MATLAB第5章 多项式、插值与数据拟合问题
Matlab中数据处理和多项式插值与曲线拟合
Matlab中数据处理和多项式插值与曲线拟合⼀、基本统计处理1、查取最⼤值MAX函数的命令格式有：[Y,I]= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最⼤元素值及其该元素的位置赋予⾏向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。
[Y,I]=max(X,[],DIM)：当DIM=1时按数组X的各列查取其最⼤的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I;当DIM=2时按数组X的各⾏查取其最⼤的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I.max(A,B)：返回⼀个与A,B同维的数组，其每⼀个元素是由A,B同位置上的元素的最⼤值组成。
【例1】查找下⾯数列x的最⼤值。
x=[3 5 9 6 1 8] % 产⽣数列xx = 3 5 9 6 1 8y=max(x) % 查出数列x中的最⼤值赋予yy = 9[y,l]=max(x) % 查出数列x中的最⼤值及其该元素的位置赋予y,ly = 9l = 3【例2】分别查找下⾯3×4的⼆维数组x中各列和各⾏元素中的最⼤值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 产⽣⼆维数组xx = 1 8 4 29 6 2 53 6 7 1y=max(x) % 查出⼆维数组x中各列元素的最⼤值产⽣赋予⾏向量yy = 9 8 7 5[y,l]=max(x) % 查出⼆维数组x中各列元素的最⼤值及其这些% 元素的⾏下标赋予y,ly = 9 8 7 5l = 2 1 3 2[y,l]=max(x,[ ],1) % 本命令的执⾏结果与上⾯命令完全相同y = 9 8 7 5l = 2 1 3 2[y,l]=max(x,[ ],2) % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各⾏中进⾏y = 897l = 213[y,l]=max(x) % 查出⼆维数组x中各列元素的最⼤值及其这些% 元素的⾏下标赋予y,ly = 9 8 7 5l = 2 1 3 2[y,l]=max(x,[ ],1) % 本命令的执⾏结果与上⾯命令完全相同y = 9 8 7 5l = 2 1 3 2[y,l]=max(x,[ ],2) % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各⾏中进⾏y = 897l = 2132、查取最⼩值MIN函数⽤来查取数据序列的最⼩值。
数据插值、拟合方法的MATLAB实现
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
n=6;
p=polyfit(hours,temps,n)
t=linspace(0,23,100);
z=polyval(p,t); %多项式求值
plot(hours,temps,'o',t,z,'k:',hours,temps,'b',’r’,'linewidth',1.5)
legend('原始数据','6阶曲线')
2.3用8阶多项式拟合的命令
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
实验结果：
1.一元插值图像
图1.1一元插值图
经分析三次样条插值法效果最好，以三次样条插值法得出每个0.5小时的温度值：
时间
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
温度
12
11.9
12
12.0
12
11.6
11
10.4
10
9.9
10
10.0
时间
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
matlab的数据拟合与插值
matlab的数据拟合与插值Matlab 的数据的分析处理-拟合与插值在数学建模过程中，常常需要确定⼀个变量依存于另⼀个或更多的变量的关系，即确定这些变量之间的函数关系。
但在实际中确定这些变量之间函数函数关系时往往没有先验的依据，只能在收集的实际数据的基础上对若⼲合乎理论的形式进⾏试验，从中选择⼀个最有可能反映实际的函数形式，这就是统计学中的拟合和回归⽅程问题。
本节我们主要介绍如何分析处理实际中得到的数据。
下⾯先看⼀个例⼦。
例1 “⼈⼝问题”是我国最⼤社会问题之⼀，估计⼈⼝数量和发展趋势是我们制定⼀系列相关政策的基础。
有⼈⼝统计年鉴，可查到我国从1949年⾄1994⼀般地，我们采⽤下⾯的分析处理⽅法：⾸先，在直⾓坐标系上作出⼈⼝数与年份的散点图象。
观察随着年份的增加⼈⼝数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做⼀条直线。
那么我们如何把这条直线⽅程确定出来呢？并⽤他来估计1999年我国的⼈⼝数。
⽅法⼀：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）⼆点确定⼀条直线，⽅程为 N = 14.088 t – 26915.842 ，代⼊t =1999,得N ≈12.46亿⽅法⼆：可以多取⼏组点对，确定⼏条直线⽅程，将t = 1999代⼊，分别求出⼈⼝数，在取其算数平值。
⽅法三：可采⽤“最⼩⼆乘法”求出直线⽅程。
这就是曲线拟合的问题。
⽅法⼀与⽅法⼆都具有⼀定的局限性，下⾯我们重点介绍数据的曲线拟合。
所谓曲线拟合是指给定平⾯上的n 个点(x i ,y i ),i=1,2,….,n,找出⼀条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。
最常见的曲线拟合是使⽤多项式来作拟合曲线。
曲线拟合最常⽤的⽅法是最⼩⼆乘法。
其原理是求f(x),使21])([i ni i y x f -=∑=δ达到最⼩。
matlab 提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit格式::polyfit(x,y,n)说明:polyfit(x,y,n)是找n 次多项式p(x)的系数,这些系数满⾜在最⼩⼆乘法意义下p(x(i)) ~= y(i).已知⼀组数据，⽤什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进⾏直观观察，在此基础上，选择⼏种曲线分别拟合，然后⽐较，观察那条曲线的最⼩⼆乘指标最⼩。
