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（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案

高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

高等数学修订本课后练习题含答案

高等数学修订本课后练习题含答案引言高等数学是理工科学生必修的一门学科，对于很多学生来说，高等数学课程的难度不亚于其他专业课。

因此，练习题的重要性不言而喻。

在完成课堂内容的同时，课后的练习题可以巩固知识点，提高解题能力和独立思考能力。

但是，练习题数量越来越多，难度逐渐增加，不同章节、不同难度的练习还需要对应的答案进行参考。

高等数学修订本课后练习题含答案为大家提供了相对全面的参考和解答。

修订本练习内容本文所提供的练习题及答案均来自《高等数学修订版》一书。

该书覆盖了高等数学的大部分内容，包括函数、极限、连续、导数、微分、积分、微分方程等知识点，每章节末尾都配有对应的练习题和答案。

此外，本文还涵盖了一定数量的真实考试试题和典型例题，方便读者进行系统性的练习和模拟测试。

练习题的数量和难度设置适宜，既包含了基础知识的练习，又包含了拓展性、深入性的思考题，能够满足不同层次的读者需求。

修订本答案形式《高等数学修订版》的课后练习题虽然涵盖了很详细的答案解析，但是其答案形式可能单一、过于抽象，不利于学生掌握和运用。

为了更好地解决这个问题，本文提供了大量的答案解析和详细的步骤证明，增强了答案的可读性和灵活性，方便读者更好地理解、消化练习内容。

此外，本文还附带了一些解题技巧和注意事项，帮助读者更好地解决各种难题和疑难点。

同时，基于本文的题集和答案解析还可以配合一些在线答题系统进行练习，更利于读者灵活应用和掌握知识。

结语本文提供的高等数学修订本课后练习题含答案和答案解析是针对该课程的全面性、系统性的思考和设计，旨在为读者提供一种更加便捷、灵活、实用的学习和练习方式。

同时，本文还强调了练习题的重要性和实用性，希望读者在学习高等数学过程中多加练习，消化和掌握知识，提高解题能力和技巧。

新版高等数学教材答案

新版高等数学教材答案在新版高等数学教材中，有很多难题和复杂的数学理论需要学生深入理解和掌握。

为了帮助学生更好地学习和掌握高等数学知识，答案是必不可少的工具之一。

下面是我整理的一些高等数学教材答案，希望对广大学生有所帮助。

第一章：函数与极限1. 函数极限的概念和性质2. 常见函数的极限计算3. 极限的四则运算法则4. 极限存在准则第二章：导数与微分1. 导数的定义和性质2. 常见函数的导数计算3. 高阶导数与隐函数导数计算4. 微分的概念及其应用第三章：中值定理与导数应用1. 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理2. 柯西中值定理和达布中值定理3. 费马引理和罗尔定理的推广4. 高阶导数的应用第四章：不定积分与定积分1. 基本积分表与不定积分2. 常用换元法和分部积分法3. 定积分的概念和性质4. 牛顿—莱布尼茨公式和换元法在定积分中的应用第五章：曲线与曲面积分1. 曲线积分的概念和性质2. Green公式和高斯公式3. 曲面积分的概念和性质4. 斯托克斯公式和格林公式的推广第六章：无穷级数1. 数列极限的概念和性质2. 数列极限判定法3. 无穷级数的概念和性质4. 常见无穷级数的求和计算第七章：多元函数微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 方向导数和梯度4. 隐函数存在定理第八章：多元函数积分学1. 二重积分的概念和性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念和性质4. 三重积分的计算方法和应用第九章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法3. n阶常微分方程的解法4. 常微分方程的应用这些是新版高等数学教材中的一些题目的答案，每章的内容都有所涉及。

希望对学生们在学习高等数学过程中有所帮助，更好地理解和掌握数学知识。

当然，答案只是辅助学习工具，学生还需进行适当的思考和练习，从而更好地提升自己的数学能力。

通过对高等数学教材答案的整理和提供，希望能够为广大学生提供一个辅助学习的工具，使学习高等数学变得更加轻松和高效。

高数第七版习题答案

高数第七版习题答案高等数学第七版的习题答案涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个数学领域，下面是一些常见习题的解答示例，以供参考：# 第一章：极限与连续性习题1：求函数 $ f(x) = x^2 - 1 $ 在 $ x = 1 $ 处的左极限和右极限。

解答：左极限 $ \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0 $右极限 $ \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0 $由于左极限和右极限相等，函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的极限存在，且等于0。

# 第二章：导数与微分习题3：求函数 $ g(x) = \sin(x) + x^3 $ 的导数。

解答：$ g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + x^3) = \cos(x) + 3x^2 $# 第三章：积分学习题5：计算定积分 $ \int_{0}^{1} 2x \, dx $。

解答：$ \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 -0^2 = 1 $# 第四章：级数习题7：判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 是否收敛。

解答：该级数是交错级数，可以使用比较判别法。

由于 $ \frac{1}{n^2} $ 随着 $ n $ 的增大而减小，且 $ \frac{1}{n^2} \leq\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $，而$ \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) $ 是收敛的，因此原级数也收敛。

