高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
同济大学《高等数学》(上)期末试卷A及答案
高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题1．函数)(x f 在],[b a 上可积是)(x f 在],[b a 上连续的 条件，函数)(x f 在],[b a 上可导是)(x f 在],[b a 上连续的 条件．2．曲线(ln y x =在点(),ln(1处的切线方程是 ．3．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．4．曲线()x x y x −=2e 上有 个拐点．5．设可导函数()g x 满足(0)0g =，()00≠′g ，设())(sin 2x g x G =，则当0x →时， ．（A ）()G x 与()g x 是等价无穷小． （B ）()G x 与()g x 是同阶的无穷小． （C ）()G x 是比()g x 高阶的无穷小．（D ）()G x 是比()g x 低阶的无穷小．6．极限nnn nnn 333lim 21+++∞→"= ．7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．8．微分方程x x y x y sind d =+的通解为 ． 二、1．设函数ln sec y x =，,22x ππ⎛⎞∈−⎜⎟⎝⎠．(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫,0,,0,d e 22x a x x t x x xt ϕ 求a 的值，使得()x ϕ在0=x 处连续，并用导数定义求(0)ϕ′．三、1．求定积分I =∫−π22d sin 1x x x ．2．若()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,0,11,0,112x x x x xx f 对于(,)x ∈−∞+∞，求()()∫∞−=xt t f x F d ．四、1．设曲边梯形由曲线1y x x=+（0x >）与直线0y =，x a =，1x a =+所围成（其中0a >），问：当a 为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m 3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线2244x y −=，直线1y =与1y =−所围成(如图4所示，单位：m)．(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？(2)如果水位下降，在时刻t ，水面位于y =()h t 处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s ），问：当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数()f x 满足方程x x f u u f x u x 2cos )(d )()(0+=−∫，求()f x ．参考答案一、1．必要，充分．2．|1x y ′，因此所求切线是ln(1y x =．3．()(1)sin f x x x ′=−−，在区间(0,)2π内有唯一驻点1x =且为极大值点，因此所求最大值是(1)sin1f =−．4．()x x y x 3e 2+=′′有2个零点3x =−与0x =，且y ′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．5．2222000(sin )(0)()(sin )sin (0)sin lim lim lim 00()(0)()()(0)x x x g x g G x g x x g x g x g g x g x x g x→→→−′==⋅=⋅=−′，因此当0x →时，()G x 是比()g x 高阶的无穷小，故选（C ）．6．利用定积分的定义，得3ln 2d 3333lim1021==+++∫∞→x n x nn n n n "． 7．1011()d 101v v t t =−∫，根据定积分的几何意义，其中的定积分101()d v t t ∫是图中的图形面积，即10111118()d [4(61)4(86)(24)(108)]1019223v v t t ==⋅⋅−+⋅−++⋅−=−∫． 8．通解为()11d d sin 1cose e d sin d x x x x x x Cy x C x x C x xx−⎛⎞−+∫∫=+=+=⎜⎟⎝⎠∫∫． 二、1．(1)tan y x ′=，在,02π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠内，0y ′<；在0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0y ′>．故,02π⎛⎤−⎜⎥⎝⎦是单调减少区间，0,2π⎡⎞⎟⎢⎣⎠是单调增加区间；而由2sec 0(,)22y x x ππ⎛⎞′′=>∈−⎜⎟⎝⎠得，该函数的图形是凹的． (2)322|||cos |(1)y K x y ′′==′+．由12K =，得3x π=±，故曲率半径为2的点是(,ln 2)3π±．2．11e e 2lim d e lim2224020=−=→→∫xx x xxt x xt ，因此1=a 时，()x ϕ在0=x 处连续． 22020d e lim1d e lim)0()(lim)0(22x x t xx t xx x xt x x xt x x −=−=−=′∫∫→→→ϕϕϕ02e 2e 16lim 21e e 2lim 22224040=−=−−=→→xx x x x x x x x ．三、 1．I =∫∫∫−=ππππ222022d cos d cos d |cos |x x x x x x x x x[][]πππ22202sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin xx x x xxx x x x −+−−+=4222−+=ππ．2．当0x <时，()2arctan d 112π+=+=∫∞−x t t x F x ； 当0x ≥时，()2arctan 2]arctan 2[2d )1(1d 11002ππ+=+=+++=∫∫∞−x t t t t t t x F xx ． 因此()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=.0,2arctan 2,0,2arctan x x x x x F ππ 四、1．曲边梯形的面积1111()()d ln2a a a A a x x a x a ++=+=++∫， 11()11A a a a ′=+−+．令()0A a ′=，解得在0a >范围内的唯一驻点12a −=，易知该点为极小值点，因此必为最小值点．而其最小面积min 1)ln 22A A −==+ 2．(1)水压力111000(1)2000F g y y g y −=−=∫∫10120002ln(10004ln 2g y g +⎤=++=+⎥⎦．(2)在时刻t ，水面位于()y h t =，平板一侧所受到的水压力为()(()1111000[()]1000()1000h t h t h t F g h t y y gh t y g y −−−=−=−∫∫∫，上式两边对t 求导，得(1d d 1000d d h t F hg y t t−=∫， 由于d 0.01d ht=−，因此，当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率为01d 10102ln(d F g y g y t −−⎤=−=−++⎥⎦∫154ln 2g =−+． 五、原方程为x x f u u f x u u f u xx 2cos )(d )(d )(0+=−∫∫，代入0x =，得(0)1f =−．上式两端对x 求导，得x x f u u f x2sin 2)(d )(0−′=−∫，代入0x =，得(0)0f ′=．上式两端再对x 求导，得x x f x f 2cos 4)()(−′′=−．故()y f x =满足初值问题⎩⎨⎧=′−==+′′==.0|,1|,2cos 400x x y y x y y 解得124cos sin cos 23y C x C x x =+−，代入初始条件解得113C =，20C =．故14()cos cos 233f x x x =−．。
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C ,所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]
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《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）1、若函数xx x f =)(；则=→)(lim 0x f x （ ）.A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）. A 、1ln(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.A 、必要但非充分条件B 、充分但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）6、当k= 时；2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.7、设x x y ln +=,则_______________dxdy=. 8、曲线x e y x-=在点（0；1）处的切线方程是 .9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(；C 为常数；则()____________f x =10、定积分dx x xx ⎰-+554231sin =____________.三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→.12、求极限 2cos 12limxt x e dtx-→⎰.13、设)1ln(25x x e y +++=；求dy .14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定；求dy dx 和22dx yd .15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.16、设,0()1,01x e x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩；求20(1)f x dx -⎰.四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）17、证明：dx x x n m )1(1-⎰=dx x x m n )1(1-⎰ (N n m ∈,).18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时；ln b a b b ab a a--<<.五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）19、要造一圆柱形油罐；体积为V ；问底半径r 和高h 各等于多少时；才能使表面积最小？20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ；求 （1）平面图形A 的面积；（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.