概率统计课件chapter5.ppt

解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, Var(Xi)=10000
16
16只元件的寿命的总和为 Y Xk
k 1
依题意，所求为P(Y>1920)
由于E(Y)=1600, Var(Y)=160000
由中心极限定理,
Y 1600 400
因素对X的影响均具有权1 , 是相同的, 这表明 n
这
么
多
的
因
素X
1
,
X
2
,
,
X
中
n
不
能
指
出
哪
一
个
因素的影响最大,由此, n相当大时, X应具有正
态性.
例3 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击, 纵 摇角大于30的概率p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角大于30概率是多少?
30500
k 29500
90k000
1 3
k
2 3
9 0 0 0 0-k
显然, 直接计算十分麻烦, 我们利用德莫佛-拉普拉 斯定理来近似求解:即有:
P{29500 X 30500}
P 29500 - np
X - np
30500 - np
np(1 - p) np(1 - p) np(1 - p)
所 以 由 实 际 推 断 原 理 ，认 为 在 每 次 试 验 中 ， 该事 件
几 乎 必 然 发 生 ， 即
1 n
n k 1
X
。
k
§2. 中心极限定理
一. 独立同分布的中心极限定理:
设 r.v. Xk(k=1, 2, … )相互独立, 服从同一分布(i.i.d.) 且具有有限的数学期望和方差:
推论2：(辛钦定理)
设 r.v. X1, X2, …, Xn, …相互独立, 服从同一分布, 且具数学期望 E( X k ) ,(k 1, 2, ), 则对 0, 有
意义:
lim P n
1n n k1 X k
1.
当n 1时,事件
1n n k1 X k
出 现 的 概 率 很 大 ，
都有
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1.
即序列{Xn } 服从大数定律。
证明：令Yn
1 n
n k 1
X
，
k
则E(Y n )
1 n
n
E( X k ), D(Yn )
k 1
1 n2
n
D( X k ).
k 1
P
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
都
服
从U0,1,
求P
10
Xk
6的 近 似 值。
k1
解 ：
E(Xk
)
1 2
,
2
D( X k
)
1 12
,k
1, 2,，10
10
10
P Xk 6 1 P Xk 6
k1
k1
1 6 n 1 1.1 0.1357
n
例2. 一 加 法 器 同 时 收 到20个 噪 声 电 压Vk (k 1, 2,, 20),设 它 们 是 相 互 独 立 的r.v.,且 都 在 区 间(0,10)上 服
20
从 均 匀 分 布, 记V Vk , 求P{V 105}的 近 似 值.
k 1
解 :易知E(Vk ) 5, D(Vk ) 100/12(k 1, 2,, 20).
由独立同分布的中心极限定理知, r.v.
20
Vk 20 5
Z k1
V - 205
近似服从 正态分布N(0,1),于是
m
P
n
nA n
p
1
或
limP n
nA n
p
0,
即 n A P p. n
意义:大量重复试验中, 事件A发生的频率nA/n依 概率收敛到事件A发生的概率p, 这就以严格的 数学形式表达了频率的稳定性, 就是说, 当n很大 时, 事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能 性很小, 因而在实际中便可以用频率来代替概率.
lim P n
1 n
n k1 Xk
E(Xk
)
1,
则称序列{Xn } 服从大数定律。
定理1（切比雪夫大数定理）
设X1, X2, …, Xn, …, 是由相互独立的 r.v. 所 构成的序列, 每一个r.v. 都有有限的均值和方差, 并且方差有公共的上界.
D(X1 ) C, D(X2 ) C,, D(Xn ) C,则对 0,
n
Xk n
Yn k1 n
P N(0, 1).
意义:
当n 1时,Yn
1
n
n k 1
Xk
n
~
N (0,1)分 布 。
n
X k nYn n ~ N (n , n 2 )分布
k 1
n
b n a n
Pa Xk b
k1
n
n
此处a可为 ，b可为
例1： 设 随 机 变 量Xn (n 1, 2,，10)相 互 独 立,
应用:
设n ~ b(n, p)分布,则 n 1时，P n
P
np
n np
np
np(1 p) np(1 p) np(1 p)
np
np(1 p)
Leabharlann Baidu
np
np(1 p)
中心极限定理实际上讲述X具有近
似正态性.
X
1 n
X1
1 n
X2
1 n
Xn , r.v. X受诸多因素的影响, 每个
100/12 20 100/12 20
P{V 105} P{ V - 20 5 105- 20 5 } 100/12 20 100/12 20
P{ V - 20 5 0.387} 100/12 20
1- P V - 205 0.387
100/12 20
1 - 0.387
1
t2
近似服从N（0，1）
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
• 例 某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作相互独立 ，试分别用二 项分布、泊松分布，中心极限定理计算机器出故障 的台数不少于2的概率。
30500 np(1
- np - p)
-
29500 np(1
- np - p)
其中n 90000,p 1/3.即有
P{29500 X 30500} (5 2 2) - (- 5 2 2) 0.9995.
例 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100 小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相 互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的 概率.
1
t2 -
e 2 dt
n
npq
a 2
因而当n较大时, 我们可以用正态分布的数值表
来 近 似 计 算 二 项 分 布 的概 率, 又 为 二 项 分 布 找 到
了一个近似计算公式, 在使用时, 只有当p很小时
才 能 用Poisson分 布 来 近 似 二 项 分 布, 而 用 德莫佛 拉普拉斯定理时则没有这个限制.
e 2 dt
2
1- (0.387) 0.348.
即有P{V 105} 0.348.
二. 德莫佛--拉普拉斯定理:
设r.v.n (n 1, 2,)服从参数为b(n, p), 对于x, 恒有
lim P n np
x x
1 t2 e 2 dt.
n np(1 p) - 2
lim Pa n np b (b) (a) b
E( X k ) , D( X k ) 2 0,k 1, 2,则r.v.
n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n
Yn k1
k 1
n
D( Xk )
k1
n
的分布函数Fn , 对于x
k 1
lim n
Fn
(
x
)
lim
P
n k 1
Xk
n
n
n
x
x
1
t2
exp( ) dt
2
2
即r.v.序 列
第五章 大数定律及中心极限定理
§1. 大数定律
一. 定义:
1. 设{Yn }(n 1, 2,)是r.v.序列, a 是一个常数, 若对于
0, 有
lim P
n
Yn a
1,
则 称序 列{Yn }依 概率 收敛 于a, 记 作Yn P a.
2. 设{Xn }(n 1, 2,)是r.v.序列, 若对于 0, 有
解: 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一次试验, 并假 定每次试验是独立的, 在90000次波浪冲击中纵摇角度大于 30的次数记为X, 则X是一个r.v.且X~b(90000,1/3) 其分布律
P{X
k}
90k000
1 3
k
2 3
9 0 0 0 0-k
,
k
0,1, ,90000.
所求概率为P{29500<X≤30500}
P Yn E(Yn )
D(Yn )
2
1
n2 2
n k 1
D( X k )
c
n 2
0
(n )
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E( X k
)
1.
推论1 (贝努利定理)
设nA是n次独立重复试验中A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率, 则
对于
0,
有
li