# 第五章：多元函数微分学习题9：求函数 $ h(x, y) = xy^2 + \ln(x) $ 的偏导数。

《高等数学(二)》作业及参考答案

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为。

(word完整版)高等数学习题集及答案

D.同阶但非等价的的无穷小
1,1],且是单调递减的是【】
B.y arccosx
D.y arccot x
若数列收敛，则极限唯一
若函数f (x)在x x0处的左右极限都存在，则
当变量x 0时，与x2等价的无穷小量是
B.1 cos2x
A .sinx
x1是函数f (x)
A.无穷间断点
C.跳跃间断点
下列命题正确的是
当x→0时,
A.无穷பைடு நூலகம்量
x 0是函数
连续点
设数列的通项
A. xn发散
2极限limxx1
A.若f (x0) A，
C.
f (x)在此点处的极限存在
】
ln 1 x2
D.
e2x1
x 2的
x1
】.
B.
D.
可去间断点
连续点
】
lim f(x)
x x0
C.若lim f (x)存在，则极限唯一x x0
B.
D.
若lim f (x) A，则
x x0
以上说法都不正确
f (x0) A
当变量x 0时，与x2等价的无穷小量是
A.连续点
f (x)
B.
C.
3
x
D.
2的x2x 2可去间断点
x 2是函数f (x)
A.连续点
3
xx
2
x2x 2
B.可去间断点
x 2是函数f (x)
x24
x2x 2
若{un}有界，若{un}收敛，
{un}收敛
{un}有界
若{un}无界，若{un}单调有界，则{un}收敛
{un}发散
e3
C.无穷间断点

(完整版)高等数学课后习题答案-20211108152903

高等数学课后习题答案第一部分：导数与微分1. 题目：求函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。

解答思路：我们需要求出函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $。

根据导数的定义，我们可以通过对函数进行求导来得到导数表达式。

然后，将 $ x = 2 $ 代入导数表达式中，即可得到 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ f(x) $ 进行求导，得到 $ f'(x) $ 的表达式。

将 $ x = 2 $ 代入 $ f'(x) $，得到 $ f'(2) $ 的值。

2. 题目：求函数 $ g(x) = e^x \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处的导数。

解答思路：同样地，我们需要求出函数 $ g(x) $ 的导数 $ g'(x) $。

由于 $ g(x) $ 是两个函数的乘积，我们需要使用乘积法则来求导。

然后，将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，即可得到 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ g(x) $ 使用乘积法则求导，得到 $ g'(x) $ 的表达式。

将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，得到 $ g'(0) $ 的值。

3. 题目：求函数 $ h(x) = \frac{x^2 1}{x + 1} $ 在 $ x =0 $ 处的导数。

解答思路：对于这个题目，我们需要使用商法则来求导。

我们需要求出函数 $ h(x) $ 的导数 $ h'(x) $。

然后，将 $ x = 0 $ 代入$ h'(x) $，即可得到 $ h(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。

具体步骤如下：对 $ h(x) $ 使用商法则求导，得到 $ h'(x) $ 的表达式。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算x f x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

高等数学教材新版答案

高等数学教材新版答案【前言】高等数学是大学教育中必不可少的一门基础课程，它关系到学生对数学思维和解题方法的培养。

而教材则是学生学习的主要参考资料。

新版高等数学教材的问世，为学生提供了更全面、深入的学习内容。

然而，在学习过程中，许多学生会遇到一些难题，而答案的准确性和可靠性就显得非常重要。

本篇文章将为大家提供一份新版高等数学教材的答案，以帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

【第一章微分学】1. 选择题：1) A2) B3) C4) D5) A2. 填空题：1) lim(x→2) (x^2 - 4) = 02) f'(x) = 3x^2 - 6x3) dy/dx = 1/(2x - 1)4) ∫(e^x)/(1 + e^x) dx = x - ln(1 + e^x) + C5) f(x) = e^(ax), f''(x) = a^2e^(ax)3. 计算题：1) ∫(x^2 - 4x + 3) dx = x^3/3 - 2x^2 + 3x + C2) 求函数f(x) = 3x^2 - 6x的极值点和极值。

解：f'(x) = 6x - 6，令f'(x) = 0，得极值点x = 1。

由f''(x) = 6 > 0，可知x = 1是极小值点，极小值为f(1) = -3。

【第二章重积分与曲线积分】1. 选择题：1) D2) B3) C4) A5) D2. 填空题：1) ∬(x^2 + y^2) dxdy = πa^4/22) ∬(x^2 + y^2)dA在D区域内的积分，D为圆心在原点，半径为a 的圆，积分结果为πa^4/2。