《高等数学》试卷（同济六版上）答案一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分；本题共15分）6、17、1xx+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、解：x x x 2sin 24lim-+→x →= 3分01128x →== 6分12、解：2cos 12limxdt e x tx ⎰-→2cos0sin lim 2xx xe x-→-= 3分12e=-6分 13、解：)111(1122xxx y ++++=' 4分211x +=6分14、解：t t t t dx dy 21121122=++= 3分222232112()241d y t d dydxt dtt dt dxdx t t -+===-+ 6分15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分 12cos(3)2C x=++ 6分 16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011112d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1xxe dx x -=++⎰⎰ 3分1010|ln(1)x e x -=++11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分） 17、证明：11(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分11(1)(1)m nm nt t dt x x dx=-=-⎰⎰ 8分18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈；0a b <<显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1()f x x'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=.又由.a b ξ<< b a b a b ab aξ---∴<< 当0a b <<时；ln b a b b a b a a--<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=∴表面积2222222222V V S r rh r rr r rππππππ=+=+=+ 4分令22'40VS r r π=-= 得r =2h =答：底半径r =2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1；1）； 2分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 6分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分。
同济大学《高等数学(上)》期末试卷及答案
高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题 1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−→)1ln(11lim 0x x x ．2．f (x )=e 2x 的带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是 ． 3．已知C x x x f x +=′∫ln d )(2，则函数=)(x f ． 4．设有下列4个条件： (1)()x f 在[]b a ,上连续． (2)()x f 在[]b a ,上有界． (3)()x f 在[]b a ,上可导．(4)()x f 在[]b a ,上可积．则这4个条件之间的正确关系是 ．(A )(3)⇒(4)⇒(1)⇒(2)． (B )(3)⇒(1)⇒(4)⇒(2)． (C )(3)⇒(2)⇒(1)⇒(4)． (D )(1)⇒(3)⇒(4)⇒(2)． 5．设两辆汽车从静止开始加速沿直线路径前进，图5中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的加速度曲线．那么位于这两条曲线和直线)0(>=T T t 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是 ．二、已知函数2132+−=xx y ，利用导数研究函数的性态并填写下三、计算导数：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=−=∫,d e ,1arcsin ln 12t u u u y t x (01)t <<，求x y d d ． (2)设21)(xx x f −=，求)()(x f n ． 四、计算下列积分：(1)∫+x xx d 123；图5(2)∫x x xd arctan ； (3)∫∞+12d ln x x x；(4)设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=−,0,e ,0,1)(22x x x x x f x 求∫−20d )1(x x f ．五、由定积分换元法可证得如下结果：若)(x f 连续且为奇函数，则对于任意的0>a ，有0d )(=∫−a ax x f ； (1)若)(x f 连续且为偶函数，则对于任意的0>a ，有∫∫=−aa ax x f x x f 0d )(2d )(． (2)现在考虑连续函数)(x g .设0x 为一常数，()g x 满足以下的性质I 或性质II : 性质I ：对任意的x ，)()(00x x g x x g +−=−； 性质II ：对任意的x ，)()(00x x g x x g +=−．试将(1)式推广到满足性质I 的)(x g 上,将(2)式推广到满足性质II 的)(x g 上，写出相应的结果并加以证明．六、设函数)(x f y =具有二阶导数且0)(<′′x f ，直线t L 是曲线)(x f y =上任一点))(,(t f t 处的切线])1,0[(∈t ．记直线t L 与曲线)(x f y =以及直线0=x 、1=x 所围成的图形的面积为)(t A ．证明：)(t A 的最小值∫−=≤≤1010d )()21()(min x x f f t A t ．七、(1)求解初值问题⎩⎨⎧==−+=.0,0d 2d )(122x y y xy x y x (2)设)(x y y =满足微分方程x y y y e 223=+′−′′，且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+−=x x y 在该点的切线重合，求函数)(x y y =．参 考 答 案一、1．212111lim )1ln(lim )1ln()1ln(lim )1ln(11lim 02000−=−+=−+=+−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x ． 2．)(34221e 3322x o x x x x ++++=． 3．因为12222)(21d )(21d )(C x f x x f x x f x +=′=′∫∫，故C x C x x f +=+=22ln ln 2)(，因此，C x x f +=ln )(．4．因为可导必连续，连续必可积，可积必有界，因此选(B)．5．T 时刻两车速率之差．二、423x x y −=′，52)6(2x x y −=′′． 令0y ′=，得驻点：3±=x ．令0y ′′=，得拐点横坐标：6±=x ．而2)21(lim 32=+−∞→x x x ，∞=+−→)21(lim 320xx x ．三、(1)tx t yxyd d d d d d =tt t t ln 111ln 122−−=−−=． (2))1111(21)(xx x f +−−=．])1(!)1()1(![21)(11)(+++−−−=n n n n x n x n x f． 四、 (1)∫+x x x d 123∫+==u uu x u d 1212C u u ++−+=2123)1()1(31C x x ++−+=212232)1()1(31．(2)∫x xxd arctan ∫=)d(arctan 2x x∫+−=x x x x d 11arctan 2 C x x x ++−=)1ln(arctan 2． (3)∫∞+12d ln x x x ∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=11ln 1x x x1=． (4)∫∫−=−112d )(d )1(u u f x x f∫∫−−++=112d ed )1(2u u u u ue21611−=． 五、性质I 和性质II 分别推广为0d )(00=∫+−a x ax x x g ， ∫∫++−=a x x a x ax x x g x x g 0000d )(2d )(．因为∫∫−+=+−+=a ax u x a x ax u x u g x x g d )(d )(0000．而性质I 表明，)()(0x u g u h +=为奇函数，因此0d )(d )(0000=+=∫∫−+=+−a ax u x a x ax u x u g x x g ；而性质II 表明，)()(0x u g u h +=为偶函数，因此∫∫−+=+−+=a ax u x a x ax u x u g x x g d )(d )(0000∫∫+−==+=a x x x x u ax x g u x u g 00d )(2d )(200．六、切线方程为))(()(t x t f t f y −′=−，因此所求面积为∫−+−′=1d )]()())(([)(x x f t f t x t f t A∫−+′−′=10d )()()()(21x x f t f t f t t f ．)(21d )(d t f t t t A ′′⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=． 令0d )(d =t t A 得唯一驻点21=t ，易知该驻点为极小值点，从而必为()A t 取得最小值的点，因此∫−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=≤≤1010d )(2121)(min x x f f A t A t ． 七、(1)x y y x x y 2121d d +=，令xy u =，则 uu x u x 21d d 2−=， 解得Cx u=−211． 由初值，解得1=C ，故所求特解为22y x x −=．(2)0232=+−r r ，解得特征值为11=r ，22=r ．设特解为x Cx y e *=，代入方程得2−=C ，因此，方程通解为x x x x C C y e 2e e 221−+=．由初始条件1)12(,1000−=−=′====x x x x y y ，解得0,121==C C ，即所求特解为x x y e )21(−=．。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
y1
y2
x1 1 x1
x2 1 x2
(1
x1 x2 x1)(1
x2)
0
所以函数 y x 在区间( 1)内是单调增加的 1 x
(2)对于任意的 x1 x2(0 ) 当 x1x2 时 有
这就证明了对于x1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调 增加
11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇 函数的乘积是奇函数 证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则
1
(10) y e x
解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)lg x2 g(x)2lg x
(2) f(x)x g(x) x2
(3) f (x)3 x4 x3 g(x) x3 x 1
(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x 解 (1)不同 因为定义域不同 (2)不同 因为对应法则不同 x0 时 g(x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同
f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)] x1x2 因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射 对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy
yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A))
