§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例1
一阶线性微分方程组常系数线性微分方程组的解法1
第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、冃的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学于段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8), 如何求岀基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组dx(3.20)下面分两种情况讨论.(-)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为人，入,…，人,这时入0T~[AT0 A, 方程组(3.20)变为(3.23)易见方程组(3.23)有〃个解Z](兀)=0 严，Z2(x) =■■0010•■乙(兀)= 0■■A..x eH ■■1把这〃个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的舁个解5hi(Z = h Z…加这里7；是矩阵丁第例向豊它恰好是矩阵A关于特征根人的特征向量，并且由线性方程组(A-4E)£=0所确定.容易看岀，y,(X),§(X),…比(x)构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = det T工0・于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的〃个特征根入，希，…，人,彼此互异，且7；込,…卫分别是它们所对应的特征向量，则Z (劝=尹7],场(劝=/込，…比(X)= e A"x T n是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是4 = 特征方程是det(A-2E)=3-1 1 _-15-13-13-2-11-15-2-1=0 3-13-2dxdt= 3x- y + zdzdt=x- y + 3z23-lU 2+362-36 = 0所以矩阵A 的特征根为人=2,人=3,入=6.先求A =2对应的特征向量，仅C 满足方程a■ 1-1 1 _Cl（A-人 E ） b —— -1 3 -1 b =0c1 -1 1 c即a-b + c = 0 < -a + 3b-c = 0 a-b + c = Q可得a = —c,b = °.取一组非零解，例如令° = 一1 ,就有 d = l,b =0,c = —1.同样，可求出另两个特征根所对应的 特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是_1 -■f■ 1 ■W)=C {e 2t 0 + C 2e 3f1 + Ge" -2 z(f)-111（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY 二AYdx(3.20)归结为求矩阵4的特征根和对应的特征向量问题.现在 考虑复根情形.因为4是实的矩阵，所以复特征根是共辘出 现的，设\2=a±i 0是一对共辘根，由定理3.11,对应 解是Y x (x) = e^x T x , Y 2 (%) = e^xT 2其中£兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们 希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3・12如果实系数线性齐次方程组罕=A(X)Y ax 有复值解Y(%)=U(X)+ iV(x)其中L/(x)与卩(兀)都是实向量函数，则其实部和虚部坷(兀)t/(x) =w2(x)■■■，VW =认)■叫(X) 也)证明因为Y(兀)=U(x) + iV(兀)是方程组(3.8)的解，所以dx v ] dx dx=A(x)[U (x) + iV (x)] = A(x)U (x) + iA(x)V (x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dx，dx即g),«)都是方程组(3.8)的解•证毕.定理3・13如果Z (x), Y2 (x),…,人(x)是区间(恥)上的« 个线性无关的向量函数，也厶是两个不等于零的常数，则向量函数组卅(劝+如],^KW-^(x)],5(劝,・・・,匕(劝(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在〃个不全为零的常数g…,c“,使得对区间(小上的所有兀皆有Cp][X(x) + §(x)] + C2b2[Y{(X)-Y2(X)]+C3Y3O) + …+ C n Y n(x)三0所以(C、b\ + C2b2)Y.(x) + (CQ\ — C2b2)Y2(x) + (x) + …+C n Y n O)三0因为乙(兀)卫(劝,…,乞(兀)线性无关,从而CQ] + C2b2 = 0, C\b[ — C2b2 =0, C3 = 0,…,C” = 0从上式可知，C {b { =C 2Z?2 =0,因为％/?2鼻0,故 6=0=°.即所有常数g …c 都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知，实矩阵4的复特征根一定共辘成对地岀 现•即，如果a = a +ib 是特征根，则其共^A = a-ib 也是 特征根.由定理3.11,方程组(3.20)对应于^ = a + ib 的复 值解形式是"1 +"12 Y](x)二严初7二严也■ ■ ■『21 +”22 ■t n□ +心2这里E 是对应于^ = a + ib 的特征向量.由于矩阵A 是实 的，所以上述向量的共辘向量是方程组(3.20)对应于特征根=e ax (cos bx + i sinbx)+ "12 ■ h\ +"22G cos bx-t n sinbxt n cosbx + t n sinbxcos bx -sinbx・ClX4 cosbx + q sinbx■ ■+ ie■■t nl cosbx-t n2 sinbxt n2 cosbx + f 川 sinbx+ lt n2A = a-ib 的解，记作丫2(兀)=严沥工，•现将上述 两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t n cosbx + 帚 sinbx 切 cosbx + Q sinbx■t n2 cosbx + g sinbx由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解，并 且由此得到的n 个解仍组成基本解组.