计算机图形学 9、曲线曲面表示

何连续
Bezier曲线的拼接（2）
• 设两段Bezier曲线P(t), Q(t)首尾相接 • 零阶几何连续就是要求：P(1)=Q(0)。 由Bezier曲线的Q(0)=Q0, P(1)= Pn , 所以要 使两段两段Bezier实现零阶几何连续拼接， 就要求Pn = Q0, 即前一段曲线的最后一个控 制点和后一段曲线的第一个控制点重合。
参数表示
• 点的每一个坐标都表示成参数变量的函数 • 参数整个变化范围对应整条曲线，但往往 只对某一部分感兴趣，通过规格化使参数 的变化范围限制在[0，1]中。
参数方程的优越性
• 有更大的自由度来控制曲线（面）的形状。如一 条二维三次曲线显性表示：y=ax3+bx2+cx+d，只 有四个系数可用来控制曲线（面）形状， • 非参数方程表示的曲线（面）变换时必须对每个 型值点进行变换；参数方程表示的曲线（面）变 换时可直接对参数方程进行几何变换，节省计算 量 • 便于处理斜率为无穷大的问题，不会因此中断计 算 • 规格化参数变量变化范围为[0，1]，不必为参数 定义边界 • 易于用矢量和矩阵表达，简化了计算
n i 0 i n i n i i
n i 0 i n i n i i i n
C
P (t (1 t ) i
i
n 1i
t
i 1
(1 t )
n i
i ) Cn 1 P (1)t i (1 t ) n 1i i i 0
n 1
Bezier曲线升阶
i i 5. 比较两边同类项的系数得：i (1)Cn1 PiCn Pi1Cn1 P i 6. 化简得： i (1) i Pi 1 (1 i ) Pi P
Bezier曲线的生成(1)
• 在实际应用Bezier曲线段绘制曲线时，常 运用3次曲线，即n=3。这是因为： 1. 一次曲线是直线，二次曲线是抛物线，它 们表现复杂曲线的变化能力稍差；而三次 曲线在一个小的局部，足够了。 2. 次数太大，数学计算量大，且容易产生累 积误差，影响精度。 3. 次数太大，一段曲线的控制点太多，不利 于人机交互调整曲线形状。
Pn-1
Pn
Bezier曲线的性质(2)
• 凸包性 P1 Pn-1 P(t)位于控制顶点 P0, P1,…,Pn的凸包内 P 0 • 几何不变性 Pn 曲线的形状仅由控制点的位置决定，与所选用的 坐标系无关。 • 交互能力 控制点的位置决定了曲线的形状，变换控制点位 置，就可以改变曲线的形状。为人机交互确定曲 线形状提供了手段。
0 t 1（9-5）
• 只要在[0,1]计算若干个t值，如t=0,0.1,0.2,…,1,求出相应的坐 标，用直线将这些点连接起来，就构成了曲线。 • 若要画二维曲线，只要计算[x(t),y(t)]。
Bezier曲线的手工生成(1)
• Bezier曲线上的点可以根据控制点精确得到
P1 P3 P2 P1 P2 ’ P1 ’ P0 ’ P0 “ P1 ’ P0 “’ P2
Q0 P0
i i 0 i i n i Qi P0Cn (1 ) n Pi Cn (1 ) n i Pn Cn ( ) n n n n n

解n+1个方程，得到P0 ,P1 … … Pn曲线控制点
Qn Pn
Bezier曲线升阶
• • •
1. 2. 3. 4.