高等数学(同济第六版)上册 期末复习题(含答案)
高等数学（同济第六版）上册期末复习题（含答案）高等数学（同济第六版）上册期末复习题（含答案）※高等数学第一卷期末复习一.填空题3e3x？cos2x？1.limx？02sin2x2。
曲线y？xe？X的拐点是（2，2e？2）3，设f（X）在X？在0和f（0）可微？0，那么limx？0f（x）？F（0）x4。
曲线y？1.cos2x X英寸（，1？）切向方程是y？十、1222x25。
曲线y？2带垂直渐近线x？？1和水平渐近线y？一x?16.设f(u)可导，y?sin2[f(ex)]，则dy?sin2[f(ex)]?f?(ex)?exdx#7.? 0exdx？2（e2？1）8.若f?(x0)??3，则limh?04f(x0?h)?f(x0?3h)??12h9。
如果1xpdx收敛，则p的范围是p??12倍？3倍？1)? e2x？11f（2x）？C2（#10.limx≤ 11.设定f(x)dxf(x)c，则?f(2x)dx?x2x2#12。
假设F（x）的原函数是xlnx，那么？xf（x）dx？？lnx？C421?x2,x?0113.设f(x)??，则?f(x)dx??16 x、 x？0#14. 通过点（1,3）且切线斜率为2x的曲线方程是y？x2？一sinx,x015.已知函数f(x)??x，则当x??时，函数f(x)是无穷小；当a、 x？0a？当1时，函数f（x）在x中？0连续，否则x？0是函数的（第一个）断点类型。
16.已知f(x)dxf(x)c，则?11?x2f(arcsinx)dx?f(arcsinx)?c一17.当x?0时，(1?ax)?1与1?cosx是等价无穷小，则a?12332?x3sint??0tdt#18.f(x)??,x?0是连续函数，则a?13x?a,x?0?19.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)?0,[f(x)]dx?1，则121 xf（x）f（x）dx？？1002提示：1120xf(x)f(x)dx0xf(x)df(x)xf(x)1100f(x)d(xf(x))10f（x）[f（x）？xf？（x）]dx1f2（x）dx？？100xf（x）f？（x） DX，移动物品。
【7A文】高等数学第六版（同济大学）上册课后习题答案解析.doc
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11.设A =(-∞,-5)⋃(5,+∞),B =[-10,3),写出A ⋃B ,A ⋂B ,A \B 及A \(A \B )的表达式. 解A ⋃B =(-∞,3)⋃(5,+∞),A ⋂B =[-10,-5),A \B =(-∞,-10)⋃(5,+∞),A \(A \B )=[-10,-5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ⋃B C ,所以(A ⋂B )C =A C ⋃B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )⋃f (B ),所以f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )⋂f (B ), 所以f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g = ,Y I g f = ,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f -1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f -1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f -1(f (A ))⊂A .因此f -1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x .函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(1,+∞). (3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1,0)⋃(0,1]. (4)241xy -=; 解由4-x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(-2,2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1); 解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2,4]. (8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞,0)⋃(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1,+∞). (10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞,0)⋃(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x -tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=-x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ-,ϕ(-2),并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解21|6sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ,0)2(=-ϕ. 9.试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xx y -=1,(-∞,1); (2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(-∞,1),有1-x 1>0,1-x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞,1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(-l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(-l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(-l ,0)且x 1<x 2,有-x 1,-x 2∈(0,l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (-x 2)<f (-x 1),-f (x 2)<-f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(-l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-l ,0)内也单调增加. 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3; (3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1; (6)2x x a a y -+=. 解(1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-,所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----,所以f (x )是偶函数. 13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos4x ;解是周期函数,周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数: (1)31+=x y ; 解由31+=x y 得x =y 3-1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11,所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=,所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4)y =2sin3x ;解由y =2sin3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2. (6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即-M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则-M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ; 解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2; 解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=-1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a ,所以函数f (x +a )的定义域为[-a ,1-a ].(4)f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1-a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1-a ],当21>a 时函数无意义. 18.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形. 解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1||11|| )]([1x e x x e x f g . 19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40︒(图1-37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-37 解 40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h h S BC ⋅-= 40cot 0,所以 h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS 确定,定义域为 40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0-100)=90-75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3)P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时,nn x 21=→0,021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时,n x n n 1)1(-=→0,01)1(lim =-∞→nn n . (3)212n x n +=; 解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时,12111+-=+-=n n n x n →0,111lim =+-∞→n n n . (5)x n =n (-1)n .解当n →∞时,x n =n (-1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π.∀ε>0,要使|x n -0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N , 则∀n >N ,有|x n -0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000. 3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ; 分析要使ε<=-221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n . 