|[Y 1(X ) + Y 2(X )] = ^cos bx-t n sinbxZ 21 cos bx-12? sinbx■ ■ ■t ni cosbx-t n2 sinbx1[Y 1(X )-Y 2W] = ^2z例2求解方程组dxdt -x-y-z dt 二兀+ydz = 3x + zdt解它的系数矩阵为-1 1-Z 0-1 0 1-A(2-1)(22-22+5) = 0特征方程是-1 -11-2det(A -AE)=特征根为人=1，育 3 = 1 ± 2Z先求人=i对应的特征向量为~0_T.= 1-1再求人=1 + 2,所对应的特征向量丁2.它应满足方程组~-2i-1-T a(A-(1+2Z)E)T2=1-2i0b=030-2i c-2ia-b-c二0< a — 2bi — 03a-2ci = 0用力乘上述第一个方程两端，得4a-2bi-2ci = 0< a - 2bi = 0 3a —2c 心 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程 组中仅有两个方程是独立的，即a — 2bi = 0 3a — 2ci = 0求它的一个非零解.不妨令" = 2.贝ljb = l,c = 3・于是人= 1 + 2/对 应的解是故原方程组的通解为_0_-2 sin It2 cos 2?=C0 1 +cos2r + C 3e ，sin 2t z(x) -13 cos It3 sin 2t(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这 些特征根所对应的特征向量.然而，当~2i~~2i ~-2 sin 2t2cos2r 1 =e r (cos 2t + i sin 2f)1 =e r cos 2tsin 2t333 cos 2t3sin2fe (l+2/)/矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若人是A 的出重特征根，则由齐次线性方程组(A - 4E)!；二0所决定的线性无关特征向量的个数人，一般将小于或等于特征根人的重数匕若幷半，那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同•若齐＜«,由线性代数的知识，此时也可以求岀匕个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型J.TAT=山■_ J加-其中未标岀符号的部分均为零无素，而是化阶约当块，/+©+…+灯=仏"…，九是(3.20)的特征根, 它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成JZ~cbc(3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为〃7个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子, 说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形，其推导是相似的.设方程组Dx(3.26)中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ 其中T =(G (L_/ = 1,2,...,5)且 delTHO,将方程组(3.26)化为(3.27)dx我们假定1 0 0 o -0 A 1 0 0J = 00 A 0 00 0 010 0 0 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组(3.28)(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(C AZ[ = — x2 + C^x + C, e A[X12! ~ JZ2 = (C3x + C2)e z,A同样对(3.29)可解得z4=(C5x + C4)^x这里GG ，…,G 是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现“5, 在(3.29)中不岀现辟2好 我们依次取C )= 1, C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0C] = o, = h = C4 = q = o Cj = C 2 = 0, C 3 = 1,C 4 = C 5 = 0 q = C] = C y = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 q = q = C3 = C4 = o. C5 = 1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而(3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵•又detZ(0) = 1^0zi =e 0 0 ,z° = - Xj.v ■ xe 1/X Z3 = 2!xe^x /X■ 0 ■ 0，厶= 0€ 9_ 00 00XZ(x) = 00 02!兀戶0 00 0 0严所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27) 的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y"Z 中可得原方程组(3.26)的五个解，（寸，+r 12x + r 13>z,A （才兀2 +3 +Q ）□ （毎兀2 +/32兀 +/33）0 （才F +3 +心）穴 （毎F+l + S*而且这五个解构成方程组的一个基本解组•这是因为，若把上 面五个解写成矩阵形式Y(x) = [X (x), Y 2 (x), Y 3 (x), Y 4 (x), Y 5 (x)]则显然有detY(0)= T HO.I”（⑺+心）/"(切兀+切対(『34兀+(35)/"(切兀+切)/'（『54*+ ‘55）八 _(加+氐沖 (护+山才 (“沁+切)/" (⑺+心才Y 4至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，仏是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,PiMY(x)= p3i(x) d,2,3(3.32)其中每个必CM = 1,2,3,£ = 1,2,3,4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R o + Rd+R2X2)/'都是五维常向量•而对于J中的二阶若当块，易是其中R(J.R P R2(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3+R4X)^X其中R“出也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20),若厶是A的一个出重特征根，则人所对应的若当块可能不是一块而是几块, 但是它们每一块的阶数都小于或等于化，而且这些阶数的和恰好等于化.