3) ∮(x^2 + y^2)ds = 2πa^34) 曲线积分∮(y^2 + z^2)ds，其中C为平面上的一条光滑闭合曲线，积分结果为0。

5) 曲面积分∬(x^2 + y^2) dS，其中S为平面上的光滑曲面，积分结果为0。

高等数学(第三版)各章实验作业题答案

1. 作出函数[]53()3123,2,2f x x x x x =+-+∈-的图像．第1题图2. 求下列各极限．（1）1lim 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭; （2）sin lim x x x →∞;（3）0sin lim x x x →; （4）10lim x x e +→．解（1）11lim 1enn n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）sin lim 0x x x →∞=；（3）0sin lim 1x xx →=；（4）12lim e x x e →3. 求方程20.2 1.70x x --=的近似解（精确到0.0001）．解 1 1.2077x ≈-，2 1.4077x ≈． 4. 探究高级计算器的其他功能．（略）1. 求函数3(21)y x x =-的导数；操作：在命令窗口中输入：>> syms xy=x^3*(2*x -1); dy=diff(y) 按Enter 键，显示：dy = 3*x^2*(2*x -1)+2*x^3 继续输入：>> simplify(dy) % 将导数化简按Enter 键，显示： ans =8*x^3-3*x^2即 3283y x x '=-． 2. 求函数()ln 1y x x =-+的二阶导数；操作：在命令窗口中输入： >> syms xy=1-log(1+x); dy=diff(y,x,2) 按Enter 键，显示： dy = 1/(1+x)^2即 21(1)y x ''=+． 3.函数4322341y x x x x =-+-+在区间[-3,2]上的最小值．操作：在命令窗口中输入：>>x=fminbnd('x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1',-3,2) y=x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1 按Enter 键，显示： x =1 y =-11．求下列不定积分（1）在命令窗口中输入： >> syms xint(x/(sqrt(x^2+1)),x)按键Enter 键，显示结果： ans = (x^2+1)^(1/2)即c +.（2）在命令窗口中输入： >> syms xint(x^3*cos(x))按键Enter 键，显示结果：ans =x^3*sin(x)+3*x^2*cos(x)-6*cos(x)-6*x*sin(x) 即332cos =sin 3cos 6cos 6sin x xdx x x x x x x x c +--+⎰. 2．求下列定积分（1）在命令窗口中输入： >> int((-3*x+2)^10,x,0,1) 点击Enter 键，显示结果： ans = 683/11 即1100683(-3+2)d =11x x ⎰. （2）在命令窗口中输入： >> int(x*sin(x),x,0,pi/2)点击Enter 键，显示结果： ans = 1 即 π20sin d =1x x x ⎰.3．求广义积分0e d x x x -∞⎰.操作：在命令窗口中输入： >>int(x*exp(x),x,-inf,0)按Enter 键，显示结果： ans =-1 即e d =1xx x -∞-⎰.1. 230y y y '''++=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -4*Dy -5*y=0','x') 显示：y =C1*exp(5*x)+C2*exp(-x)即满足所给初始条件的特解为：512xx y c e c e -=-．2. 232sin xy y e x '''-=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -3*Dy=2*exp(3*x)*sin(x)','x') 显示：y = -3/5*exp(3*x)*cos(x)-1/5*exp(3*x)*sin(x)+1/3*exp(x)^3*C1+C2即满足所给初始条件的特解为：33312311cos sin 553xxxy e x e x c e c =--++．整理得：33213cos +sin 5xxy e x x ce c =-++（）（令113c c =）3. +cos x y y y e x '''+=+，00x y ==，032x y ='=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y+Dy+y=exp(x)+cos(x)','y(0)=0', 'Dy(0)=3/2', 'x') 显示：y = -1/3*exp(-1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)+1/3*exp(x)+sin(x)即满足所给初始条件的特解为：211cos()sin 323x xy e e x -=-++．1. 绘制平面曲线ln y x =．操作：在命令窗口中输入： >> x=1:0.02: exp(2); y=log(x); plot(x,y);按Enter 键，显示下图：2. 绘制空间曲面2232z x y =-. 