第一章能带理论

dE = F = F ds Vdt
dE 1 dE = FV = F dt h dk
dE dE dk = dt dk dt
dk dk F =h ∝ dt dt d(hk) d(moV) F= = = moa dt dt F a= mo
二、半导体中的电子： 半导体中的电子：
1.速度 V 速度 晶体中作共有化运动的电子平均速度: 晶体中作共有化运动的电子平均速度
（1）每隔 1/a 的 k 表示的是同一 个电子态； 1/a （2）波矢 k 只能取一系列分立的值，对有限 晶体，每个 k 占有的线度为1/L； 占有的线度为1/L
E（k）- k的对应意义： 的对应意义：
（1）一个 k 值与一个能级（能量状态）相对应； 值与一个能级（能量状态） （2）每个布里渊区有N（N：晶体的固体 物理 ）每个布里渊区有N 学原胞数）个 k 状态，故每个能带 中有N 中有N 个能级； （3）每个能级最多可容纳自旋相反的两个电子， 故每个能带中最多可容纳 2N 个电子。
能带论
♣用单电子近似法研究晶体中电子 状态的理论。 状态的理论。
一.能带论的定性叙述 能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态 孤立原子中的电子状态
n:1,2,3,…， ♣主量子数 n:1,2,3,…，决定能量的主要因素
♣角量子数 l：0，1，2，…（n－1），决 ），决 ： ， ， ， （ － ），
满带，即价带 满带，
2s和2p能级分裂的两个能带 2s和2p能级分裂的两个能带
二、半导体中电子的状态和能带
波函数： 波函数：描述微观粒子的状态 薛定谔方程：决定粒子变化的方程 薛定谔方程：
d [− 2 + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) 2 8π m dr
h
2
2
1.自由电子 1.自由电子
3、纤锌矿型结构
材料: 材料 Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、CdS、CdSe 化学键: 共价键+ 化学键: 共价键+离子键 (离子键占优势） 离子键占优势） (001)面是两类原子各自 组成的六方排列的双原子 层按ABABA…顺序堆积
4、氯化钠型结构
不以四面体结构结晶
材料: Ⅵ 材料 IV-Ⅵ族二元化合物半导体
第一章 半导体中的电子状态
半导体的晶格结构和结合性质 半导体中电子状态和能带 半导体中电子的运动和有效质量 半导体中载流子的产生及导电机构 半导体的能带结构
§1·1 半导体的晶体结构和 结合性质
1、金刚石型结构和共价键
化学键: 构成晶体的结合力. 化学键: 构成晶体的结合力. 共价键: 由同种晶体组成的元素半导体, 共价键: 由同种晶体组成的元素半导体,其
h d + V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2m dx
2 2
V ( x) = V ( x + na )
布洛赫定理 : ψ ( x ) = e
其中： 其中：
− ikx
uk ( x)
uk (x) = uk (x +na)
布洛赫函数 uk(x), 是一个具有晶格
b. p 能级（l=1, ml=0,±1）
一个 p 能级对应三个状态，三度简 并；N 个孤立原子→3N 度简并。 N 3N
组成晶体后，p 能级分裂成 3N 个级。
c. d 能级（l=2, ml=0,±1,±2）
d 能级，N 个原子组成晶体后，d 能级 分裂成 5N 个能级。
能带
原子级能
原子轨道
2、闪锌矿结构和混合键
材料: 材料 Ⅲ-Ⅴ族和Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、GaAs、GaP
化学键: 共价键+ 化学键: 共价键+离子键
(共价键占优势）
极性半导体
闪锌矿结构的结晶学原胞
立方对称性
沿着[111]方向看，（111）面以双原子 方向看，（ 沿着 方向看，（ ） 层的形式按ABCABCA…顺序堆积起来。 顺序堆积起来。 层的形式按 顺序堆积起来
因此，在半导体中存在两种载流子： 因此，在半导体中存在两种载流子： 电子； 空穴； （1）电子； （2）空穴； 而在本征半导体中，n=p。 而在本征半导体中，n=p。
空穴与导电电子 空穴 导电电子
§1.2 半导体中电子的运动 －－有效质量 －－有效质量 一、自由空间的电子
从粒子性出发, 从粒子性出发 它具有一定的质量 m0和 运动速度 V, 它的能量E和动量P分别为:
1 2 E = m0V 2
P = m0V
从波动性出发, 电子的运动看成频率为ν、 从波动性出发 波矢为 K 的平面波在波矢方向的传输过程.