证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<-|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n41,即ε41>n . 证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<-++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<-+|1|22n a n ,所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99⋅⋅⋅9-1|ε<=-1101n ,只须1101-n <ε,即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9-1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<-||a u n ,从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =-∞→n n ,但n n )1(lim -∞→不存在. 5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x . 证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有 εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞), 证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0, ∃K 1,当2k -1>2K 1-1时,有|x 2k -1-a |<ε; ∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k -a |<ε.取N =max{2K 1-1,2K 2},只要n >N ,就有|x n -a |<ε. 因此x n →a (n →∞). 习题1-31.根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε,只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x -3|<δ时,有|(3x -1)-8|<ε, 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε,只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x -2|<δ时,有 |(5x +2)-12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x ,只须ε<--|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x -(-2)|<δ时,有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x . (4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x ,只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<--<|)21(|0x 时,有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x . 证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x ,只须ε<x1,即21ε>x . 证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x -2|<δ时,|y -4|<0.001？ 解由于当x →2时,|x -2|→0,故可设|x -2|<1,即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002,则当0<|x -2|<δ时,就有|x 2-4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+-=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y -1|<0.01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ,只要397301.04||=->x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x -0|<δ,时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →-∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <-X 1时,有|f (x )-A |<ε; ∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )-A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x -x 0|<δ时,有 |f (x )-A |<ε.因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有 |f (x )-A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0, ∃δ1>0,使当x 0-δ1<x <x 0时,有|f (x )-A <ε; ∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )-A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x -x 0|<δ时,有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有 |f (x )-A |<ε, 即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε=1.所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |. 习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x -3|<δ时,有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x -0|<δ时,有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >-2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x -0|<δ时,有M x x >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<-<x 时,|y |>104. 4.求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→; (2)xx x --→11lim 20. 解(1)因为xx x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=--→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:解6.函数y=x cos x在(-∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？解函数y=x cos x在(-∞,+∞)内无界.这是因为∀M>0,在(-∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2,⋅⋅⋅),当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.当x→+∞时,函数y=x cos x不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k(k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-5 1.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x xx ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→; 解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→.(6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为 最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n nn n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→x x x x . 2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限: (1)35lim 22-+→x x x ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→; 解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2x x x -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为 最高次项系数之比). 或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n nn n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→; 解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x .2.计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数). 3.计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-71.当x →0时,2x -x 2与x 2-x 3相比,哪一个是高阶无穷小？ 解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时,x 2-x 3是高阶无穷小,即x 2-x 3=o (2x -x 2).2.当x →1时,无穷小1-x 和(1)1-x 3,(2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时,1-x 和1-x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时,1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小,而且是等价无穷小. 3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x -. 证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0), 所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时,2~1sec 2x x -. 4.利用等价无穷小的性质,求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数); (3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x . 5.证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α; (2)若α~β,则1lim=βα,从而1lim =αβ.