§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例1

d 2 y1 dy1 即 2 y1 = 0 ， dx 2 dx
特征方程为 r 2 r 2 = 0 ， r1 = 1 ， r2 = 2 ，
∴ y1 = c1e x + c 2 e 2 x ，
y2 = c3e 2 x ，
dy1 y3 = + 2 y1 y2 dx
= c1e
x
+ 2c 2 e
一阶线性微分方程组
dy1 dx = a11 ( x ) y1 + a12 ( x ) y2 +L+ a1n ( x ) yn + g1 ( x ) dy 2 = a21 ( x ) y1 + a22 ( x ) y2 +L+ a2n ( x ) yn + g2 ( x ) (1) dx LL dyn = an1 ( x ) y1 + an2 ( x ) y2 +L+ ann ( x ) yn + gn ( x ) dx
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e Leabharlann Baidu ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
消元法— 4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
dy dx = sin x 2 y z 的通解。 例 1．求微分方程组 ． 的通解。 dz = cos x + 4 y + 2 z dx
dy dz 解：对第一个方程求导，得 对第一个方程求导， = cos x 2 ， dx dx dx 2 dy 由第一个方程得 z = sin x 2 y ， dx dz dy 代入第二个方程， 代入第二个方程 ， 得 = cos x + 4 y + 2(sin x 2 y ) dx dx
dy = cos x + 2sin x 2 , dx
d2y
dy dz 即 cos x 2 = 2sin x ， dx dx
∴ d y
2
dx 2 dy = 2cos x + C1 ， dx
= 2sin x ，
y = 2sin x + C1 x + C 2 ，
z = sin x 2( 2sin x + C1 x + C 2 ) ( 2cos x + C1 )
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1 dx = f1 ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dy 2 = f 2 ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dx L dyn = f n ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dx
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
= 3sin x 2cos x 2C1 x ( 2C 2 + C1 ) 。
dy1 dx = 2 y1 + y2 + y3 dy 2 的通解。 例 2．求微分方程组 的通解。 = 2 y2 dx dy3 = 4 y + y + 3 y 1 2 3 dx
dy1 dy2 dy3 dy1 解： = 2 + + = 2 4 y1 + 3 y2 + 3 y3 2 dx dx dx dx dx dy1 dy1 dy1 = 2 4 y1 + 3( + 2 y1 ) = + 2 y1 ， dx dx dx d 2 y1