E = hv
p = hk
1.能 E(k) 量
德布罗意关系
E
1 (hk) 2 E = moV = 2 2m0
2
0
k
自由电子E与 自由电子 与k 的关系
2. 速度 V(k)
周期的周期函数, n 为任意整数, a 为晶 格周期.
n ψ k ψ k = u k ( x)u k ( x) , 其波矢k = 2a
∗ ∗
分布几率是晶格的周期函数，但对每个原胞 的相应位置，电子的分布几率一样的。 波矢k 波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。
3. 布里渊区与能带
简约布里渊区 能带
d − 2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2 8π m dx
h
2
2
ψ ( x ) = Ae
Ψ Γ π 2 k ψ *ψ = A , 其波矢 Γ = λ
− ikx
电子在空间是等几率分布的，即自由电子在 空间作自由运动。
微观粒子具有波粒二象性
由粒子性
p = m0V 1 1 p 2 E = m0V = 2 2 m0
2
1 E 2 k2 E(k) − E(0) = 2 k k=0
电子共有化运动示意图
3s
○
3s
○
3s
○
3s
○
2p
○
2p
2p
2p
○
○ ○
○ ○ ○ ● ○
○
○
(2)能级分裂 a. s 能级 设有A、 两个原子 设有 、B两个原子 孤立时, 波函数（描述 描述 微观粒子的状态）为 微观粒子的状态） ψA和ψB,不重叠. 简并度=状态/能级数 =2/1=2
孤立原子的能级
原子间无电负性差, 原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起. 合在一起.
共价键的特点
饱和性 方向性 正四面体结构
Ge: a=5.43089埃 Si: a=5.65754埃
金刚石型结构的晶胞
金刚石型结构{100}面上的投影：
金刚石结构的半导体： 金刚石结构的半导体： 金刚石、 金刚石、硅、锗
注意: 注意 ♣ 能带的宽窄由晶体的性质决定, 与晶体中含的原子数目无关, ♣ 但每个能带中所含的能级数目与 晶体中的原子数有关。
电子填充允许带时,可能出现 电子填充允许带时 可能出现: 可能出现 电子刚好填满最后一个带 →绝缘体和半导体 绝缘体和半导体 最后一个带仅仅是部分被电子占有 →导体 导体
能量E
允带
{ {
{
d 禁带 p 禁带
s
原子能级分裂为能带的示意图
s 能级：共有化运动弱，能级分裂 晚，形成能带窄；
p、d 能级：共有化运动强，能级 分裂早，形成的能带宽。
实际晶体的能带不一定同孤立原子的 某个能级相当。 某个能级相当。
金刚石型结构价电子的能带
对N个原子组成的晶体:共有4N个价电子 个原子组成的晶体:共有4N个价电子 空带 ，即导带
1 dE(k) V= h dk
设导带底或价带顶位于 k=0, 则
dE = 0,V = 0 dk
以一维情况为例： 设 E(k)在 k=0 处取得极值，在 极值附近按泰勒级数展开： 展开： 展开
dE E(k) = E(0) + ( )k=0 K dk
1 dE 2 + ( 2 )k=0 k +...... 2 dk
本征激发 当温度一定时， 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导 带电子的过程 。
激 发 前： 激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴） 空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电 荷的准粒子 荷的准粒子的导电作用。 准粒子的导电作用。
空穴的主要特征： 空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； 荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； 空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n C、EP=-En D、mP*=-mn* *=-
微分, 对 E(k)微分 得到 微分
dE hk =h dk m o
3. 加速度 a
p hk 1 dE V= = = mo mo h dk
