入约束条件求解方程
局部坐标下 单元刚度矩阵 整体坐标下 单元刚度矩阵

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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵

刚度矩阵重要性质

对称性—关于主对角线对称 稀疏性—矩阵中有大量的零元素 带状性—非零元素在主对角线两侧呈带状分布
杆件结构的有限元法—例题

三杆受力桁架有限元建模

节点自由度 单元划分 单元类型选择 边界条件