因此β~α; (3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ. 习题1-81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ; 解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的. 在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处,因为f (-1)=-1,并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)内连续,在x =-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y ,x =1,x =2; 解)1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231limlim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点; 因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =-2,则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅); 解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim 2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2 ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0; 解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数x y 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ,x =1. 解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xxx f n n n 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n . 在分段点x =-1处,因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ,1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ,所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U,使当x ∈)(0x U 时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0. 5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的 且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Q x x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续. (3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f )(在R 上处处有定义,它只在x =0处连续. 习题1-91.求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →. 解)2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(-∞,+∞)内除点x =2和x =-3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(-∞,-3)、(-3,2)、(2,+∞). 在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→. 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ; (2)34)2(sin lim x x π→; (3))2cos 2ln(lim 6x x π→; (4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ; (6)ax a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞→. 解(1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x . (2)因为函数f (x )=(sin2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x . (5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→ 1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x x x x . 4.求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→; (2)xx x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim x x x+∞→; (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++x x xx ; (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 解(1)1lim 01lim 1===∞→∞→e e e x x x x . (2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x . (3)[]e e xx xx x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim . (4)[]33tan 3120cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→. (5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x x x x .因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ,232163lim -=-⋅+-∞→x x x ,所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x . (6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ xx x x x x x x x x x x x 220220sin 2sin 2tan lim )sin 1tan 1(sin )1sin 1)(sin (tan lim ⋅=+++++-=→→ 21)2(2lim 320=⋅=→x x x x . 5.设函数⎩⎨⎧≥+<=00 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a ,使得f (x )成为在(-∞,+∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞,+∞)内连续,只须f (x )在x =0处连续,即只须a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 00. 因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f ,a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00,所以只须取a =1. 习题1-101.证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.证明设f (x )=x 5-3x -1,则f (x )是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f (1)=-3,f (2)=25,f (1)f (2)<0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点ξ (1<ξ<2),使f (ξ)=0,即x =ξ是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根.因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x =a sin x +b ,其中a >0,b >0,至少有一个正根,并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x ,则f (x )是[0,a +b ]上的连续函数.f (0)=b ,f (a +b )=a sin(a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0,则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0,则f (0)f (a +b )<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a +b ),使f (ξ)=0,这说明x =ξ也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根.总之,方程x =a sin x +b 至少有一个正根,并且它不超过a +b .3.设函数f (x )对于闭区间[a ,b ]上的任意两点x 、y ,恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |,其中L 为正常数,且f (a )⋅f (b )<0.证明:至少有一点ξ∈(a ,b ),使得f (ξ)=0.证明设x 0为(a ,b )内任意一点.因为0||lim |)()(|lim 00000=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以0|)()(|lim 00=-→x f x f x x , 即)()(lim 00x f x f x x =→. 因此f (x )在(a ,b )内连续.同理可证f (x )在点a 处左连续,在点b 处右连续,所以f (x )在[a ,b ]上连续.因为f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )⋅f (b )<0,由零点定理,至少有一点ξ∈(a ,b ),使得f (ξ)=0. 4.若f (x )在[a ,b ]上连续,a <x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n <b ,则在[x 1,x n ]上至少有一点ξ,使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明显然f (x )在[x 1,x n ]上也连续.设M 和m 分别是f (x )在[x 1,x n ]上的最大值和最小值. 因为x i ∈[x 1,x n ](1≤i ≤n ),所以有m ≤f (x i )≤M ,从而有M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论,在[x 1,x n ]上至少有一点ξ使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5.证明:若f (x )在(-∞,+∞)内连续,且)(lim x f x ∞→存在,则f (x )必在(-∞,+∞)内有界. 证明令A x f x =∞→)(lim ,则对于给定的ε>0,存在X >0,只要|x |>X ,就有 |f (x )-A |<ε,即A -ε<f (x )<A +ε.又由于f (x )在闭区间[-X ,X ]上连续,根据有界性定理,存在M >0,使|f (x )|≤M ,x ∈[-X ,X ]. 取N =max{M ,|A -ε|,|A +ε|},则|f (x )|≤N ,x ∈(-∞,+∞),即f (x )在(-∞,+∞)内有界.。