n 1
n 1
例：一段3次曲线，控制点为P0,P1,P2,P3 ，升阶为4 次曲线控制点为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4 ，两者关系为 Q0=P0，Q1=1/4P0+3/4P1 ，Q2=2/4P1+2/4P2 Q3=3/4P2+1/4P3 ， Q4=P3。
Bezier曲线升阶
• 新的控制点是对老的控制多边形在参数 i/(n+1)处进行线性插值的结果 • 升阶后的新控制多边形在老控制多边形凸 包中 • 升阶后的新控制多边形比老控制多边形更 接近Bezier曲线
• P(t)是空间点，用坐标形式表示为[x(t),y(t),z(t)] • 由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：
P(t)的三个分量
x(t ) X 0 (1 t )3 3X1t (1 t )2 3X 2t 2 (1 t ) X 3t 3
y(t ) Y0 (1 t )3 3Y1t (1 t )2 3Y2t 2 (1 t ) Y3t 3 z(t ) Z0 (1 t )3 3Z1t (1 t )2 3Z2t 2 (1 t ) Z3t 3
第九章 曲线曲面表示
• 曲线曲面的表示是计算机图形学的重要内容。它 是描述物体外形、建立物体数学模型的有力工具。 • 在计算机图形学中，曲线曲面都是采用分段或分 片参数多项式的形式。 • 采用分段参数方式有很多好处：曲线曲面形状不 依赖坐标系的选取；有直观简便的人机交互手段； 容易离散生成；造型灵活、易于拼接。 • 本章介绍一些常用曲线曲面的算法和性质。
显式、隐式和参数表示
• • • • 曲线（面）的显式表示：y=f(x) 曲线（面）的隐式表示：f(x，y)=0 曲线（面）的参数表示：x=x(t),y=y(t) 显式表示特点：每一个x值只能对应一个y值；不 能表示封闭或多值曲线，例如圆。 • 隐式表示特点：可以表示封闭或多值曲线。 • 非参数表示（显、隐）特点：与坐标轴相关；会 出现斜率无穷大情况；非平面曲线（面）难以常 系数函数表示；不便于计算和编程。
参数曲线定义
• 一条三维曲线的参数形式： x=x(t),y=y(t),z=z(t),0≤t ≤1 • 曲线上任意一点可用矢量p(t)=[x(t),y(t),z(t)]表示。 起始点在t=0处，即p(0)，终点p(1)在t=1处 • 曲线上任意一点切矢量表示了曲线上该点的切线 方向，可以表示曲线在该点处的走向。切矢量表 示为：p’(t)=[x’(t),y’(t),z’(t)] 。起始点t=0处切矢量， 为p’(0)，p’(1)表示在终点t=1处切矢量。
Bezier曲线的拼接（3）
• 一阶几何连续就是要求：P’(1)=Q’(0)。 由式(9-1),(9-2)可得： P’(1)=n(Pn-Pn-1) , Q’(0)=m(Q1-Q0)
Pn-Pn-1 Pn-1 Pn (Q0) Q1 几何意义就是要求： Pn-1 , Pn (Q0) ,Q1点在 同一条直线上，且Pn-1 , Q1-Qn Q 分别在P (Q ) 两边 1 n 0
• 端点的位置 P0和Pn是曲线P(t)的两个端点。 由式(9-1),(9-2)可得：p(0)=P0, p(1)= Pn • 端点的切线 P(t)在起点处与P0P1相切，在终点处与Pn1Pn相切 P
1
由式(9-1),(9-2)可得：
P’(0)=n(P1-P0), p’(1)=n(Pn-Pn-1)
P0
Bezier曲线
• 在空间给定n+1个点P0,P1,…,Pn，称下列参数曲 线为n次Bezier曲线： n
P(t ) P J i ,n (t ),0 t 1 i
i 0
（9-1）
• 其中，Ji,n(t)是Bernstein基函数：
J i ,n (t ) C t (1 t )
i i n n i
n! t i (1 t ) ni i!(n i)!
（9-2）
• 称折线为P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称点P0, P1,…,Pn为P(t)的控制顶点。控制多边形P0P1…Pn 为P(t)的大致形状的勾画， P(t)是对P0P1…Pn的 逼近。
Bezier曲线的性质(1)
Bezier曲线的拼接（1）
• 一段Bezier曲线常常不足以表现复杂的曲线。为了构造复 杂的曲线，常用曲线拼接的方法，即用一段段的曲线首尾 相连起来。 • 不同的问题在连接点对曲线连续性有不同的要求： • 零阶几何连续：首位连在一起即可。不光滑。 • 一阶几何连续：在连接点处曲线方向相同。光滑，但变化 趋势不同 • 二阶几何连续：两段曲线在连接处，不仅光滑连接，曲率 也相同。
P1 “
P2 ’
P1 “
P0 “
P0 “’
P0 ’
P0
P0
P3
Bezier曲线的手工生成(2)
• P0”’是曲线上的点P(1/2) • 如果每次取得不是中点，而 是1/3点，最终得到的点是 P(1/3) • 如果每次取得不是中点，而 是1/n点，最终得到的点是 P(1/n) • P0”’将一段曲线分成两段， 每一段成为一段新的Bezier 曲线，其新的控制点如图所 示 • 在新的Bezier曲线上可以继
P3 P2 P1 P0
P2 ’ P1 ’
P1 “
P0 “
P0 “’
P0 ’
反算Bezier曲线控制点
• 给定n+1个型值点Qi(i=0,1,…,n)，要求构成的 Bezier曲线通过这些点。 • 取参数ti=i/n与Qi相对应 • 根据式9-1，Bezier曲线方程为
0 1 i n p(t ) P0Cn (1 t )n PCnt (1 t )n1 PCnt i (1 t )ni Pn Cn t n 1 i
Bezier曲线的生成(2)
• 下面来推导3次Bezier曲线的计算公式 • n=3 由式（9-1），（9-2）可得：
P(t ) Pi J i ,3 (t )
i 0 3
Pi
i 0
3
3! t i (1 t )3i i!(3 i )!
P (1 t )3 3Pt (1 t )2 3P2t 2 (1 t ) P t 3 0 1 3
•
B样条基函数 B样条基函数是由参数k的递推关系所定义的
Bi ,1 (t )
1, ti t ti 1
0，其它