这样，由以上分析我们得到定理3. 14设人虫,…，血是矩阵A的加个不同的特征根，它们的重数分别为也,…人・那么，对于每一个八方程组(3.20)有人个形如X (x) = I> (x)e^x, Y2(X) = E (x)e^x，…，兀(劝=P k (卅的线性无关解，这里向量EG)(i = l,2,・・・,心)的每一个分量为无的次数不高于心-1的多项式.取遍所有的人(,=1,2,・・・,加)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3・1设邪介矩阵互不相同的特征根为加=1,2,…,〃7), 其重数分别是，蛀2,…W+/+…+灯=砒，记〃维常数列向量所组成的线性空间为V,则(1) V的子集合V7. ={R|(A-学卢R = O,ReV}是矩阵A的nz维不变子空间，并且(2) v有直和分解V = V1®V2®---®V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3・15如果勺是(3.20)的勺重特征根，则方程组(3.20)有个匕形如Y(兀)=(R o +R］兀------ 巴_¥厂")/“(3.33)的线性无关解，其中向量R（）,R H由矩阵方程(A-/lyE)R0 = R](A-2y E)R1=2R2(A-学)％_2 = (k. - 1)R『(A — 2y.E)^ R()= 0(3.34)所确定.取遍所有的A.（J = 1,2,则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若厶是（3.20）的匕重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20）有[R1+2R2x + ... + (^-l)R^_I//_2]€V+/l.(R0 + R1x+...+R Jti_I/?_，)/ =A(R(> + R|X + • • • + R—]/" 消去/尸，比较等式两端兀的同次幕的系数（向量），有(A — 2;-E)R0 = Rj(A-A7E)R, =2R2(A -2;.E)R^_2 =代- 1)R®_] ・(A-A.E)R V1=O注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.(3.35)与(3.34) 同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下而的方程解出出，再依次利用矩阵乘法求岀R P R2•由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的40 = 1,2,...,肋，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的〃个解.记这Q个解构成的解矩阵为丫⑴，显然，Y(O)是由(3.34) 最下面的方程求岀的n个线性无关常向量构成，由引理3.1 的2)矩阵Y(O)中的各列构成了斤维线性空间v的一组基，因此det Y(0) 0 ,于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组卞=儿+儿＜于=X +儿诗二必+旳解系数矩阵为「o 1 rA二1 0 11 1 0特征方程为(2-2)(2 + 1)2=0特征根为人=2,人=〈=-1.其中人=2对应的解是TY,(x)= 1 訂1下面求—-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如Y(x) = (R o + Rd)*'并且RoR满足f(A + E)R0 = R][(A+E)2R O=O由于_i 1 r「3 3 3'(A + E)二 1 1 1,(A+E)2 = 3 3 31 1 1 3 3 3那么由(A+EFR J =0可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入(A + E)R0=R1中，均得到R] 为零向量•于是A=A=-1对应的两个线性无关解是最后得到通解-1丫2(兀)=1 厂,-1丫心)=0厂1例4求解方程组石T + 2宀解系数矩阵是「3 1 -1 A= -1 211 1 1特征方程为(2-2)3=0 ,有三重特征根人2.3 =2 由定理3.15,可设其解形如Y(x) = (R° ++R 2X 2)e 2xR o R, R 2满足方程组(A-2E)R 0=R, (A-2E)2R ( =R 2(A-2E)3R O =O■f■~r1 + C 2e'x1+ C 3e~x0 1iY(x) = C&s由于"1 1 -1__-I o r「0 0 o-(A — 2E) =-1 0 1,(A-2E)2 =0 0 0,(A-2E)3 =0 0 01 1 -1-1 0 10 0 0故R°可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得弘为R2为丄~2丄~2于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解口J写成l + x ——jr2X丄9-x + — X2cy2M=e2x—x1c2_y3W_ 1 2x- — x^L 2X 1 - X + — x22 _本讲要点:1 2 0]_ 21.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
吴翠兰;乔文敏
【期刊名称】《河北地质学院学报》
【年(卷),期】1995(018)005
【摘要】一阶常系数线性齐次微分方程组ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）…（１），其中Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，ｘ（ｔ）＝）ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）＾Ｔ的求解，一般有两种解法。
第一种，归结为求矩阵Ａ的特征值和特征向量，微分方组（１）的解一的般结构完全由代数问题的解析决定。
第二种，归结为求矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形，从而可以写出ｙ１，ｙ２，…ｙｎ，由ｘ＝ｐ＾－１ｙ其中ｙ＝ｙ１ｙ２…ｙｎ，Ｐｎ×ｎ为可逆阵，求出ｘ＝ｘ１ｘ２…ｘｎ即为
【总页数】5页(P422-426)
【作者】吴翠兰;乔文敏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析 [J], 罗毅
2.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生;
3.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生