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册word精品文档69页
高等数学习题解答第一章（7-11）第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim nx =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2, 2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ11limlim22=+=+∞→∞→n n n n nn n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n Λ第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3.证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4.解：（1）0lim→x x x 25tan =0lim →x x x 25=25 （2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim→x 222x x x =∞（3）0lim→x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x （5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x =1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim→x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n 第八节 函数的连续性与间断点1.0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim 0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt tt t x x f1)(lim 0-=-→x f x∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
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第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。
本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。
本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。
本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。
同济大学数学系高等数学第6版笔记和课后习题答案
第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。
常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。
（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。
（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。
规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。
若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。
②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。
（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。
b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。
c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)一、填空题1.lim(e^3x-cos2x)/(3sin2x-2x^2) = 12.曲线y=xe的拐点是(2,2e)3.设f(x)在x=0处可导且f(0)=0，则lim(x→0) [f(x)/x] =f'(0)4.曲线y=(1-cos2x)/π+x在(-1,1)处的切线方程为y=x+15.曲线y=2x/(x^2-1)有垂直渐近线x=±1和水平渐近线y=06.设f(u)可导，y=sin[f(e)]，则dy=sin2[f(e)]·f'(e)·e dx7.∫e^x dx = 2(e^2+1)8.若f'(x)=-3，则lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h] = -39.若∫xp dx收敛，则p的范围是p<-110.lim(x→∞) [(2x+3)/(x+1)] = e11.设∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(2x)dx=F(2x)/2+c12.设f(x)的一个原函数是x ln x，则∫x f(x)dx = x^2 ln x - ∫x dx + C13.设f(x)={x^2.x>1.-x。
x≤1}，则∫f(x)dx = -1614.过点(1,3)且切线斜率为2的曲线方程为y=x^2+115.已知函数f(x)={xsinx。
x≠a。
A。
x=a}，则当x→∞时，函数f(x)是无穷小；当a=1时，函数f(x)在x=1处连续，否则x=a为函数的第一类间断点。
16.已知∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(arcsin x)dx=F(arcsin x)+c17.当x→0时，(1+ax)^(-1)与1-cosx是等价无穷小，则a=2/318.f(x)={x^3sin(1/x)。
x≠0.0.x=0}是连续函数，则a=1/319.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)=1，[f(x)]dx=1，则∫0^1 xf(x)f'(x)dx = -1/220.Φ(x)=∫xe^tdt，则Φ(1)=e-1，Φ'(1)=e2.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y=3x+1，则f'(2)=33.设f(x)=arctanx，则当x→+∞时，lim f(x)=π/25.函数y=x的导数为y'=x(lnx+1)6.∫0+∞ xe^(-x) dx=27.∫-1^1 (x+2)/(√(1+x^2)(2+x)) dx=19.f(x)=x的积分曲线中过(1,-1)的那条曲线的方程为y=x^2-2x11.设s为曲线y=xlnx与x=1,x=e及x轴所围成的面积，则s=(e^2+1)/213.曲线y=ln(e^x)的全部渐近线为y=1,x=0,x=-1/e15.曲线y=x^2与y^2=x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积为(π/5)(7-2√6)16.点(1,1,1)到平面2x+y-2z+2=0的距离为(√14)/318.设向量a=2i-j+k,b=4i-2j+λk，则当λ=-10时，a⊥b；当λ=2,a//b。
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点(可编辑修改word版)
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）4、空间平面5、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1 则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2 称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1… 中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
(完整word版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案
高等数学（同济第六版）上册-期末试卷及答案一、填空题1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim30 . 232.曲线x xe y -=的拐点是 .)2,2(2-e3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→xx f x )(lim 0. )0(f ' 4.曲线x x y +-=22cos 1在)21,2(ππ+处的切线方程为 .1y x =+ 5.曲线122-=x x y 有垂直渐近线 和水平渐近线 . 1±=x ，1=y6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy . dx e e f e f x x x ⋅'⋅)()]([2sin7.=⎰dx e x 40 . )1(22+e8. 若3)(0-='x f ，则=--+→hh x f h x f h )3()(lim000. 12-9. 若dx x p ⎰+∞1收敛，则p 的范围是 .1-<p 10.=+++∞→1)1232(lim x x x x. 11.设⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=dx x f )2( . c x F +)2(2112.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则⎰=dx x xf )( . c x x x ++ln 242213.设⎩⎨⎧≤>=0,0,)(2x x x x x f ，则⎰-=11)(dx x f . 61-14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 . 12+=x y15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 类间断点. 1， 一16.已知⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=-dx x f x)(arcsin 112.c x F +)(arcsin17.当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a .2318.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,sin )(303x a x x dtt t x f x 是连续函数，则=a . 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且120(1)0,[()]1f f x dx ==⎰，则='⎰10)()(dx x f x xf .21- 提示：='⎰10)()(dx x f x xf ⎰⎰-=11021))(()()()()(x xf d x f x xfx df x xf⎰⎰⎰'--='+-=110210)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得.20.dx xe x x x ⎰=Φ02)(，则=Φ)1( . =Φ')1( . )1(21-e ，e 21.x dx x df 1)(2=，则=')(x f .x 21 提示：22221)(12)(xx f x x x f ='⇒=⋅' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f . 3 23.设x x f arctan )(=，且,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim 000.)1(2100x x + 24.33ln2-+=xx y 的水平渐近线是 . 3-=y 25.