上海金山区教师进修学院附属中学数学全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．（1）问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明

△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

（2）探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，

且∠EAF＝1

2

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）结论应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

（4）能力提高：

如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且

∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．

【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】

试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得

EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△AD G，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作

∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．

解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．

证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，

在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．

又∵∠EAF＝1

2

∠BAD，

∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－1

2

∠BAD＝

1

2

∠BAD，

∴∠EAF＝∠GAF．

在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．

又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．

∴EF＝BE＋FD．

（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，

∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝1

2

∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．

∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.

答：此时两舰艇之间的距离为210海里；

（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，

在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，

则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，

∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，

∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，

又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，

∴对于四边形AMCD符合探索延伸，

则ND=MN，

∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，

∴MN=ND=10．

2．已知,如图A在x轴负半轴上，B（0，-4），点E（-6,4）在射线BA上，

(1) 求证：点A为BE的中点

(2) 在y轴正半轴上有一点F, 使∠FEA=45°，求点F的坐标.

(3) 如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，MN=NB=MA，点I为△MON的内角平分线的交点，AI、BI分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点, IH⊥ON于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.

【答案】（1）证明见解析；（2）

22

(0,)

7

F；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，根据B、E点的坐标，可证明△AEG≌△ABO，从而根据全等三角形的性质得证；

（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，然后根据全等三角形的判定得到△AEG≌△DAK，进而求出D点的坐标，然后设F坐标为（0，y），根据S梯形EGKD=S梯形EGOF

+S

梯形FOKD

可求出F的坐标；

（3）连接MI、NI，根据全等三角形的判定SAS证得△MIN≌△MIA，从而得到

∠MIN=∠MIA和∠MIN=∠NIB，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI，作IS⊥OM于S, 再次证明△HIP≌△SIC和△QIP≌△QIC，得到C△POQ周长.

试题解析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，

∵B（0，-4），E（-6,4），∴OB=EG=4，

在△AEG和△ABO中，

∵

90

EGA BOA

EAG BAO

EG BO

∠=∠=︒

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB

∴A为BE中点

（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，

过D作DK⊥x轴于K，

∵∠FEA=45°，∴AE=AD，

∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），

设F（0，y），

∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，

∴()()()

111

347463

222

y y

+⨯=+⨯++

∴22

7

y=

∴

22

0,

7

F

⎛⎫

⎪

⎝⎭