4.n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解类比法 [J],
周艳华;
5.追赶法求解一阶常系数线性非齐次微分方程组 [J], 张秋生
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一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
一阶线性微分方程及其解法
u
y
du dy
1
u
0
这是关于变量u与x的可分离变量方程，
分离变量 ，并两边积分，得：
1 eu u eu
du
1 dy y
故
ln(u eu ) ln y ln c
x
所以，原方程通解为 ：ye y x c
五、小结
本节主要内容是：
1．齐次方程
dy dx
例2 求微分方程 d y ex y 的通解. dx
解 分离变量 d y ex d x, y
两端积分
dy y
ex
d
x
ln y ex C1,
y eC1eex ,
y eC1eex ,
C
y Ceex为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 (x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y x1 0
解： 方程可化为：
它是齐次方程。令
dy
x2
y2
1 ( y)2 x
dx 2xy
u y
2( y ) x
x
代入整理后，有 du 1 u2
dx 2xu
分离变量，则有
u
1
1 u2 du 2x dx
即 ln | xy | ln | C |
xy C
又 x 2时，y 3， 故C 6
即所求曲线方程为：xy 6
练习:12.2第3题
x
f (x) x f (u)du
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化。
它的形式为：
$$\frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)$$
其中，$P(t)$和$Q(t)$是关于时间$t$的函数，$y$是关于时间$t$的未知函数。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，即：
$$y(t)=e^{-\int P(t)dt}\left[\int Q(t)e^{\int P(t)dt}dt+C\right]$$
其中，$C$是一个常数，可以通过初值条件确定。
一阶常系数线性微分方程在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，它可以用来描述物理系统中的变化，如振动、传播、温度变化等。
例如，在振动系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述振动的变化；在传播系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述信号的传播；在温度变化系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述温度的变化。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，这种方法可以有效地解决一阶常系数线性微分方程的求解问题。
总之，一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化，并且可以用积分的方法求得它的解。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
一阶常系数微分方程求解
一阶常系数微分方程求解标题：一阶常系数微分方程的求解方法简介：本文将介绍一阶常系数微分方程的求解方法，旨在帮助读者理解并掌握这一重要的数学概念。
正文：一阶常系数微分方程是微积分学中的基础内容之一，其求解方法相对简单而直观。
在本篇文章中，我们将详细介绍如何解决一阶常系数微分方程。
首先，我们需要了解什么是一阶常系数微分方程。
一阶常系数微分方程可以写成以下形式：dy/dx+ay=b，其中a和b为常数。
求解这个方程意味着要找到函数y(x)，使得等式成立。
解一阶常系数微分方程的一种常见方法是使用分离变量的技巧。
我们将方程重写为dy/(ay-b)=dx，并进行变量的分离。
接下来，我们对等式两边同时进行积分，得到∫dy/(ay-b)=∫dx。
对于左边的积分，我们可以使用换元法来简化计算。
我们令u= ay-b，于是du=ady。
将这个变换代入积分，得到∫(1/a)du/u=∫dx。
对右边进行积分后，得到ln|u|=ax+C，其中C是常数。
将u代回到方程中，得到ln|ay-b|=ax+C。
我们可以通过对等式两边同时取指数，得到|ay-b|=e^(ax+C)。
再次简化等式，得到|ay-b|=Ce^ax，其中C=e^C。
现在，我们可以解y(x)了。
我们分别讨论ay-b的正负情况。
当ay-b为正数时，我们有ay-b=Ce^ax，可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(4e^2x+ 3)/2。
当ay-b为负数时，我们有b-ay=Ce^ax，同样可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(3-4e^2x)/2。
至此，我们已经成功解出了一阶常系数微分方程。
通过使用分离变量和积分的方法，我们可以找到方程的解析解，并得到y(x)的表达式。
总结起来，一阶常系数微分方程的求解方法相对简单，需要使用分离变量和积分的技巧。
通过这些步骤，我们可以找到方程的解析解，进而求得y(x)的表达式。
一阶微分方程解法
= e∫
cot ydy
cot ydy [ ∫ sin 2 ye ∫ dy + c ]
13
ln sin y [ sin 2 y e ln sin y dy c ] =e + ∫
1 dy + c ] = sin y[ ∫ sin y sin y
2
= sin y[ cos y + c ]
将初始条件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1 故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy) -
4
两边积分,得
即
p = c1
1 Q2 e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为
p=
1 Q2 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程
y y ' = f ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 形如 x
齐次方程.