操作：在命令窗口输入 >>[x,y]=meshgrid(-4:0.5:4); z=-3*x.^2-2*y.^2; surf(x,y,z)按Enter 键，显示下图：3. 绘制空间曲线23,23.t t t x e y e z e ---⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩操作：在命令窗口输入>>t=0:0.01:1;x=exp(-t);y=exp(-2*t)/4;z=3*exp(-3*t)/9;plot3(x,y,z)按Enter键，显示下图：实验6作业题1. 求函数cos z xy =的偏导数. 操作：在命令窗口中输入：>> dz_dx=diff('cos(x*y)', 'x ') 显示dz_dx = -sin(x*y)*y 继续输入：>> dz_dy=diff('cos(x*y)', 'y ') 显示：dz_dy =-sin(x*y)*x即sin zx xy x∂=-∂， sin z x xy y ∂=-∂2. 计算函数23y x y =-的极值.操作：在matlab 中依次选择“File\New\M -File ”，在弹出的M 文件编辑窗口中在命令窗口中输入：clear all;clc syms x y;z=x^3-6*x-y^3+3*y;dz_dx=diff(z,x); %计算z 对x 的偏导数 dz_dy=diff(z,y); %计算z 对y 的偏导数 [x0,y0]=solve(dz_dx,dz_dy); %求驻点x0,y0A_=diff(z,x,2); %计算z 对x 的二阶偏导数B_=diff(diff(z,x),y); %计算z 对x,y 的二阶混合偏导数 C_=diff(z,y,2); %计算z 对y 的二阶偏导数 x0=double(x0); %数据转换 y0=double(y0);n=length(x0); %计算x0中元素的个数 for i=1:nA_x=subs(A_, x,x0(i)); %把x=x0(i)(即x0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数A=subs(A_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)(即y0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数,得到AB_x=subs(B_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对x 、y 的二阶混合偏导数 B=subs(B_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入二阶混合偏导数,得到B C_x=subs(C_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对y 的二阶偏导数C=subs(C_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入z 对y 的二阶偏导数，得到C D=A*C-B^2;text=['原函数在(',num2str(x0(i)), ', ',num2str(y0(i)), ')处' ]; if D>0fm=subs(x^3-6*x-y^3+3*y,{x,y},{x0(i),y0(i)}); %求函数值 if A>0disp([text, '有极小值',num2str(fm)]) %在命令窗口中输出 elsedisp([text, '有极大值',num2str(fm)])end end if D==0disp([text, '的极值情况还不确定，还需另作讨论' ]) end end保存后，选择M 文件编辑窗口中的“Debug\run ”，显示如下结果：原函数在(1.4142,-1)处有极小值-7.6569 原函数在(-1.4142,1)处有极大值7.65693. 计算(2)d d Dx y x y -⎰⎰，D ：顶点分别为(0,0)，(1,1)和(0,1)的三角形闭区域；操作：在命令窗口中输入： >>syms x y;S=int(int(2*x-y,y,0,1-x),x,0,1) 显示： S=1/6即：二重积分1(2)d d =6Dx y x y -⎰⎰.实验7作业题1. 将函数xx f -=11)(展开为幂级数，写出展开至6次幂项. 操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x; f=1/(1-2*x); taylor(f,7,x) 显示：ans = 1+2*x+4*x^2+8*x^3+16*x^4+32*x^5+64*x^6即65432643216842111x x x x x x x ++++++=-. 2. 求函数2()tf t e =的拉氏变换.操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x;laplace(exp(2*t)) 显示： ans = 1/(s -2)即 21)(2-=s e L t. 3.求函数22()56s F s s s +=-+的拉氏逆变换.操作：在命令窗口中输入： >>syms silaplace((s+2)/(s^2-5*s+6)) 显示：ans =-4*exp(2*t)+5*exp(3*t)即 12256s L s s -+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦234e 5e t t =-+.。