MATLAB数据拟合与插值PPT课件
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
拟合插值
一、实验目的用matlab测试数据的拟合与插值二、实验原理1 拟合(1)polyfit函数MATLAB的polyfit函数用于多项式拟合，其语法为：p = polyfit(x, y, k);其中，x，y分别是横纵坐标向量，它们不仅元素个数相同，而且同为行向量或同为列向量。
k为非负整数，是待拟合的多项式的最高次数。
p是输出项，为待拟合的多项式的系数向量（由高次到低次排列）。
在进行多项式拟合时，必须注意的是，拟合的精度是有限的，一般而言，需要满足以下条件：记m为不重复的横坐标的数目，则拟合次数k <= m - 1，在此前提下尽量使用低次多项式进行拟合。
（2）polyval函数polyval，顾名思义就是“多项式的值”，该函数的功能是将已知数据代入拟合得的多项式求值。
语法格式：y = polyval(p, x);其中，p是已经拟合的多项式（比如说（1）中的p），x是自变量组成的向量，y是所求值组成的向量。
（3）计算多项式拟合的方差已知原始数据x和y，拟合得到多项式p，判断拟合效果好坏的一个重要指标是方差，方差的计算方法是e = sum((y - polyval(p, x)).^2).polyval(p, x)得到拟合值向量，y是真实值向量，两者相减得到真实值和拟合值的差值向量，“.^2”表示对矩阵中的每一个元素进行平方运算，于是得到差值向量中每一个元素的平方，sum是求和函数，显然就是求差值向量元素的平方和，而这就是方差。
2 插值法：插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值，这种方法称为插值法。
三、实验设备、仪器及材料Windows7 ，matlab软件四、实验步骤（按照实际操作过程）（1）开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口（2）根据各种数值解法步骤编写M文件（3）保存文件并运行（4）观察运行结果(数值或图形)（5）根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会五、实验过程记录（程序）（1）在MATLAB的命令窗口输入以下代码：>> x = [1, 2, 3, 4];>> y = [3, 5, 7, 9];>> p = polyfit(x, y, 1)敲击回车键，得到输出结果：p =2.0000 1.0000所以拟合得的函数就是：y = 2.0000X + 1.0000.在进行多项式拟合时，必须注意的是，拟合的精度是有限的，一般而言，需要满足以下条件：记m为不重复的横坐标的数目，则拟合次数k <= m - 1，在此前提下尽量使用低次多项式进行拟合。
Matlab数据插值与拟合
end
end
end
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例4-3 根据下表的数据点求出其拉格朗日 插值多项式，并计算当x=1.6时y的值。
x
1
y 0.8415
1.2
0.9320
1.8
2. 5
0.9738 0.5985
4
-0.7568
解：
>> x=[1 1.2 1.8 2.5 4]; >> y=[0.8415 0.9320 0.9738 0.5985 -0.7568]; >> f=language(x,y)
同‘pchip’，三次Hermite多项式插值
第5页，共49页。
1.Linear（分段线性插值）
它 在的区算间法[xi是,xi在+1]每上个的小子区插间值[多xi,x项i+式1]上为采：用简单的线性插值。
Fi
x xi1 xi xi1
f
(xi )
x xi xi1 xi
f (xi1)
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为：
邻近的已知点的线性函数插值计算该区间内插值点上的函数
值。
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例4-2 用其他一维插值方法对以下7个离散数据点 (1,3.5)、(2,2.1)、(3,1.3)、(4.0.8)、(5,2.9)、(6,4.2)、(7,5.7
进行一维插值方法。
解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令：
>> x=[1 2 3 4 5 6 7];
end;
%计算拉格朗日基函数
f = f + l; simplify(f);
%计算拉格朗日插值函数 %化简
if(i==n)
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
matlab插值与拟合(命令与示例)
目录【一维插值】interp1 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) (1)例1 (1)例2 (2)【二维插值】interp2 (4)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) (4)插值方式比较示例 (4)例3 (8)例4 (9)【三角测量和分散数据插值】 (13)【数据拟合】 (17)例5 (17)例6 (18)【一维插值】interp1yi = interp1(x,y,xi,method)例1在1-12 的11 小时内，每隔1 小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
试估计每隔1/10 小时的温度值。
