椭圆教案(教师版)
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x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
图 形
参数关系 性 焦点 焦距 范围
a 2 b2 c2
F1 (c, 0), F2 (c, 0)
2c
F1 (0, c), F2 (0, c)
质
x a, y b
y a, x b
第 1 页 共 20 页
每天进步一点点
顶点 焦半径 对称性 通径
(a, 0), (a, 0), (0, b), (0, b)
PF1 a ex0 , PF2 a ex0
关于 x 轴、 y 轴和原点对称
(0, a ), (0, a ), (b, 0), (b, 0)
PF1 a ey0 , PF2 a ey0
F PF 1 PF1 PF2 sin F1 PF2 b 2 tan 1 2 2 2
(定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l
e(0 e 1) 的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
a
2
b
2
x0 y0 k AB 0 。 a 2 b2
焦点在 y 轴上时： k AB kOM
（1）焦点在 x 轴上时： k AB kOM
b2 ； a2
a2 b2
（2）弦长： l 1 k
三、 基础知识
1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和为常数 2a (2a F1 F2 ) 的动点 P 的轨迹叫 椭圆,其中两个定点 F1 、 F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹为 以 F1 、 F2 为端点的线段 （注意：利用余弦定理,常考利用 F1 F2 ， PF1 ， PF2 构造三角形的三边关系） 焦点三角形的面积： S PF1F 2
2 2
第 2 页 共 20 页
每天进步一点点
x2 y 2 给出椭圆方程 1 时，椭圆的焦点在 x 轴上⇔ m n 0 ；椭圆的焦点在 y 轴上⇔ m n
0 m n。
两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a 、b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定 关于 a、b、c 的方程组，解出 a 、b ，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距 离，且最大距离为 a c ，最小距离为 a c . (2)求椭圆离心率 e 时，只要求出 a, b, c 的一个齐次方程，再结合 b a c 就可求得 e(0 e 1)
每天进步一点点
第 19 讲：椭 圆
一、 教学目标
通过本节的学习理解椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程，知道椭圆的有关几何性质，能利用 椭圆的概念、标准方程和几何性质解决相关问题并进一步理解坐标思想。
二、 教学重难点
重点ห้องสมุดไป่ตู้了解椭圆的标准方程及其几何性质、进一步理解坐标法； 难点：椭圆的标准方程的推导与化简及求离心率。
2
x1 x2 1
1 y1 y2 k2
（3）直线 AB 的直线方程： y y0
b 2 x0 ( x x0 ) a 2 y0
a 2 y0 （4）直线 AB 的垂直平分线方程： y y0 2 ( x x0 ) b x0
一条规律： 椭圆焦点位置与 x , y 系数间的关系：
的一点，且 PF1 PF2 ，若△ PF1 F2 的面积为 9 ，则 b ________。 → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1⊥PF2，进而得 解． → → 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1||PF2|＝ ×2b2＝b2＝9. 2 2 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其 周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴b＝3.
2b 2 a
离心率
e
c b2 1 2 (0,1) a a
a2 c y a2 c
准线
x
x2 y 2 3、点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆 2 2 1( a b 0) 的位置关系: a b
当
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 P P 时 , 点 在椭圆外 ; 当 时 , 点 在椭圆内 ; 当 1 1 1 时,点 P 在椭圆 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
上; 4、点差法（中点弦公式） 设 A x1 , y1 、 B x2 , y2 ， M x0 , y0 为椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的弦 AB 中点则有 a 2 b2
x12 x2 2 y12 y2 2 x12 y12 x2 2 y2 2 0 1 ， 2 2 1 ；两式相减得 a2 b2 a 2 b2 a b
2 2 2 2 2 2 2
． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在 原点；②对称轴是否为坐标轴．
四、 典型例题 考点 1、椭圆定义的应用 例 1、(2011·青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上 a 2 b2
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
图 形
参数关系 性 焦点 焦距 范围
a 2 b2 c2
F1 (c, 0), F2 (c, 0)
2c
F1 (0, c), F2 (0, c)
质
x a, y b
y a, x b
第 1 页 共 20 页
每天进步一点点
顶点 焦半径 对称性 通径
(a, 0), (a, 0), (0, b), (0, b)
PF1 a ex0 , PF2 a ex0
关于 x 轴、 y 轴和原点对称
(0, a ), (0, a ), (b, 0), (b, 0)
PF1 a ey0 , PF2 a ey0
F PF 1 PF1 PF2 sin F1 PF2 b 2 tan 1 2 2 2
(定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l
e(0 e 1) 的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
a
2
b
2
x0 y0 k AB 0 。 a 2 b2
焦点在 y 轴上时： k AB kOM
（1）焦点在 x 轴上时： k AB kOM
b2 ； a2
a2 b2
（2）弦长： l 1 k
三、 基础知识
1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和为常数 2a (2a F1 F2 ) 的动点 P 的轨迹叫 椭圆,其中两个定点 F1 、 F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 PF2 2a F1 F2 时, P 的轨迹为 以 F1 、 F2 为端点的线段 （注意：利用余弦定理,常考利用 F1 F2 ， PF1 ， PF2 构造三角形的三边关系） 焦点三角形的面积： S PF1F 2
2 2
第 2 页 共 20 页
每天进步一点点
x2 y 2 给出椭圆方程 1 时，椭圆的焦点在 x 轴上⇔ m n 0 ；椭圆的焦点在 y 轴上⇔ m n
0 m n。
两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a 、b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定 关于 a、b、c 的方程组，解出 a 、b ，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距 离，且最大距离为 a c ，最小距离为 a c . (2)求椭圆离心率 e 时，只要求出 a, b, c 的一个齐次方程，再结合 b a c 就可求得 e(0 e 1)
每天进步一点点
第 19 讲：椭 圆
一、 教学目标
通过本节的学习理解椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程，知道椭圆的有关几何性质，能利用 椭圆的概念、标准方程和几何性质解决相关问题并进一步理解坐标思想。
二、 教学重难点
重点ห้องสมุดไป่ตู้了解椭圆的标准方程及其几何性质、进一步理解坐标法； 难点：椭圆的标准方程的推导与化简及求离心率。
2
x1 x2 1
1 y1 y2 k2
（3）直线 AB 的直线方程： y y0
b 2 x0 ( x x0 ) a 2 y0
a 2 y0 （4）直线 AB 的垂直平分线方程： y y0 2 ( x x0 ) b x0
一条规律： 椭圆焦点位置与 x , y 系数间的关系：
的一点，且 PF1 PF2 ，若△ PF1 F2 的面积为 9 ，则 b ________。 → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1⊥PF2，进而得 解． → → 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1||PF2|＝ ×2b2＝b2＝9. 2 2 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其 周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴b＝3.
2b 2 a
离心率
e
c b2 1 2 (0,1) a a
a2 c y a2 c
准线
x
x2 y 2 3、点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆 2 2 1( a b 0) 的位置关系: a b
当
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 P P 时 , 点 在椭圆外 ; 当 时 , 点 在椭圆内 ; 当 1 1 1 时,点 P 在椭圆 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
上; 4、点差法（中点弦公式） 设 A x1 , y1 、 B x2 , y2 ， M x0 , y0 为椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的弦 AB 中点则有 a 2 b2
x12 x2 2 y12 y2 2 x12 y12 x2 2 y2 2 0 1 ， 2 2 1 ；两式相减得 a2 b2 a 2 b2 a b
2 2 2 2 2 2 2
． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在 原点；②对称轴是否为坐标轴．
四、 典型例题 考点 1、椭圆定义的应用 例 1、(2011·青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上 a 2 b2