(完整版)高等数学课程作业答案

高等数学(1)课程作业_A1.(4分)图片201• C. (C)答案C2.(4分)图片126答案B3.(4分)图片63 答案B4.(4分)图片433 答案A5.(4分)图片2-2 答案B6.(4分)图片366答案A7.(4分)图片337答案D8.(4分)图片499答案C9.(4分)图片265答案C10.答案B11.(4分)图片339• D. (D) 答案D 12.(4分)图片476答案D 13.答案B14.(4分)图片173 答案B15.(4分)图片158• B. (B) 答案B16.• A. (A) 答案A 17.(4分)图片2• D. (D) 答案D 18.(4分)图片3-7 答案C 19.答案C20.(4分)图片153• C. (C) 答案C21.(4分)图片228 • C. (C) 答案C22.答案D 23.(4分)图片68 • C. (C) 答案C24.(4分)图片429 答案B(4分)图片553• B. (B) 答案B1.(4分)图片145答案B2.(4分)图片87 • A. (A) 答案A(4分)图片390答案B4.(4分)图片514答案C5.(4分)图片47 答案B6.(4分)图片3-147.(4分)图片475答案B8.(4分)图片181 答案C9.(4分)图片371答案A10.(4分)图片40711.(4分)图片557答案C12.(4分)图片4-4 答案C13.(4分)图片35答案B14.(4分)图片4-30答案C15.(4分)图片114答案B16.(4分)图片48答案C17.(4分)图片474 答案D 18.(4分)图片3-3 答案D 19.(4分)图片3-4•答案A20.答案D 21.(4分)图片72答案C22.(4分)图片173 答案B23.答案B24.(4分)图片479答案C25.(4分)图片482答案D高等数学(1)课程作业_A一单选题1. 图片234标准答案：(B)2. 图片4-10标准答案：(A)3. 图片475标准答案：(B)4. 图片3-5标准答案：(D)5. 图片235标准答案：(A)6. 图片59标准答案：(B)7. 图片4-15用户未作答标准答案：(D)8. 图片48标准答案：(C)9. 图片304标准答案：(B)10. 图片372标准答案：(C)11. 图片339标准答案：(D)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片2-7标准答案：(C) 14. 图片401标准答案：(D)15. 图片257标准答案：(D)16. 图片407标准答案：(B)17. 图片4-3标准答案：(D)18. 图片4-6标准答案：(D)19. 图片4-8标准答案：(C)20. 图片441标准答案：(D)21. 图片2-4标准答案：(A)22. 图片179标准答案：(D)23. 图片4-12标准答案：(C)24. 图片476标准答案：(D)25. 图片346标准答案：(D)1. 图片4-24标准答案：(C)2. 图片4-12标准答案：(C)3. 图片2-8标准答案：(B)标准答案：(A)5. 图片4-28标准答案：(C)6. 图片372标准答案：(C)7. 图片4标准答案：(A)8. 图片3-1标准答案：(B)9. 图片349标准答案：(D)10. 图片228标准答案：(C)11. 图片520标准答案：(B)12. 图片144标准答案：(D)13. 图片155标准答案：(B)14. 图片101标准答案：(D)15. 图片234标准答案：(B)16. 图片2-9标准答案：(C)17. 图片151标准答案：(A)18. 图片61标准答案：(D)标准答案：(D)20. 图片434标准答案：(A)21. 图片442标准答案：(A)22. 图片476标准答案：(D)23. 图片119标准答案：(D)24. 图片4-17标准答案：(B)25. 图片242标准答案：(C)1. 图片151标准答案：(A)2. 图片4-5标准答案：(A)3. 图片33标准答案：(D)4. 图片4-21标准答案：(A)5. 图片481标准答案：(D)6. 图片3-11标准答案：(B) 7. 图片4-8标准答案：(C)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片476标准答案：(D)10. 图片171标准答案：(B)11. 图片214标准答案：(A)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片46标准答案：(A)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片3-14标准答案：(B)16. 图片122标准答案：(C)17. 图片48标准答案：(C)18. 图片2-1标准答案：(A)19. 图片234标准答案：(B)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片441标准答案：(D)标准答案：(C)23. 图片4-30标准答案：(C)24. 图片155标准答案：(B)25. 图片235标准答案：(A)1. 图片234标准答案：(B) 2. 图片2-8用户未作答标准答案：(B) 3. 图片180标准答案：(A) 4. 图片188标准答案：(D) 5. 图片4-6标准答案：(D) 6. 图片119标准答案：(D) 7. 图片4-29标准答案：(A)用户未作答标准答案：(A) 9. 图片307标准答案：(C) 10. 图片124标准答案：(A) 11. 图片4-23本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 12. 图片402标准答案：(D) 13. 图片4-26标准答案：(D) 14. 图片64标准答案：(C) 15. 图片476标准答案：(D) 16. 图片70标准答案：(A) 17. 图片4-16标准答案：(C) 18. 图片257标准答案：(D) 19. 图片3-15标准答案：(A) 20. 图片3-1标准答案：(B) 21. 图片214标准答案：(A) 22. 图片475标准答案：(B) 23. 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图片307(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 7. 图片372(A)(B)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 8. 图片4(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 9. 图片4-21(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 10. 图片214(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 11. 图片226标准答案：(D) 12. 图片4-12(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 13. 图片48(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 14. 图片441本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D)15. 图片498标准答案：(D)16. 图片124用户未作答标准答案：(A)17. 图片402标准答案：(D)18. 图片70标准答案：(A) 19. 图片485标准答案：(A)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片523标准答案：(C)22. 图片3-1标准答案：(B) 23. 图片339标准答案：(D)24. 图片4-14标准答案：(B)25. 图片4-3标准答案：(D)1. 图片61标准答案：(D)2. 图片4-15标准答案：(D)3. 图片498标准答案：(D)4. 图片4-22标准答案：(D) 5. 图片229标准答案：(A)6. 图片4-23标准答案：(C) 7. 图片3-4标准答案：(A)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片70标准答案：(A) 10. 图片434标准答案：(A) 11. 图片349标准答案：(D) 12. 图片119标准答案：(D)13. 图片101标准答案：(D)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片4-16标准答案：(C)16. 图片523标准答案：(C)17. 图片212标准答案：(B) 18. 图片151标准答案：(A)19. 图片4-7标准答案：(A) 20. 图片214标准答案：(A)21. 图片304标准答案：(B) 22. 图片4-30标准答案：(C)23. 图片4-20标准答案：(B)24. 图片520标准答案：(B)25. 图片188标准答案：(D)1.(4分)图片49答案D2.(4分)图片43 答案B3.(4分)图片484答案B4.(4分)图片90答案B5.答案D6.(4分)图片182A7.(4分)图片3-8 答案D8.(4分)图片4-26 答案D9.答案D 10.(4分)图片520 答案B11.(4分)图片557答案C12.答案B13.(4分)图片141答案C14.(4分)图片475答案B15.。