建立M文件temp.mhours=1:12;temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'kp',h,t,'b');35302520151050 2 4 6 8 10 12例2已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X0357911 12131415 Y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6建立M文件plane.mx0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x,'nearest');y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'kp',x,y1,'r')2.521.510.50 5 10 15 plot(x0,y0,'kp',x,y2,'r')2.521.510.50 5 10 15 plot(x0,y0,'kp',x,y3,'r')2.521.510.50 5 10 15 【二维插值】interp2ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)插值方式比较示例用较大间隔产生peaks 函数数据点[x,y] = meshgrid(-3:1:3);z = peaks(x,y);surf(x,y,z)642-2-4-642 40 2-2 -2-4 -4●产生一个较好的网格[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);●利用最近邻方式插值zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');surf(xi,yi,zi1)●双线性插值方式zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');surf(xi,yi,zi2)●双立方插值方式zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');surf(xi,yi,zi3)●不同插值方式构造的等高线图对比contour(xi,yi,zi1)321-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3 contour(xi,yi,zi2)321-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3 contour(xi,yi,zi3)321-1-2-3-3 -2 -1 0 1 2 3例3测得平板表面3*5 网格点处的温度分别为：82 81 80 82 8479 63 61 65 8184 84 82 85 86试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
matlab中插值与拟合
计算可视化
1 插值与数据拟合 1.1 一维数据的插值问题 1.1.1 一维插值问题的求解
例1-1：已知的数据点来自函数25f ()(35)sin x x x x e x -=-+，根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线直接生成数据。
例1-2：编写一段程序，允许利用插值方法手工绘制一条光滑的曲线。
1.1.2 Lagrange插值算法及应用
例1-3：对2()1/(125),11f x x x =+-≤≤进行Lagrange 插值。
1.2 已知样本点的定积分计算
例1-4：利用样条插值算法求解3/2
cos(15)x dx π⎰。
例1-5：已知其中的150个数据点，用quadspln()计算出该定积分的值
2
()x
t erf x e dt -=
⎰。
1.3 二维网格数据的插值问题
例1-6：由2
22(,)(2)x
y xy
z f x y x x e ---==-可计算出一些较稀疏的网格数据，对整
1.4 二维一般分布数据的插值问题1.5 高维插值问题。
MATLAB基础及应用课件(下)第5-8章
图5-5 拟合曲线
第5章 MATLAB数值计算
第5章 MATLAB数值计算
5.4.4 图形窗口的拟合和统计工具
第5章 MATLAB数值计算
在图5-6中的“绘制拟合图”中选择拟合方 法（可同时选多种）；
“显示方程”复核框可以选择是否在图形上 显示拟合多项式；
“绘制残差图”复核框选中时会产生第二幅 图形，该图形显示了每一个数据点与计算出来的 拟合曲线之间的距离。
例如选择“线性”和“三次方”拟合方法， 同时选中两个复核框，产生图形如图5-7所示。
MATLAB的图形窗口中提供了简单方便的数 据拟合和基本统计工具。
数据拟合工具可以对所绘制的曲线使用多种 方法进行拟合；
基本统计工具可提供最小值、最大值、平均 值、中位值、标准差、数据范围等统计运算。
1．数据拟合工具
第5章 MATLAB数值计算
使用数据拟合工具首先需要创建一幅图形，在 命令行窗口输入以下程序：
两个矩阵x和y的相关系 数
第5章 MATLAB数值计算
5.2 数值运算 一、 多项式
名称
创建多项 式
求根
求值
多项式乘 法
多项式除 法
多项式求 导
函数格式 P=[ a0 a1 a2 …an-1
an] P=poly(A) roots(P) polyval(P，A)
polyvalm(P,m)
说明
P为多项式（以下各函数中P均为多项式），a0 a1 a2 … an-1 an为按降幂顺序排列的多项式系数 A为向量。创建以向量A中元素为根的多项式
Matlab数据插值与拟合
分段线性插值方法在速度和误差之间取得 了比较好的均衡，其插值函数具有连续性， 但在已知数据点处的斜率一般不会改变， 因此不是光滑的。分段线性插值方法是 MATLAB一维插值默认的方法。 MATLAB一维插值默认的方法。
2.Spline（样条插值） 2.Spline（样条插值）
样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 数可以给出光滑 的插值曲线，只要在插值区间端 点提供某些导数信息，样条插值可以适应不同光滑 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 每个子区间[x 每个子区间[xi,xi+1]上都是有二阶连续导数的三次多 项式，即
4.1.1 一元插值函数
MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间进行计算内 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 所给数据决定。 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4-1所示。 表4-1 一维插值插值函数interp1的语法格式 一维插值插值函数interp1的语法格式
