第8章杆系结构的有限元法
2-杆系结构有限元分析报告
得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
8 /120
杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
7 /120
杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
6 /120
杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
3.4.6 杆件内力
引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位
移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T] [K]e e
T
将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
EA N [cos(u j ui ) cos (v j vi ) cos (w j wi ) lij
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
第二部分 平面杆系结构的线弹性有限元法
§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。
其中提出最早并且应用最广的是位移法。
对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。
杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。
其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。
这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。
研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。
研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。
在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。
因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。
§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。
在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。
杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。
在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。
结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。
○2结点的编号。
为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。
2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。
有限元法(杆系)
0 0 0 0
0 u1 F1x − 1 υ1 F1 y = 0 u3 F3 x 1 υ3 F3 y
− sin θ sin θ cos θ sin 2 θ − sin θ cos θ
P
∆l2
θ θ
∆l1
P = ( k cos 2 θ + k + k cos 2 θ )δ
(a) 局部坐标系下的单元刚度矩阵 拉压杆单元
Fi i
l
EA
j Fj
δi
正方向
δj
{F } = [K ] {δ }
e e
e
[K ]
e
EA 1 − 1 = − 1 1 l
(b)结构整体坐标系下的单元刚度矩阵 结构整体坐标系下的单元刚度矩阵
Fix F iy F jx F jy
(e)
Fi cos θ cos θ Fi sin θ sin θ = = F j cos θ 0 F j sin θ 0
0 0 0 0 0 cos θ 0 sin θ
sin 2 θ EA sin θ cos θ = l − sin 2 θ − sin θ cos θ
− sin θ cos θ cos 2 θ sin θ cos θ − cos 2 θ
sin θ cos θ cos 2 θ − sin θ cos θ − cos 2 θ
sin θ cos θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 2 cos θ
(e )
{δ } = [T]{δ}
（3）
将（2）和（3）代人（1）： ） ）代人（ ）：
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
有限元分析建模方法
注意：分步计算最复杂的工作是确定子模型的边界条件，即将整体 模型的计算结果以节点位移或分布力的形式转换到子模型的边界 上。可参考相关文献。
8-7 模型简化
2、分步计算法
工程中常存在一些相对尺寸很小的细节，如小孔、键
槽、齿轮齿根等，如果这些细节处于结构的高应力区， 则可能引起应力集中。
编 值 参 参数 编节材物截几
号
考 考量 号点料理面何
系系
编特特特 数
代代
号性性性 据
码码
码值
码
位载热其 移荷边他 约条界边 束件条界 数数件条 据据数件
据数 据
8-5 有限元建模的基本流程 参数化实体造型
物理属性编辑器
载荷、约束 材料
力学属性编辑器
基于实体的物理模型
几何元素编辑器
对称/反对称简化 中线/中面提取 小特征删除/抑制
用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括 位移、应力、应变、温度等；
最大最小值分析； 特殊部位分析。
8-2 有限元建模的重要性
在有限元分析过程中，建模是其中最为关键的环节。因为： 1.影响结果精度：有限元模型要为计算提供所有原始数据，
这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精度。如果模型本身 不合理，即使计算算法再精确，也不可能得到高精度的分析结果。 因此，模型的合理性是决定结果精度的主要因素。 2.影响计算过程：模型不仅决定计算精度，还影响计算的过程。 对于同一分析对象，不同的模型所需要的计算时间和存储容量可 能相差很大，不合理的模型还可能导致计算过程死循环或终止。 3.对人员要求高：由于分析对象的形状、工况条件、材料性质 的复杂性，要建立一个完全符合实际的有限元模型是很困难的。 它需要综合考虑的因素很多，如形状的简化、单元类型的选择、 边界条件的处理等等，从而对分析人员的专业知识、有限元知识 和软件使用技能等方面都提出了较高的要求。 4.花费时间长：建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当 大的比例。对分析人员来讲，他们的工作不是开发有限元分析软 件，而是如何利用软件（如ANSYS）分析他们所关心的结构。 分析过程中，分析人员可把计算过程作为“黑匣子”来对待，而 把精力主要集中在建模上。通常，建模所花费的时间约占整个分 析时间的70%左右。因此，提高建模速度是缩短分析周期的关键。
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
杆件结构有限元分析
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx
l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也 进行组装。 刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结构几何构造的基本知识
结构几何构造的基本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳 定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构 造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
结构的分类与基本特征
a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯 一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形 状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余 部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余 部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内 力不变。
超静定结构的 特征
结构的对称性及其利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位 移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截 面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 奇数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
奇数Байду номын сангаас的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
几何不变结构的组成规律
(1) 二元体规则 由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结 构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由 增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角 形是最简单的几何不变结构。
铰接三角形
几何不变结构的组成规律
瞬变结构 一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一 旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为 无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变 结构在工程结构设计中应尽量避免。
空间结构几何构造分析
规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连．且三链杆不在同一平 面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。
空间点与基础连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
结构的分类与基本特征
按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构：长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构
按结构的自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ②超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
静定结构的 特征
结构的分类与基本特征
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构 变形协调条件的解仅有一个。 b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能 和截面尺寸有关。 c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差 等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。 d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍 有一定的承载能力， 不致整个结构遭受破坏。 e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的 刚度和稳定性， 在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静 定结构为小。
造成几何可变的几种原因
结构的计算简图（力学模型）
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析 是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之 前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状 态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理 想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式: （1）结点： （2）支座： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ； ③ 固定支座 ；④ 定向支座 。
最简单的瞬变结构
几何不变结构的组成规律
(2) 两刚片规则 两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所
得结构是几何不变结构。
瞬变结构 两刚片连接规则
常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构
是几何不变结构。
基本三角形结构 三刚片规则示意图
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。 桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为 平面桁架 空间桁架
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
自由度为零，应是几何不变结构。
结构示意图
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位置 在此二平行杆件延长线的无穷远处；
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联， 虚铰位置在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰位置在C点。 三铰可看成位于同一条直线上， 故此结构为几何瞬变结构。
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算 其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。 计算结果有三种可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。 b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。 c. W＜0 表明结构具有多余约束。 注意：结构的自由度W≤0是组成几何不变体系的必要条件， 但不是充分条件。为什么？