《高等数学》(下)习题参考答案

《高等数学》（下）习题参考答案第七章空间解析几何与矢量代数习题一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--；3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆，圆柱面； 5．2340x y z --+=．二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C三、1.u =11232.cos cos cos 22343πππαβγαβγ=-=====；3.4-；4.32550x y z +-+=；5.3πθ=； 6.P r j βα=；7.2OABS ∆= 2228.9x y z ++=； 222289.0x x y z ⎧-+=⎨=⎩； 10．⎪⎭⎫ ⎝⎛--8343,8356,83273； 11.0x y z -+=．第八章多元函数微分学习题一一、 1、yyx +-112； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A三、 111ln ln ln z z z z y y z y z uuuy x x y z x x y x y xyz--∂∂∂===∂∂∂、 2、)ln (1z x y z y x x u x z y +=∂∂-，)ln (1z x y z y x yux z y +=∂∂-，)ln (1y z x z y x z u x z y +=∂∂-2222222222222222223z xy z xy x x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+、（）（）（）4、xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5、dy dx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、2242232f y x f y x ''+'； 3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x y x -+； 5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、1、C ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C 三、 1、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂ 3、212f x f y x z '+'=∂∂，22122211124)(2f xy f y x f xy f yx z''-''-+''+'=∂∂∂ 6、)()(1)](1)[(v g u f v g u f x z ''+'+'=∂∂，)()(1)](1)[(v g u f v g u f y z ''+'+'-=∂∂ 7、2222111133332sin cos 2cos x y x y x y zf x f x e f x f e e f x+++∂''''''''=-⋅+⋅+⋅+⋅+∂； 332232313122sin cos sin cos f e f y e f e f x e y x f y x zy x y x y x y x ''+''⋅-'+''⋅+''-=∂∂∂++++ 8、2222222222222222222221213394133u u u u u u u x x u u u u u u u y y u u u u x y ζηζζηηζηζζηηζζηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂ 习题三一、12121281610148x y z x y z ---==-+-=-2、042=-+y x ，2112zy x =-=-3.1+4.326i j k --5.(3,2)大 36二、1. 2. 3. 4. 5.B D A C C 三、(1,2)2zl∂=∂、13(,1)2-、极小值2e-2433p p 、22222222221212121251122022020x y zx y z x y z z x y x y z F x y z x y z z x y x y z F x x F y y F z x λλλλλλλλ=++=+++==+++--+++-=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩2、设椭圆上点为（x，y，z），则原点到椭圆上这点的距离平方为d ，其中，，满足和令（，，）（）（）==11求解方程，最长距离为d d 6、在点)1,1(-处有极小值：-2；极大值：6．第九章重积分习题一一、1.()2aba b + 2、⎰⎰e ey dx y x f dy ),(10；3、)1(214--e ；4、1210cos sin (cos ,sin )d f d πθθθρθρθρρ+⎰⎰；5、⎰⎰-+--2211111),(x x dy y x f dx二、1. 2. 3. 4. 5.C A B D C三、1.[36,100]ππ； 62.55； 3．49； 4.e e 2183-； 5．2643π；6．38； 7．π6； 8．)0(32f 'π．习题二一、1、⎰⎰⎰+----111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx ； 2、π32； 3、θϕϕd drd r dv sin 2=；4、⎰⎰⎰adr r f r d d 0224020)(sin ππϕϕθ； 5、dxdy y z x z dS 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 二、1. B ；2．B ；3．D ；4．C ；5．B三、1．)852(ln 21-； 2．481； 3．467a π； 4．6π； 5．)22(162-π； 3232001()6.()2[()],lim (0)33t t F t F t r h h f r dr h hf t πππ+→=+=+⎰； 27.2()a a π-．第十章习题一一、填空题 1、23202(2sin 2cos 2)sin 2ta t t t t dt π--+⎰； 2、2； 3、34/3；4、⎰； 5、π2二、选择题1、(B)；2、(A)；3、（C ）；4、（A ）；5、（A ）；6、（C ）三、计算题1、242-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a e a π； 2、9四（略）五1、π2-；2、1/2 六、⎰++Lds xxQP 2412七、⎰Γ++++ds yx yRxQ P 2294132习题二一、选择题 1、（B ）； 2、（D ）； 3、（B ）； 4、（D ）； 5、（C ）二、8 三、1、42R π-；2、241π；3、281a m π四、3cos 42cos 9+ 五、y x y x u 2),(=六、283a π七、八（略）习题三一、填空题1、π8；2、321； 3、π8-； 4、dS R Q P ⎰⎰∑++53223； 5、22a π 二、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（C ）；4、（C ）三、计算题 1、427-； 2、π221+ 四、 1、π23； 2、81五、552a π六、π32第十一章习题一一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、× 二、填空题1、0；2、1>p 且.const p =；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四（略）五、1、发散；2、收敛六、1、发散；2、收敛七、1、发散；2、收敛八、当b a >时，收敛；当b a <时，发散；当b a =时，可能收敛，也可能发散．九、1、收敛；2、收敛十（略）习题二一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21； 2、)5,1[-； 3、)1,1[-，)1ln(x --； 4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n； 5、26,)4(3121011-<<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（C ）；5、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[- 五、 1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,arctan 21)]1ln()1[ln(41)(-∈+--+=x x x x x s六、2(1)(),(1,1](1)n nn f x x x x n n ∞=-=+∈--∑七、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n八、)1,1(,)1ln(arctan 21222-∈+-++x x x x xx 第十二章习题一一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、× 二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =；2、x cxe y -=；3、x y 2=；4、x x x y 91ln 31-=；5、yP x Q ∂∂=∂∂ 三、1、C y x =⋅tan tan ；2、C e e y x =-⋅+)1()1( 四、22sec )1(=⋅+y e x 五、s cm /3.269 六、1、Cx y x =-332；2、223x y y -= 七、)ln 41(x x y -= 八、 1、)(sin C x ey x+=-； 2、322Cy y x +=； 3、)cos 1(1x y --=ππ 九、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t m ke k m k t k k v 2122121 十、xx x f 3132)(+=十一、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ）二、填空题1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=；2、22121C x x e C y x +--=； 3、)1ln(1+-=ax ay三、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-；4、4x x y e e -=- 四、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-tk k tk k k eek k v x 1221222424122014五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ 六、u u f ln )(= 七、1)(21)(++=-x xe e x s。

10作业答案新高等数学下第十章习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分1、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ln ds y x )(22，其中L 为圆周)20( sin ,cos π≤≤==t t a y t a x .解 ⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）⎰+Lds y x )(，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.解 L 的方程为y 1x (0x 1)⎰⎰'-+-+=+12])1[(1)1()(dx x x x ds y x L 22)1(10=-+=⎰dx x x（3）⎰L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 L 1 y x 2(0x 1) L 2 y x (0x 1)xdx L⎰xdx xdx L L ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=12122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=. 二、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ), L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤, 因此ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.（2）⎰Γyzds x2，其中Γ为折线ABCD ，那个地址A 、B 、C 、D 依次为点A （0，0，0）、B （0，0，2）、C （1，0，2）、D （1，3，2）.解 Γ=AB +BC + CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =2t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤1),CD : x =1, y =3t , z =2(0≤t ≤1),故 yzds x yzds x yzds x yzds x CDBCAB2222⎰⎰⎰⎰++=Γ 903060012221010=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .（3）⎰Lds y 2，其中L 为摆线一拱)2t (0 )cos 1(),sin (π≤≤-=-=t a y t t a x .解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =. 3、计算以下对坐标的曲线积分：（1）dx y x L⎰-)(22，其中L 是抛物线2x y =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧.解 L : y =x 2, x 从0变到2, 因此 ⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x 2042221556)()(. （2）⎰Lxydx ，其中L 为圆周)0( )(222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx ⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰. （3） ⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧。