例4-1 用interp1对sin函数进行分段线性插值。 interp1对sin函数进行分段线性插值 函数进行分段线性插值。
解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： 解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： >> x=0:2*pi; >> y=sin(x); >> xx=0:0.5:2*pi >> yy=interp1(x,y,xx); >> plot(x,y,'s',xx,yy) 注：例 注：例4-1中用默认的 (分段线性插值的linear) 分段线性插值的linear) 对已知的7 sin函数的 对已知的7个sin函数的 数据点进行插值，用 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 邻近的已知点的线性函数插值计算该区间内插值点上的函数 值。
Matlab中的插值与拟合技术
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
在Matlab中如何进行数据插值与拟合
在Matlab中如何进行数据插值与拟合引言：数据处理是科学研究与工程开发中不可或缺的环节之一。
而数据插值和拟合则是数据处理中常用的技术手段。
在Matlab这一强大的数值分析工具中，提供了丰富的函数与工具箱，使得数据插值与拟合变得更加便捷高效。
本文将详细阐述在Matlab中如何进行数据插值与拟合，并介绍几个常用的插值与拟合方法。
一、数据插值数据插值是通过已知的有限个数据点，推导出数据点之间未知位置上的数值。
在Matlab中，可以利用interp1函数进行数据插值。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据插值：1. 调用interp1函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabxi = linspace(min(x), max(x), n);yi = interp1(x, y, xi, '方法');```其中，xi是插值点的位置，min和max分别是x向量的最小值和最大值，n是插值点的数量。
'方法'是要使用的插值方法，可以选择线性插值(method='linear')、样条插值(method='spline')等。
2. 绘制插值结果曲线。
```matlabplot(x, y, 'o', xi, yi)legend('原始数据','插值结果')```使用plot函数可以绘制原始数据点和插值结果的曲线。
通过设置不同的插值方法和插值点的数量，可以探索不同的插值效果。
二、数据拟合数据拟合是通过已知的一组数据点，找到一个符合数据趋势的函数模型。
在Matlab中，可以利用polyfit函数进行多项式拟合。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据拟合：1. 调用polyfit函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabp = polyfit(x, y, n);```其中，n是多项式的次数，p是拟合多项式的系数。
第5讲MATLAB多项式及插值
y c 1 (x r 1 )(x r 2 ) (x r n )
N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多项式所有 系数均为实数，则全部复根都将以共轭对的形式出现
第5讲MATLAB多Байду номын сангаас式及插值
2、相关函数
幂系数:在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式 的系数，并从左至右按降幂排列。
舍入误差的影响，与计算精度有关。
第5讲MATLAB多项式及插值
polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。
例： y3x47x32x2x1 计算y(2.5)
>> c=[3,-7,2,1,1]； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi =
23.8125
如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同 的向量。 >> c=[3,-7,2,1,1]; xi=[2.5,3]; >> yi=polyval(c,xi) yi =
第5讲MATLAB多项式及插值
例5-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的 新矩阵p。
第5讲MATLAB多项式及插值
5.1.2 求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方 法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格 式为：
sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。 sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
Matlab中的插值与拟合方法介绍
Matlab中的插值与拟合方法介绍在数据分析与处理的过程中，插值与拟合是非常重要的工具。
Matlab作为一种常用的数据处理与分析工具，提供了许多插值与拟合函数，方便用户进行数据处理和分析。
本文将介绍Matlab中的插值和拟合方法，并提供相应的示例和应用场景。
一、插值方法1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，通过连接已知数据点的直线进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行一维线性插值。
下面以一个简单的例子来说明线性插值的应用：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi)```在这个例子中，已知一组数据点(x, y)，要求在x=2.5处的插值结果。
通过interp1函数，可以得到插值结果yi=5。
线性插值适用于数据点较少且近邻点的变化趋势比较明显的情况。