y u= , 即 引入新的变换 x y = ux
1 x2
=
1 2 3 2 y + y 2 4
19
于是
u = ln x + c
将u =
y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y = x (ln x + c )2
例6 求方程 x 解
dy = y(ln y ln x ) 的通解. dx
将方程恒等变形 为
dy y y = ln dx x x
y 令 u= , 即 x
dy du y = ux 则得 = x +u dx dx
= y 2 [ ∫ ( 2 y ) y 2 dy + c ]
= y 2 [ 1 4 1 y + c ] = y 2 + cy 2 2 2
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。
这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。
方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。
例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。
然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。
此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。
方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。
它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。
对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。
我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。
将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
作
业
习 题 七 （P249） P249）
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
一阶常微分方程及解法
解法：
对于变量分离方程：
dy f (x)( y)
分离变量得： dx
dy f (x)dx
( y)
再积分，得：
dy
( y)
f
(x)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
C
注：在变量分离的过程中，必须保证 ( y) 0 。但如果( y) 0 有根为 y y0 ，
则不难验证 y y0 也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的 任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
常微分方程：自变量的个数只有一个的微 分方程。
微分方程的阶数：微分方程中出现的未知 函数最高阶导数的阶数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程 能使该方程成为恒等式，则称这个函数为 该微分方程的解。
通解：含有与微分方程的阶数同样个数的 独立任意常数的解。
特解：不含任意常数的解。
初始条件：给定微分方程中未知函数及其 导数在指定点的函数值的条件。
二、变量分离的微分方程
形如
dy f (x)( y)
dx
的方程，称为变量可分离
方程，其中 f (x) 和 (y) 分别是 x, y 的连续
函数。
以微分形式出现的变量分离方程，形如
M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0
一阶常微分方程及解法
——于海珠
微分方程的基本概念 几种特殊类型的一阶常微分方程及其解法 应用举例
例1.已知曲线y=y(x)在任意一点(x,y)处的切 线斜率等于4x，且曲线过点(1,3)，求曲线 方程。
一、基本概念
微分方程：联系着自变量、未知函数及其 导数（或微分）的关系式。
高等数学第十一章第十二节常系数线性微分方程组解法举例课件.ppt
第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;
第三步 把求出的函数代入原方程组 ,
注意: 一阶线性方程组的通解中,
任意常数的个数 = 未知函数个数
一般通过求导
得其它未知函数 .
如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数
的关系.
例1.
解微分方程组
①
②
解:
由②得
③
代入①, 化简得
特征方程:
通解:
④
将④代入③, 得
⑤
原方程通解:
注意:
1) 不能由①式求 y,
因为那将引入新的任意常数,
(它们受②式制约).
3) 若求方程组满足初始条件
的特解,
只需代入通解确定
即可.
2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
例2.