当有外力 作用于电子时, 时间内, 当有外力 F 作用于电子时 在 dt 时间内 电子 位移了ds 距离, 位移了 距离 那么外力对电子所作的功等于 能量的变化, 能量的变化 即:
能带图可简化成:
Ec 电 子 能 量 Eg Ev
禁带宽度
Eg = EC − EV
半满带
导带 导带 禁带 禁带 价带 绝缘体 价带 半导体 满带 导体
绝缘体、 绝缘体、半导体和导体的能带示意图
绝缘体的能带宽度：6~7ev 半导体的能带宽度：1~3ev
常温下： Si：E Si Eg=1.12 eV Ge: Eg=0.67 eV GaAs: Eg =1.43 eV
定角动量， 定角动量，对能量有一定影响 ♣磁量子数 ml：0，±1，±2，…±l，决定 ， ， ， ±， L的空间取向，引起磁场中的能级分裂 的空间取向， 的空间取向
♣自旋量子数 ms：±1/2，产生能级精细结构 ，
2.晶体中的电子 晶体中的电子 （1）电子的共有化运动 ）
在晶体中， 在晶体中，电子由一个原子转移到相 邻的原子去，因而， 邻的原子去，因而，电子将可以在整 个晶体中运动。 个晶体中运动。
硫化铅、硒化铅、 例: 硫化铅、硒化铅、 碲化铅等
§ 1.2 半导体中电子的状态 与能带的形成
研究固态晶体中电子的能量状态的方法
单电子近似
单电子近似 单电子近
♣ 假设每个电子是在周期性排列且固定不动的 原子核势场及其他电子的平均势场中运动， 原子核势场及其他电子的平均势场中运动， 该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。 ♣ 该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
E（k）
自 由 电 子
}允带
}允带
-π/1 0 π/1
k
} 允带
♣ 禁带出现在布里渊区边界（k = n/2a）上。 禁带出现在布里渊区边界（ ） ♣ 每一布里渊区对应于每一能带。 每一布里渊区对应于每一能带。
n E(k) 是 k 的周期性函数 E ( k ) = E (k + ) a
布里渊区的特征： 布里渊区的特征：
n k= (n = 0 , ± 1, ± 2, ⋅ ⋅⋅)时， 2a 能量不连续，形成允带和禁带。 能量不连续，形成允带和禁带。
♣允带出现在以下几个区（布里渊区）中： 允带出现在以下几个区（布里渊区） 1 1 <k< 第一布里渊区 − 2a 2a
1 1 第二布里渊区 − < k < − , a 2a 3 1 <k<− , 第三布里渊区 − 2a a 1 1 <k< 2a a 1 3 <k< a 2a
A . B 两原子相互靠近 两原子相互靠近, 电子波函数应是ψA和ψB 的线形叠加: ψ1 = ψA + ψB ψ2 = ψA - ψB →E1 →E2
四个原子的能级的分裂
● 当有 N 个原子时：
相互中间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 相互靠近组成晶体后： ♣ 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级 准连续能级，简并消失。 准连续能级 ♣ 这N个能级组成一个能带，称为允带 个能级组成一个能带， 允带。 个能级组成一个能带 称为允带 N≈1022~1023/cm3
2Leabharlann Baidu
由德布罗意关系
E = hν p = hk
hk V= , m0
hk E= 2m0
2
2
波矢k描述自由电子的运动状态。 波矢
2. 晶体中的电子
一维理想晶格
（1）一维理想晶格的势场和 电子能量E（ｋ） 孤立原子的势场是：
N个原子有规则的沿x轴方向排列：
v
a
x
晶体的势能曲线
电子的运动方程（薛定谔方程） 电子的运动方程（薛定谔方程）为
导体、 三、 导体、绝缘体和半导体的能带
1.导体的能带 导体的能带
3s 2p 2s 1s
11#Na,它的电子组态是:1s22s22p63s1
2.绝缘体和半导体的能带 绝缘体和半导体的能带 6#C电子组态是:1s22s22p2
2p 2s 1s
（1）满带中的电子不导 电 I（k）=-I（-k） 即是说，+ 态和即是说，+k态和-k态的 电子电流互相抵消。 电子电流互相抵消。 （2）对部分填充的能带， 对部分填充的能带， 将产生宏观电流。 将产生宏观电流。