函数x x y =的导数为 .)1(ln +x x x 26.=⎰+∞-dx xe x 02.21 27.=++⎰-dx xxx x )1sin (2211 . 1 28.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 2129.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-30.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e31.⎰='dx x f )2( .c x f +)2(2132.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积 .π103 34.设022x 1,x 0f (x)0,x 0,f (x 1)dx x ,x 0-+<⎧⎪==+⎨⎪>⎩⎰= . 56二、选择题1. 设21cos ,01(),10x x f x xxx ⎧<<⎪=⎨⎪-<≤⎩，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 2.曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（ ） B2.πA 4.πB 0.C 1.D3.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （ ） B.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根 4.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（ ） D0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在5.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（ ） Dx A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .- 6.设t t f cos )(ln =,则='⎰dt t f t f t )()(（ ） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin . 7.设)(x f 连续，⎰=22)()(x dt t f x F ，则=')(x F （ ） C)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D8.下列广义积分收敛的是（ ） Cdx x x A e⎰+∞ln . dx xx B e ⎰+∞ln 1. dx x x C e ⎰+∞2)(ln 1. dx x x D e ⎰+∞ln 1. 9.广义积分=+⎰+∞-0xx e e dx（ ） C2.πA π.B 4.πC .D 发散10.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） C12.2++x x A )1cos(.x B + )1(.22x x C - )1ln(.x C +11.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（ ）Cb a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +. 12.已知1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处 （ ）BA .)(x f 导数存在且0)(≠'a fB .)(x f 取极大值C .)(x f 取极小值D .)(x f 导数不存在三、计算题1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21-2.41cos 0ln lim x tdt t xx ⎰→ 81-3.)11(lim 22--+∞→x x x 0 4. xx x 1)(cos lim +→ 21-e5. 2tan)1(lim 1xx x π-→π26. 求xx x x x ln 1lim 0-+→ 1解1 原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0ln 000====++=+++→→→e e x x x x x x x x x x x ， 解2 原式ln ln 001lim =1,lim ln 0,1~ln ,0ln x x x xx x e x x e x x x x x ++→→-==∴-→Q （）7.设)(x f 为连续函数，计算⎰-→x a a x dt t f a x x )(lim 2)(2a f a 8.sin(ln )x dx ⎰ [sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+9.dx x ⎰+π02cos 1 22 10.dx x a x a2202-⎰416a π 11.设xx y cos )(sin =，求y ' . ()]sin cos sin ln sin [)(sin 2cos xxx x x x+-12.设0cos 2ln 0=+⎰⎰x yttdt dt e ，求dy . dx x x 2cos 2-13.dx x x x ⎰+--84132 c x x x +-++-22arctan 2584ln 23214.设⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy. 3 15.dx x x ⎰-π042sin sin 提示：原式1cos sin cos sin 022===⎰⎰dx x x dx x x ππ16.dx x ⎰-22)1(1 发散 17.dx e x ⎰-2ln 01 )41(2π- 18.⎰-12x x dxc x +1arccos 19.xdx x 4223cos )4(+⎰-ππ π23 20.dx x x⎰3ln 21ln (3)2x c + 21.dx e x x 22ln 03-⋅⎰ 11ln 242-+ 22.⎰+)1(2xx e e dx arctan x xe e c ---+ 23.设x 1)e (f x +='，求)x (f . ln x x c + 24.⎰--+1x 1x dx33221[(1)(1)]3x x c ++-+25.⎰+)x 1(x dx10101ln ln 110x x c -++ 26.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求⎰'dx )x (f x . cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x ++-+ 27.dx x 1x1xln ⎰+- 211ln (1)21x x x c x-+-++ 28.dx x)1x (ln ⎰+1)x c +- 29.dx x a x a⎰-+02214π 30.设)(x f 在]1,0[上连续，单调减且取正值，证：对于满足10<<<βα的任何βα,有f (x)dx f (x)dx ββαβα>⎰⎰.00()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxf x dx f x dx ββαββααααβαβαββαββα-=+-=+-⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰提示：31.260sin 1lim3x t xx te tdt x e →⋅=⎰四、解答题1.求函数x e x y -⋅=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线.2.设1sin ,0()200x x f x x x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩，或，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.01()()(cos 1),021,xx x f t dt x x x ππ<⎧⎪⎪Φ==--≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰，3.设)(x f 在),(+∞-∞内连续，证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰. 4.设20,,0,2:;0,2,,2:2221<<=======a a x y x y D y x a x x y D(1)试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值.)32(5451a V -=π，42a V π=，1=a ，+1(V π5129)max 2=V5.已知x x x f 22tan 2cos )(sin +='，求)(x f .提示：uu u u f x x x x f -+-='⇒-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 2222，c x x x f +--=1ln )(26.设c y =与22x x y -=相交于第一象限（如图）.（1）求使得Ⅰ与Ⅱ两区域面积相等的常数c ； （2）在（1）的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积. 提示：III II III I II I s s s s ++=⇒=，202031)2(b b c dx x x cdx bb-=⇒-=⎰⎰，又22b b c -=， 43,23==⇒c b ,23,21243212==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==x x x x y y ，π24041=V . 7. 设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ，求b a ,，使这块区域绕x 轴旋转所得体积最小.)0,0(≥≥b a提示：21220()(),3a V axb dx ab b ππ=+=++⎰1()2aA ax b dx b =+=+⎰，A b a ==,0时，体积最小. 8. 证明011302=+--⎰xx dxx 在区间)1,0(内有唯一的实根.提示：令0)1()0(113)(02<⋅⇒+--=⎰F F x dxx x F x，再证唯一性.9. 求dt e )t 2()x (f 2x 0t ⎰--=的最值. 21,1e -+最小值为最大值为 10. 0,x dt,t 1lnt )x (f x 1>+=⎰求)x 1(f )x (f +. 21(ln )2x 11. 证明211lim21=--→x x x . 分析: 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. 12. 证明01lim =∞→xx . 分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .13. 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.(1) ;233+-x x （2）ln ;x （3）.11sin )1(--x x (1)233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量; (2)ln x 是关于1-x 的等价无穷小量； (3) 11sin)1(--x x 与1-x 不能比较. 111sin )1(lim1--⋅-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以，11sin )1(--x x 与1-x 不能比较.。
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。
解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。
证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。
3. 设映射f : X Y, A X, B X。
证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。
