第二章__杆系结构的有限元法分析

可知，截面扭矩为： M
GI
d dx
GIBδ ⓔ
式中：
B dN dx
1 l
1 l
有限元单元法 Finite Element Analysis
第2章 杆系结构的有限元法分析
2.1 概 述
有限单元法的基本思想是从整体到局部，再回到整体，即对我们分析的整
体对象，根据其结构特点，对其进行离散化，得到有限个独立的单元，然后对每个 单元进行单元分析，最后根据单元分析的结果对结构物进行整体分析，求得结构物 的某些参数。
第六步：进行单元分析
形成单元刚度矩阵。通常运用虚位移原理或最 小势能原理来进行单元分析建立单元刚度矩 阵 k ⓔ 和等效结点荷载矩 FEⓔ 。
第七步：进行整体分析，形成整体刚度矩阵
我们进行单元分析的最终目的是要对结构进行整体分析， 因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵。注意的是， 如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换， 将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系下的单元特 性。
j
l 设扭转杆单元的长度为 ，截面惯性矩为 I ，剪切模量为 G ，杆端扭矩分别为 Mi 、
Mj ，杆端扭转角分别为 i 、 j ，单元上的分布荷载集度为 m(x) ，则任意截面的
扭转角为：
(1
x l
)i
x l
j
Nδ ⓔ
式中： ⓔ i j T 为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为： Fdⓔ FEⓔ k ⓔδ ⓔ
k 这里 ⓔ 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， FEⓔ 为局部坐标系下等效结点荷载矩阵。
根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
k
ⓔ
EA l
1 1
1
1
2.2.2 扭转杆单元
i Mi i y
m (x)
扭转Fra Baidu bibliotek单元示意图
Mj j x
0
W变
l
Adx
0
l
ⓔT
BT
EAB
δ ⓔdx
0
将上式整理得：
Fdⓔ
l q(x)N T dx
0
T
δⓔ δⓔT
l BT EABdx δⓔ
0
式中： Fdⓔ Fi
T
Fj 为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：
FEⓔ
l q(x)N T dx
0
等效结点荷载
k ⓔ l BT EABdx 0
第八步：引入边界条件
边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性，否则，我们 的问题就是不适定的。
第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移 列阵 ，并进一步计算各单元的应力分量及主应力、 主向。
第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分 析，用表格、图线示出所需的位移及应力。
2.2 局部坐标系中杆单元分析
N
j
ui u j
Nδ
ⓔ
其中
Ni
1
x l
，
N
j
x l
称为形函数；
N Ni Nj 为形函数矩阵；
δⓔ ui uj T 为局部坐标系下的结点位移矩阵。
② 进行应力、应变分析
根据应变的定义，有：
du dx
dN dx
δⓔ
1 l
1 l
δⓔ
Bi
Bj δ ⓔ Bδ ⓔ
由虎克定律，其应力为：
E EBδⓔ
③ 求单元刚度矩阵
利用虚位移原理求单元刚度矩阵：
假设杆端 i 、 j 分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆
轴任意截面的虚位移为：u N ui ui T N δⓔ
对应的虚应变为： B δⓔ
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 W变
W外 FdⓔT δ ⓔ
l q(x)N δ ⓔT dx
弯曲杆件系统
以直代曲
截面连续变化的杆件系统
若干微小的等截面杆单元
第二步：对各结点和单元进行编码
(8 9 10) 5
6 4 3 (2 3 4) 3
1
1 (0 0 0)
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
单元划分示意图
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
第三步：建立整体坐标系和各单元的局部坐标系
(8 9 10) 5
6 4 3 (2 3 4) 3
1
1 (0 0 0)
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
2.2.1 拉压杆单元
ui Fi i y
q(x)
Fj
uj
x j
拉压杆单元示意图
① 用结点位移表示单元上任意截面的位移u
u(x) a bx
其中 a、b 为待定系数。
由位移的边界条件： u(0) ui
u(l) u j
a ui b u j ui
l
u(x)
(1
x l
)ui
x l
u
j
用矩阵表示为： u Niui N ju j Ni
1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
整体坐标系和各单元的局部坐标系
第四步：对已知参数进行准备和整理
对于各单元，需要准备的数据包括：
单元截面积: A 单元长度: l
单元弹性模量: E 单元剪切模量: G 单元惯性矩: I
等。
第五步：对结点位移进行编码
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
(8 9 10) 5
6 4
3 (2 3 4) 3
1
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
1
1 (0 0 0)
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
前处理法
后处理法
结点位移进行编码
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。