《高等数学第五版》上下册习题答案.pdf

习题1−11. 设A =(−∞, −5)∪(5, +∞), B =[−10, 3), 写出A ∪B , A ∩B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ∪B =(−∞, 3)∪(5, +∞),A ∩B =[−10, −5),A \B =(−∞, −10)∪(5, +∞),A \(A \B )=[−10, −5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ∪B C ,所以 (A ∩B )C =A C ∪B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈ f (A )∪f (B ),所以 f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒ ∃x ∈A ∩B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )∩f (B ), 所以 f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使, , 其中I X I f g =D Y I g f =D X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2) ⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f −1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以 f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f −1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f −1(f (A ))⊂A . 因此f −1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−. (2)211xy −=; 解由1−x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).(3)211x xy −−=; 解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)241x y −=; 解由4−x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(−2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). (7) y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+−=; 解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x −tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=−x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1, (−∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y , 所以函数xx y −=1在区间(−∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(−l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(−l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(−l , 0)且x 1<x 2, 有−x 1, −x 2∈(0, l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (−x 2)<f (−x 1), − f (x 2)<−f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(−l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(−l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211x xy +−=; (4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=. 解 (1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x −2);(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =x cos x ;(5)y =sin 2 x .解 (1)是周期函数, 周期为l =2π.(2)是周期函数, 周期为2π=l . (3)是周期函数, 周期为l =2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;(2)xx y +−=11; (3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0); (4) y =2sin3x ;(5) y =1+ln(x +2);(6)122+=x xy . 解 (1)由31+=x y 得x =y 3−1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)由x x y +−=11得yy x +−=11, 所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11. (3)由d cx b ax y ++=得a cy b dy x −+−=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y −+−=. (4)由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5)由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)由122+=x x y 得y y x −=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y −=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即−M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 −M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1)y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,3)3(sin 222===πy . (2)y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4), , .2x e y =1201==e y e e y ==212 (5)y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);(2) f (sin x );(3) f (x +a )(a >0);(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解 (1)由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[−1, 1].(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a , 所以函数f (x +a )的定义域为[−a , 1−a ].(4)由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1−a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1−a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=010 00 1)]([x x x x g f ., 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| ][101)(x e x x e e x f g x f ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| ][1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AC +CD +DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 D 40sin hDC Ab ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++D 得h hS BC ⋅−=D 40cot 0, 所以 h hS L D D 40sin 40cos 20−+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS D 确定, 定义域为D 40cot 00S h <<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0. 01(x 0−100)=90−75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0. 01=91−0. 01x .综合上述结果得到.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p(2).⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=; (2)nx n n 1)1(−=; (3)212nx n +=; (4)11+−=n n x n ; (5) x n =n (−1)n .解 (1)当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .(2)当n →∞时, n x nn 1)1(−=→0, 01)1(lim =−∞→nn n . (3)当n →∞时, 212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn . (4)当n →∞时, 12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n . (5)当n →∞时, x n =n (−1)n 没有极限. 2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问=? 求出N , 使当n >N 时, x n n x ∞→lim n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 . 0lim =∞→n n x n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π. ∀ε >0, 要使|x n −0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n −0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; (2)231213lim =++∞→n n n ;(3)1lim 22=+∞→na n n (4). 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n (1)分析要使ε<=−221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim 2=∞→n n . (2)分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−++231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)分析要使ε<<++=−+=−+n a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<−+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→n a n n . (4)分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1101n , 只须1101−n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|x a u n n =∞→lim ||||lim a u n n =∞→n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有, 从而 a u n n =∞→lim ε<−||a u n ||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε .这就证明了|. |||lim a u n n =∞→ 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim =−∞→n n n n )1(lim −∞→ 5. 设数列{x n }有界, 又, 证明: . 0lim =∞→n n y 0lim =∞→n n n y x 证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有0lim =∞→n n y M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以.0lim =∞→n n n y x 6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k −a |<ε ;∃K 2,当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1−a |<ε..取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n −a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1);8)13(lim 3=−→x x (2);12)25(lim 2=+→x x (3)424lim22−=+−−→x x x ; (4)21241lim321=+−−→x x x . 证明 (1)分析 |(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|, 要使|(3x −1)−8|<ε , 只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε >0, ∃εδ31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3x −1)−8|<ε , 所以.8)13(lim 3=−→x x (2)分析 |(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|, 要使|(5x +2)−12|<ε , 只须ε51|2|<−x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5x +2)−12|<ε , 所以.12)25(lim 2=+→x x (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x , 要使ε<−−+−)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+−)4(242x x , 所以424lim 22−=+−−→x x x .(4)分析|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x , 要使ε<−+−212413x x , 只须ε21|)21(|<−−x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<−−<|)21(|0x 时, 有ε<−+−212413x x , 所以21241lim321=+−−→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+∞→x x x ; (2)0sin lim=+∞→xxx .证明 (1)分析333333||21212121x x x x x x =−+=−+, 要使ε<−+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<−+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)分析 xxx xx 1|sin |0sin ≤=−, 要使ε<−0sin x x, 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sin lim=+∞→x xx .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x −2|<δ时, |y −4|<0. 001？解由于x →2, |x −2|→0, 不妨设|x −2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<−x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x −2|<δ时, 就有|x 2−4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13122→+−=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x , 只397301.04||=−>x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.6. 