第二章__杆系结构的有限元法分析

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3杆系结构的有限元法

3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。

其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。

本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。

有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。

它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。

有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。

杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。

在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。

杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。

线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。

线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。

非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。

这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。

非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。

杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。

力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。

其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。

位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。

杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。

杆梁结构的有限元分析原理

e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中，为整体坐标系下的单元刚度矩阵，为整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将对待定的结点位移向量取一阶极小值，有整体坐标系中的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还是而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元的应变和应力为
其中
单元的势能
其中叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元结点外载后，就可以计算该单元的势能，因此，计算各单元的矩阵和是一个关键，下面就本题给出了个单元的和。
具体就单元①，有单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程

2 杆系结构有限元法

{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb

2杆系结构的有限元

2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。

它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。

有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。

本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。

2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。

2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。

首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。

节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。

我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。

然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。

接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。

刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。

通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。

这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。

最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。

这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。

此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。

总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。

它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。

这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。

在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。

有限元法(杆系)

Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0

第二章有限元分析基本理论

第二章有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。

单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。

这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。

根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。

有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。

如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。

如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。

2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。

如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。

将结构离散为三个节点，两个单元。

结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。

单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。

从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。

将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。

独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。

记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。

根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。

第二部分平面杆系结构的线弹性有限元法

§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。

其中提出最早并且应用最广的是位移法。

对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。

杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。

其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。

这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。

根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。

研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。

研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。

在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。

因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。

§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。

在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。

杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。

在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。

结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。

○2结点的编号。

为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。

2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。

杆结构分析的有限元方法(有限元)

局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。

第二章杆系结构的有限元法分析

F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元，对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件

第二章-杆和梁结构的有限元法案例

第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意：上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章杆和梁结构的有限元法

杆件结构的有限元法PPT课件

2 2
K e
EA
2
L 2 2
2
EA k e k e
L k e
k
e
其中：k e
2
2
2
2
第28页/共33页
求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：
F K
可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的受力，简单推导可得：
pij
EA L
,
ij
单元1：FF12
ka ka
单元2：FF32
kb kb
ka ka
uu12
kb kb
uu32
第12页/共33页
(2)由于整个系统有3个节点，扩充上述方程为3阶：
F1 F2
ka ka
ka ka
00uu21
F3 0 0 0u3
F1 F2
kb kb
** **
行
2j-1 2j
** **
** **
第30页/共33页
刚度矩阵的性质：（1）对称性——关于主对角线对称；（2）稀疏性——大量0元素；（3）带状分布——非0元素在主对角线两侧呈带状分布。所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法是：找出所有各行中非0元素所占最宽一行，以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽。
• （1）形成每个单元刚度矩阵； • （2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加
整个系统的刚度矩阵；
• （3）引入约束条件； • （4）以节点位移为未知量求解线性方程
组
• （5）用每个单元的力-位移关系求的单元
第18页/共33页
第三节杆件系统的有限元法简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。

第2章杆件结构的有限元法_直接刚度法

对于弹簧2-3（2单元）
F2( 2) 1800 − 1800 u 2 ( 2) = u F3 − 1800 1800 3
对于弹簧3-4（3单元）
F3( 3) 1500 − 1500 u 2 ( 3) = u F4 − 1500 1500 3
上式可以简写为 {F} = [K ]{δ } 上述过程可以用节点力平衡来完成。为此，先写出单元的节点位移和节点力向量的关系式： F1( e1 ) k1 − k1 u1 ( e1 ) = u F2 − k1 k1 2 F2( e2 ) k 2 − k 2 u2 ( e2 ) = u F3 − k 2 k 2 3
F 2 = 10 kN
F 3 = 20 kN
F1
F4
1
k1
2
k2
3
k3
4
三弹簧受力系统
解：（1）单元分划一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。（2）形成每个单元的刚度矩阵对于弹簧1-2（1单元）
F1(1) 1200 − 1200 u1 (1) = u F2 − 1200 1200 2
用下，发生与杆长垂直方向的位移。
（3）局部坐标系和总体坐标系的关系为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到总体坐标系下。
y
(e Fy(e ) 2
F
(e) y1
2
Fx(1e )
o
o
ϕ
F22 = (k1 + k 2 )u 2
F12 = −k1u2
F32 = −k 2u2

杆系结构的有限元法分析

杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。

杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。

利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。

下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。

首先，进行前期准备工作。

这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。

这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。

接下来，建立有限元模型。

将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。

常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。

然后，确定单元刚度矩阵。

对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。

对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。

接着，组装全局刚度矩阵。

将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。

在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。

然后，应用边界条件。

根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。

这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。

接下来，求解结构的位移和应力。

通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。

位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。

最后，进行后处理。

在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。

通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。

综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。

有限元分析第二讲杆单元

0
0
0
0
01 1
0
0
L 2 2 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0
0
1
1
0
0
0
0 0
0 1 1
u2 v2 u3 v3
1 1 1 1
EA1 1 1 1
2L 1 1 1 1
1
1 1
1
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：
再引入边界约束和载荷：
2 ELA02
2 3 1
01u02FP1 10 F3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
位移解：
u u
1 2
u 3
PL 3 EA
0
1
0
单元1应力：
2 ELA02
2 3 1
101u002FFP13
1 E 1 E L 1 E u 2L u 1 E L 3 P E L 0 A 3 P A
k EA L
§比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
ffij kk kk u uij E L A 1 1 1 1 u uij
（二）公式法导出杆单元特性
1、单元上假设近似位移场——位移模式
单元上位移假设为简单多项式函数： u(x)a0a1x
用插值法把多项式中的待定系数 a 0 , a 1 转化为节点位移
刚度方程中令：
u u
i j
1
0
则：
fi fj
kk1211
fi fj
kk1211
kk1222uuij
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）

第2章_有限元法的直接刚度法_平面刚架

0 0 1 0 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 sin cos 0
0 sin
0 ui 0 vi 0 i u 0 j 0 v j 1 j
i 0 i 分块形式为 0 j j
{
单元：6个节点：4个
结构自由度
{ 4 3 12
的矩阵。
每个节点3个自由度
个自由度
结构的整体刚度矩阵是一个
12 12
二、单元刚度矩阵 1、单元的节点力、节点位移任取一个单元，设单元号为 e，两个节点分别为i、j。局部坐标：局部坐标只对该单元有效，每一个单元有一个局部坐标。以下对该单元所进行的分析都在这个局部坐标系下进行。在局部坐标系下，两个节点的节点位移为：
6 EI l 2 f 2 EI i l i 6 EI f j 2 l j 4 EI l
(3)刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵刚架单元的所有节点力和节点位移之间的关系为：
EA 0 l 12EI Ti 0 q l3 i 6 EI 0 2 mi l EA T j 0 qj l 12EI 0 m j l3 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI i 2 l f 2 EI i i l j 0 f j 6 EI 2 l j 4 EI l 0

有限单元法第2章杆系结构的有限元法分析

义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等效结点荷载矩阵 ’ 这里要指出的是 ) 分布荷载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并进一步计算各单元的应力分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够由计算机自动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #

有限元分析——杆系系统计算

2
10 N
mm
2
3 14.1 N
5 14.1 N
mm mm
2
2

4
0
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Thank You
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边界条件为：
，根据边界条件去行去列，如上图，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例算例一：求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
2）计算各单元的单元刚度方程单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
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F
F
节点1
单元①
节点2
单元②
节点2
节点3
点2
如图为阶梯直杆的离散
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中为节点力列阵；

杆件结构有限元分析

u5 u4 K (3) u4 u3
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx

l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也进行组装。刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2