解微分方程组
解:
则方程组可表为
⑥
⑦
用代数方法 消元自作
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
即
其特征方程:
特征根:
记
记
⑧
代入⑧可得 A＝1,
故得⑧的通解:
⑨
求 x :
⑦×D－⑥得
⑩
⑨,2) 1 (3),(6); 2 (2), (4)
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程: ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时,得到dx x f y g dy)()(=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也就是方程的解。
例1、1、xy dxdy= 解:当0≠y 时,有xdx ydy=,两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然就是原方程的解;综上所述,原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时,可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=,两边积分可得结果; 当0)(0=y N 时,0y y =为原方程的解,当0(0=）x P 时,0x x =为原方程的解。
例1、2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解:当0)1)(1(22≠--y x 时,有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到)0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ,所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ;当0)1)(1(22=--y x 时,也就是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程:①、形如)(x yg dx dy = 解法:令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法:令by ax u +=,则b du adx dy +=,代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
一阶常微分方程
x A, dx 0,
t0
dtt0
C 1 A , C 2 0 .
所求特解为 xA ck o.ts
微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
可分离变量的微分方程:
dy f (x)g( y) dx
解
法
:
1 . g(y)0分 离 变 量 :1dyf(x)dx g(y)
解
y 0时，分离变量:
e ydy 1ey
e xdx ex 1
,
两 边 积 分 : le n y 1 ) ( le n x 1 ) ( lC n ,
即 所 求 通 解 为 (e x 1 )e y ( 1 ) C .
xydx(x21)dy0 例. 解初值问题
y(0)1
解: 分离变量得
dy y
设 y (x )是 方 程 ( 2 ) 的 一 个 特 解 ,
Y (x)是 (1)的 通 解 ,那么方程(2)的通解为
yYy .
设 y (x )是 方 程 ( 2 ) 的 一 个 特 解 ,
Y (x)是 (1)的 通 解 ,那么方程(2)的通解为
yYy .
y e P (x )d x [Q (x )eP (x )d x d x C ]
uxuu 1u2
分 离 变 量 ,并 积 分 得
ln (u 1 u 2) ln C ln x(C 0 )
将u y代入化简得, x y (x2y2)Cx2
(2). dy f (axbyc) 型方程 dx
作变换 zaxbyc
dz abdyabf(z)
dx
dx
例. 求方程 dy(x y)2 的通解
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d 2 y1 dy1 即 2 y1 = 0 ， dx 2 dx
特征方程为 r 2 r 2 = 0 ， r1 = 1 ， r2 = 2 ，
∴ y1 = c1e x + c 2 e 2 x ，
y2 = c3e 2 x ，
dy1 y3 = + 2 y1 y2 dx
= c1e
x
+ 2c 2 e
dy = cos x + 2sin x 2 , dx
d2y
dy dz 即 cos x 2 = 2sin x ， dx dx
∴ d y
2
dx 2 dy = 2cos x + = 2sin x + C1 x + C 2 ，
z = sin x 2( 2sin x + C1 x + C 2 ) ( 2cos x + C1 )
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
一阶线性微分方程组
dy1 dx = a11 ( x ) y1 + a12 ( x ) y2 +L+ a1n ( x ) yn + g1 ( x ) dy 2 = a21 ( x ) y1 + a22 ( x ) y2 +L+ a2n ( x ) yn + g2 ( x ) (1) dx LL dyn = an1 ( x ) y1 + an2 ( x ) y2 +L+ ann ( x ) yn + gn ( x ) dx
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1 dx = f1 ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dy 2 = f 2 ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dx L dyn = f n ( x , y1 , y2 ,L, yn ) dx
= 3sin x 2cos x 2C1 x ( 2C 2 + C1 ) 。
dy1 dx = 2 y1 + y2 + y3 dy 2 的通解。 例 2．求微分方程组 的通解。 = 2 y2 dx dy3 = 4 y + y + 3 y 1 2 3 dx
dy1 dy2 dy3 dy1 解： = 2 + + = 2 4 y1 + 3 y2 + 3 y3 2 dx dx dx dx dx dy1 dy1 dy1 = 2 4 y1 + 3( + 2 y1 ) = + 2 y1 ， dx dx dx d 2 y1
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
消元法— 4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
dy dx = sin x 2 y z 的通解。 例 1．求微分方程组 ． 的通解。 dz = cos x + 4 y + 2 z dx
dy dz 解：对第一个方程求导，得 对第一个方程求导， = cos x 2 ， dx dx dx 2 dy 由第一个方程得 z = sin x 2 y ， dx dz dy 代入第二个方程， 代入第二个方程 ， 得 = cos x + 4 y + 2(sin x 2 y ) dx dx
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。