4。
设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。
证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。
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※高等数学上册期末复习一.填空题1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim30 232.曲线xxe y -=的拐点是 )2,2(2-e3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→xx f x )(lim 0)0(f ' 4.曲线x x y +-=22cos 1在)21,2(ππ+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线122-=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f xx x ⋅'⋅)()]([2sin#7.=⎰dx e x 40 )1(22+e8.若3)(0-='x f ，则=--+→hh x f h x f h )3()(lim 00012-9.若dx x p ⎰+∞1收敛，则p 的范围是 1-<p#10.=+++∞→1)1232(lim x x x x e 11.设⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=dx x f )2(c x F +)2(21#12.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则⎰=dx x xf )( c x x x ++ln 242213.设⎩⎨⎧≤>=0,0,)(2x x x x x f ，则⎰-=11)(dx x f 61-#14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当=a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。
16.已知⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰=-dx x f x)(arcsin 112c x F +)(arcsin17.当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a23 #18.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,sin )(303x a x x dtt t x f x 是连续函数，则=a 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且1)]([,0)1(12==⎰dx x f f ，则='⎰1)()(dx x f x xf 21- 提示：='⎰10)()(dx x f x xf ⎰⎰-=11021))(()()()()(x xf d x f x xf x df x xf⎰⎰⎰'--='+-=11210)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得。
#20.dx xe x xx ⎰=Φ02)(，则=Φ)1( )1(21-e ，=Φ')1( e21.x dx x df 1)(2=，则=')(x f x21提示：22221)(12)(xx f x x x f ='⇒=⋅' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f 3#23.设x x f arctan )(=，则,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim000)1(2100x x + 24.33ln2-+=xx y 的水平渐近线是 3-=y 25.函数xx y =的导数为 )1(ln +x x x26.=⎰+∞-dx xe x 0221 #27.=++⎰-dx xxx x )1sin (2211 1 28.广义积分=⎰+∞dx x 131 2129.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的那条曲线的方程 ______12x 2- #30.设s 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s )1(412+e31.⎰='dx x f )2(c x f +)2(2132.曲线)1ln(x e y -=的全部渐近线为 ex x y 1,0,1=== #33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积π103 34.点)1,1,0(到平面0222=+-+z y x 的距离为35 35.设向量k j i b k j i a ϖϖϖϖϖϖϖϖλ+-=+-=24,2，则当=λ 10-时，b a ϖϖ⊥；当=λ b a ϖϖ//,2。
本题不作要求36.空间曲线⎩⎨⎧+==++)(31222222y x z z y x 在xoy 平面上的投影曲线方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+04122z y x 37.设3),(,2,5π===b a b a ϖϖϖϖ，则=-b a ϖϖ32 19238.设向量}5,4,3{},2,1,2{-=-=b a ϖϖ，则a ϖ在b ϖ上的投影为 2239.已知向量k j i m a ϖϖϖϖ-+=5和向量k n j i b ϖϖϖϖ++=3共线，则=m =n ,15 51-40.设平行四边形二边为向量}3,1,2{},1,3,1{-=-=b a ϖϖ，则其面积为 10341.设点142),5,0,4(=B A A ϖ，向量B A ϖ的方向余弦为141cos ,143cos ==βα， 142cos -=γ，则B 点坐标为 )1,2,10( 本题不作要求42.曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为12233222=++y z x43.设,3,2==b a ϖϖ且b a ϖϖ//，则=⋅b a ϖϖ =⨯±b a ϖϖ,6 0ϖ44.设⎰-+⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=022dx )1x (f ,0x ,x 0x ,00x ,1x )x (f = 56#45.='-=⎰)x (,dt )t x (sin )x (x0φφ sin x二.选择题1.设2005)1(lim=-+∞→ββαn n n n ，则βα,的值为（ ） C 20051,2004.-A 20052004,20051.-B 20051,20052004.-C 20051,20052004.-D #2.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<=01,10,1cos )(2x x x xx x f ，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 3.曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（ ） B2.πA 4.πB 0.C 1.D4.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1(,1)0(==f f ，则至少存在一点)1,0(∈ξ，有 A ()(),F x xf x Rolle =设利用定理ξξξ)()(.f f A -=' .B ξξξ)()(f f =' .C ξξξ)()(f f '-= .D ξξξ)()(f f '=#5.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （ ） B.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根#6.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（ ） D0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在7.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（ ） Dx A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .-#8.设t t f cos )(ln =,则='⎰dt t f t f t )()(（ ） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin .9.设)(x f 连续，⎰=22)()(x dt t f x F ，则=')(x F （ ） C)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D10.下列广义积分收敛的是（ ） Cdx x x A e⎰+∞ln . dx x x B e ⎰+∞ln 1. dx x x C e ⎰+∞2)(ln 1. dx xx D e ⎰+∞ln 1.#11=+⎰+∞-0xx e e dx（ ） C2.πA π.B 4.πC .D 发散12.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） C12.2++x x A )1cos(.x B + )1(.22x x C - )1ln(.x C + 13.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（ ）Cb a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +.#14.若c e dx e x f xx+=--⎰11)(，则=)(x f （ ） Bx A 1.- 21.x B x C 1. 21.xD -15.点)1,2,3(-M 关于坐标原点的对称点是（ ） A)1,2,3.(--A )1,2,3.(---B )1,2,3.(--C )1,2,3.(-D 16.向量b a ϖϖ⨯与向量a ϖ的位置关系是（ ） C.A 共面 .B 平行 .C 垂直 .D 斜交17.设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D C A ,,均不为零，则平面（ ） B.A 平行于x 轴 .B 平行于y 轴 .C 经过x 轴 .D 经过y 轴18.设直线方程为⎩⎨⎧=+=+++00221111D y B D z C y B x A 且0,,,,,221111≠D B D C B A ，则直线（ ）C.A 过原点 .B 平行于x 轴 .C 垂直于y 轴 .D 平行于z 轴19.直线37423zy x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为（ ） C .A 斜交 .B 垂直 .C 平行 .D 直线在平面上20.已知1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处 （B ）A .)(x f 导数存在且0)(≠'a fB .)(x f 取极大值C .)(x f 取极小值D .)(x f 导数不存在三.计算题#1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 21- # 2.41cos 0ln limx tdt t xx ⎰→ 81-3.)11(lim 22--+∞→x x x 0 4. xx x 1)(cos lim +→ 21-e#5. 2tan)1(lim 1xx x π-→π26. 求xx x x x ln 1lim 0-+→=1解：一）原式1lim lim 1ln )ln 1(lim 0ln 000====++=+++→→→e e x x x x x x x x x x x ， 二）原式0,ln ~1,0ln lim ,ln 1lim ln 0ln 0→-∴=-=++→→x x x e x x xx e x x x x x x Θ 1=。