求,)(xxx f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x xx f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f ,,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=−所以极限存在.)(lim 0x f x → 因为1lim ||lim )(lim 00−=−==−−−→→→x xx x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00===+++→→→xx x x x x x x ϕ, ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠−所以极限不存在.)(lim 0x x ϕ→ 7. 证明: 若x →+∞及x →−∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则.A x f x =∞→)(lim证明因为, , 所以∀ε>0,A x f x =−∞→)(lim A x f x =+∞→)(lim ∃X 1>0, 使当x <−X 1时, 有|f (x )−A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )−A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε , 即.A x f x =∞→)(lim 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x −x 0|<δ 时, 有|f (x )−A |<ε .因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )−A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0−δ1<x <x 0时, 有| f (x )−A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )−A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x −x 0|<δ 时, 有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有| f (x )−A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −3|<δ时, 有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0|1sin |||||−≤=x xx y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >−2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x −0|<δ时, 有M xx>+21, 所以当x →0时, 函数xxy 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由: (1)xx n 12lim+∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→xx n .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=−−→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如022cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim 22−+→x x x ;解 9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x . (3)112lim 221−+−→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx xx x x 2324lim 2230++−→;解 2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim−+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22−−−∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim242−−+∞→x x x x x ; 解 013lim242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零)或 012111lim13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x xx x x . (9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x −−−→; 解 112lim )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131−=+++−=++−+−−=++−−++=−−−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim −+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x , 所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3).)12(lim 3+−∞→x x x 解 (因为分子次数高于分母次数).∞=+−∞→)12(lim 3x x x 3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x x x x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x x x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4);x x x cot lim 0→ 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0−→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===−=−→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===−→→→xx x x x x x x x x x .(6)nn n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 1)1(lim −→;解{}11)(10)1)(11)](1[lim )](1[lim )1(lim −−−→−−→→=−+=−+=−e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解[]22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e x x x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim −∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx −−−∞→∞→=−+=−))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I ′. 解4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而且11lim =∞→n 1)11(lim =+∞→nn ,由极限存在准则I, 111lim =+∞→n n .(2)()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x +++−−=++−+=−+=−+2)1)(2(22221,而x n −2<0, x n +1>0, 所以x n +1−x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1−|x |≥(1−|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤−. 因为 ,1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=−→→x x x x 根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)[]11lim 0=+→xx x . 证明因为[]xx x 1111≤<−, 所以[]111≤<−x x x .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim )1(lim 0==−++→→x x x []11lim 0=+→xx x .习题 1−71. 当x →0时, 2x −x 2 与x 2−x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2−x 3是高阶无穷小, 即x 2−x 3=o (2x −x 2).2. 当x →1时, 无穷小1−x 和(1)1−x 3, (2))1(212x −是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时, 1−x 和1−x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x , 所以当x →1时, 1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x −.证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为()122sin2lim 22sin 2limcos cos 1lim 2211sec lim20222020===−=−→→→→x xx x x x xx x x x x x ,所以当x →0时, 2~1sec 2x x −.4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xxx 23tan lim0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n , m 为正整数);(3)xx x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→xx x x x xx x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1);⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f (2).⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, , 1lim )(lim 211==−−→→x x f x x 1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 所以, 从而函数f (x )在x =1处是连续的.1)(lim 1=→x f x 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处, 因为f (−1)=−1, , , 所以函数在x =−1处间断, 但右连续.)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x )1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x 在x =1处, 因为f (1)=1, =f (1), =f (1), 所以函数在x =1处连续.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 11lim )(lim 11==++→→x x x f 综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); (3),1cos 2xy = x =0;(4), x =1.⎩⎨⎧>−≤−=1 311x x x x y 解 (1))1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11−=−+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令y =−2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 2→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)因为, 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 3. 讨论函数x x x x f n n n 2211lim )(+−=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nnn . 在分段点x =−1处, 因为, , 所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x 1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x 在分段点x =1处, 因为, , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x 4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理,存在x 0)()(lim 00>=→x f x f x x 0的某一去心邻域, 使当x ∈时f (x )>0, 从而当x ∈U (x )(0x U D )(0x U D0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩⎨⎧∉−∈=Q Qx x x x x f )(习题1−91. 求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限, 及.)(lim 0x f x →)(lim 3x f x −→)(lim 2x f x → 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(−∞, +∞)内除点x =2和x =−3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )}在点x 0也连续.证明已知, .)()(lim 00x f x f x x =→)()(lim 00x g x g x x =→ 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()(21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0−+→; (5)145lim1−−−→x xx x ;(6)ax ax a x −−→sin sin lim; (7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解 (1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以142(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000=++=++=++=++++−+=−+→→→→x x x xx x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +−−−=+−−+−−−=−−−→→→ 214154454lim1=+−⋅=+−=→xx x .(6)ax ax a x ax ax a x a x −−+=−−→→2sin 2cos2limsin sin lima a a a x ax ax ax ax cos 12cos 22sinlim 2coslim =⋅+=−−⋅+=→→. (7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→;(2)xxx sin lnlim 0→; (3)2)11(lim xx x+∞→;(4);x x x 2cot 20)tan 31(lim +→ (5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x .(2) 01ln sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(3) []e e xx xx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim 11(lim .(4) []33tan312cot 222)tan 31(lim )tan 31(lim ex x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(−+−⋅−+−+−+=++x x x x xx x . 因为。

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第1章极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,(Y -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32 (4) 跳跃，无穷，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。

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