数学分析(1)(证明部分集锦新)
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数列极限类 1. 证明: 11
2
11
1lim 2
2
2
=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++
+++
+∞→n n n n n . 证 因为
1
1
2
11
12
2
2
2
2
+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++
+++
+≤+n n n n n n n n n
又11
lim
lim
2
2
=+=+∞
→∞
→n n n
n n n n ,由迫敛原理得
11
2
11
1lim 2
2
2
=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++
+++
+∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得
a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111
,即{}n a 有下界.
又021212
1
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =
∞
→lim .
单调性的证明也可如下完成: 11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n
n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
≤+2
121. 3. 设() ,2,16,1011=+=
=+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.
证 由4166,10121==
+==x x x 知,
21x x >.假设1+>k k x x ,则
21166+++=+>
+=
k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所
以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞
→lim ,对n n x x +=
+61两
边取极限得0662
=--⇒+=
a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞
→n n x .
4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞
→n n n a b .求证极限n n a ∞
→lim 与
n n b ∞
→lim 存在且等于A .
证 由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞
→lim ,再由
()0lim =-∞
→n n n a b 及A a n n =∞
→lim 可得n n b ∞
→lim 存在且等于A .
5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +=
=>=>=++2
1,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}
n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞
→∞
→=lim lim .
证 因为()112
1++=+≤
=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤
+=
+2
12
11,
即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥
=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上
界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.
在
()12
1+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞
→∞
→=lim lim .
6. 设0>n a ,且1lim
1<=+∞
→q a a n
n n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞
→n n a .
证 因为1lim
1<=+∞
→q a a n
n n ,对给定的+
N ∈∃>-=
00,02
1N q ε,当0N n >时,有
()n n n
n n
n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=
-+
<<
--
⇒-<
-+++11112
12
12
12
1,
所以,当0N n >时,有11
2210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞
→n n a .
闭区间上连续函数的性质
7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
2,
2ππ内至少有一个根. 证 令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,2ππ上连续,且2
2π
π-=⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
f , 222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ,
使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
2,
2ππ内至少有一个根.