[数学]生物种群模型

F ( x0 ) E r, F ( x1 ) r E
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
xx 0 x x0 x
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x ( t ) x , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 0 t
F ( x0 )(x x0 ) (2) x
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
f 与h交点P
0 x0*=N/2 x0
N
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E r x0稳定
P的横坐标 x0~平衡点
* * 0
x
P的纵坐标 h~产量
产量最大 P ( x N / 2, hm rN / 4)
E hm / x r / 2
* * 0
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N E F ( x) 0 x0 N (1 ), x1 0 r 平衡点
产量模型
稳定性判断
x1 稳定, 渔场干枯
在捕捞量稳定的条件下， 产量模型 图解法 控制捕捞强度使产量最大 F ( x) f ( x) h( x) y y=rx y=E*x x y=h(x)=Ex f ( x) rx(1 ) * P hm N P h h( x) Ex y=f(x)

F ( x) 0
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
二、二阶方程的平衡点和稳定性
x1 ' (t ) f ( x1 , x2 ) x2 ' (t ) g ( x1 , x2 ) (2)
平 x1 x10 称为方程（2）的平 f ( x1 , x2 ) 0 衡 方程组 的实根 0 0 0 p ( x , x 衡点记为 g ( x , x ) 0 0 1 2) 1 2 x2 x2 点 稳 如果从所有可能的初始条件出发，方程（2）的解 0 定 x1 (t ), x2 (t ) 都满足 lim x1 (t ) x10 , lim x2 (t ) x2 t t 点 则称平衡点p 是稳定的；否则称平衡点是不稳定的 0 线性常 x1 ' (t ) a1 x1 a 2 x2 系数方 a1 a 2 A 程稳定 x ' ( t ) b x b x 1 1 2 2 2 b b 2 1 性判别 方法
不稳定 不稳定
q0
鞍点
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q 稳定退化结点 稳定 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定退化点 不稳定
1 2 0
1,2 i , 0 p 0, q 0, p 2 4q 稳定焦点 2 p 0 , q 0, p 4q 不稳定焦点 1,2 i , 0
f x1 记 p ( f x1 g x2 ), q det g x1
稳定性结论见上表
f x2 g x2 p 0
捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 •考察一个渔场，其中的鱼量在天然 环境下按一定规律增长。 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
问题 及 分析
产量模型 假设
x(t) ~ 渔场鱼量
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 x (t ) f ( x) rx(1 x ) N r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
记 F ( x) f ( x) h( x)
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
一、一阶微分方程的平衡点及其稳定性 F ( x) (1) 一阶非线性（自治）方程 x
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
平衡点p0(0,0)的系数矩阵A的特征值1，2的性质所决定
设 p (a1 b2 ),
q detA 0
1 , 2
p , q
平衡点的类型 稳定性 稳定
1 2 0 1 2 0 1 0 2
p 0, q 0, p 2 4q 稳定结点 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定结点
1,2 i , 0
p 0, q 0
稳定 不稳定
中心
不稳定
结论： 若p>0,q>0,则平衡点稳定；若p<0或q<0,则平衡点不稳定 对于方程：
x1 ' (t ) f ( x1 , x2 ) x2 ' (t ) g ( x1 , x2 )
0 0 0 0 0 0 x1 ' (t ) f x1 ( x1 , x 2 )( x1 x1 ) f x2 ( x1 , x 2 )( x x 2 ) 线性化： 0 0 0 0 0 0 x 2 ' (t ) g x1 ( x1 , x 2 )( x1 x1 ) g x2 ( x1 , x 2 )( x x 2 )