2. 三次样条插值三次样条插值是一种更精确的插值方法，它利用多个小区间的三次多项式进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项进行三次样条插值。
以下是一个示例：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline')```通过设置'spline'选项，可以得到插值结果yi=5.125。
三次样条插值适用于数据点较多且变化较为复杂的情况。
3. 二维插值除了一维插值，Matlab还提供了二维插值函数interp2，用于处理二维数据的插值问题。
以下是一个简单的二维插值示例：```x = 1:4;y = 1:4;[X, Y] = meshgrid(x, y);Z = X.^2 + Y.^2;xi = 2.5;yi = 2.5;zi = interp2(X, Y, Z, xi, yi)```在这个例子中，首先生成一个二维数据矩阵Z，然后利用interp2函数在给定的坐标(xi, yi)处进行插值，得到插值结果zi=12.25。
插值与拟合matlab实现
插值与拟合matlab实现插值与拟合的Matlab实现王正盛编写在科技工程中，除了要进行一定的理论分析外，通过实验、观测数据，做分析、处理也是必不可少的一种途径。
由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，因此在处理时必须充分利用这些信息；又由于测定过程中不可避免会产生误差，故在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影响。
两者相互制约。
据此合理建立实际系统数学模型的方法成为数值逼近法。
一、插值法1、数学原理工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据中，求自变量与因变量的一个近似的函数关系式。
例如：观测行星的运动，只能得到某时刻所对应的行星位置（用经纬度表示），想知道任何时刻的行星位置。
例如：大气压测定问题；导弹发射问题；程序控制铣床加工精密工件问题；飞机船舶制造问题等等。
都属于此类问题。
因为考虑到代数多项式既简单又便于计算，所以人们就用代数多项式近似地表示满足个点的函数关系式——插值法建模。
（1）计算方法课程中学习了两种多项式插值：Lagrange插值和Newton均差插值：已知n+1个数据点：n次Lagrange插值公式：特别地，当n=1时，————线性插值当n=2时，———————抛物线插值或二次插值Newton均差插值公式：，其中是k阶均差，可由均差表方便计算得到。
Lagrange插值和Newton均差插值本质上是一样的，只是形式不同而已，因为插值多项式是唯一的。
（2）Runge现象和分段低次插值：如在[-5，5]上各阶导数存在，但在此区间取n个节点构造的Lagrange插值多项式在区间并非都收敛，而且分散得很厉害。
（matlab\bin\ Lagrange.m是自己编写的M文件）[例]取n=-10hold offx=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')legend('插值曲线','原数据曲线')因此插值多项式一般不要超过四次为宜。
MATLAB中的插值与拟合方法详解
MATLAB中的插值与拟合方法详解篇一：介绍插值与拟合的概念及应用领域在科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要通过有限个已知数据点来推算出其它位置或数值的问题。
这种问题的解决方法通常可以分为两种：插值和拟合。
插值是指根据已知的离散数据点，在未知位置或数值上推算出一个函数值；而拟合则是根据已知的离散数据点，寻找一个函数模型来近似表示这些数据。
插值方法适用于数据点之间具有明显的数值关系的情况，如各种物理现象的测量数据、曲线绘制等。
拟合方法则适用于数据点之间存在较大离散度或复杂的关联关系的情况，例如统计分析、数据回归、信号处理等。
MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了丰富的插值和拟合方法函数，使得我们能够更加高效地进行数据处理和分析。
接下来我们将详细介绍MATLAB中常用的插值和拟合方法。
篇二：插值方法详解插值方法在MATLAB中有多种实现方式，常用的有线性插值、多项式插值和样条插值。
1.线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，在已知的数据点间通过直线的插值来估计未知点的数值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数来进行线性插值的计算。
该函数利用输入的数据点和未知点的坐标，返回未知点的插值结果。
2.多项式插值多项式插值是一种通过多项式函数来拟合数据点的插值方法。
MATLAB中的polyfit函数可以用来进行多项式的拟合计算。
这个函数通过最小二乘法来寻找一个多项式函数，使得该函数与给定的数据点最为接近。
3.样条插值样条插值是一种更加精确的插值方法，在MATLAB中可以使用interp1函数的'spline'选项来进行样条插值的计算。
样条插值通过分段函数形式来拟合数据，可以得到更加平滑和连续的插值结果。
篇三：拟合方法详解拟合方法主要有线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等。
1.线性拟合线性拟合是一种基于线性模型的拟合方法，它适用于数据点之间存在明确线性关系的情况。
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行线性拟合计算。
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
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• m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式:
ya a1xm a2 xm1 am x am1 yb b1xn b2 xn1 bn x bn1
yc ya yb c1xd c2 xd 1 cd x cd 1
计算 yc 系数的MATLAB命令是:c=conv(a,b) • 多项式 yb 除多项式 ya的除法满足:
cn 2
x2
cn1x cn2
多项式微分：
y c1xn c2 xn1
cn x cn1
y' nc1xn1 (n 1)c2 xn2 cn
• Polyder: 求多项式一阶导数的系数。 调用格式为: b=polyder(c ) c为多项式y的系数，b是微分后的系数，
其值为：
[nc1, (n 1)c2 , , cn ]
多项式积分：
y c1xn c2 xn1
cn x cn1
Y ydx c1 xn1 c2 xn
n 1
n
功能：求多项式积分 调用格式：py=poly_itg(p) p:被积多项式的系数 py：求积后多项式的系数
poly_itg.m function py=poly_itg(p) n=length(p); py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0] 不包括最后一项积分常数
• 一个多项式的幂级数形式可表示为：
y c1xn c2 xn1 cn x cn1
• 也可表为嵌套形式
y ( ((c1x c2 )x c3)x cn )x cn1
• 或因子形式
y c1(x r1)(x r2 ) (x rn )
N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多 项式所有系数均为实数，则全部复根都将以共轭对 的形式出现
23.8125 76.0000
• polyfit:给定n+1个点将可以唯一确定一个n阶多项式。利 用命令polyfit可容易确定多项式的系数。 例：
>> x=[1.1,2.3,3.9,5.1]; >> y=[3.887,4.276,4.651,2.117]; >> a=polyfit(x,y,length(x)-1) a=
ya yq yb yr
其中 yq 是商, yr 是除法的余数。多项式 yq 和 yr 可由命令deconv算出。
例：[q, r]=deconv(a,b)
•例 >> a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18]; >> c=conv(a,b) c=
6 -195 432 -453 9 -792 -162 >> [q,r]=deconv(c,b) q=
两个多项式的和与差：
ya a1xm a2 xm1 am x am1 yb b1xn b2 xn1 bn x bn1
命令poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为: c= poly_add(a,b)
多项式a减去b，可表示为: c= poly_add(a,-b)(p1,p2) b:求和后的系数数组
2 -5 6 -1 9 r=
• polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。 例： y 3x4 7x3 2x2 x 1 计算y(2.5)
>> c=[3,-7,2,1,1]； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi =
23.8125 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也
为与xi长度相同的向量。 >> c=[3,-7,2,1,1]; xi=[2.5,3]; >> yi=polyval(c,xi) yi =
• 幂系数：在MATLAB里，多项式用行向量表示，其 元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。
例： y 2x3 x2 4x 5
被表示为 >> p=[2 1 4 5] >> poly2sym(p) ans = 2*x^3+x^2+4*x+5
• Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。
• poly_add.m function p3=poly_add(p1,p2) n1=length(p1); n2=length(p2); if n1==n2 p3=p1+p2;end if n1>n2 p3=p1+[zeros(1,n1-n2),p2];end if n1<n2 p3=[zeros(1,n2-n1),p1]+p2;end
例： >> r=roots(p) 得到 r= 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000
所有零点由一个列向量给出。
• Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差 一个常数倍。 例： >> poly(r)
ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000 注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。
例： y (x 1)6 x6 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1
>> r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) r=
1.0042 + 0.0025i 1.0042 - 0.0025i 1.0000 + 0.0049i 1.0000 - 0.0049i 0.9958 + 0.0024i 0.9958 - 0.0024i 舍入误差的影响，与计算精度有关。
第五章 多项式、插值与数据拟合
• 多项式MATLAB命令 • 插值
– Lagrange插值 – Hermite插值 – Runge现象和分段插值 – 分段插值 – 样条插值的MATLAB表示
• 数据拟合
–多项式拟合 –函数线性组合的曲线拟合方法 –最小二乘曲线拟合 –B样条函数及其MATLAB表示
5.1 关于多项式MATLAB命令
-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 >> poly2sym(a) ans = -403/2000*x^3+2877/2000*x^2-27477/10000*x+5437/1000
多项式为 y 0.2015x3 1.4385x2 2.7477x 5.4370 Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。