华南师范大学考研数学分析试题汇总

一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4

sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n

n a a n n a 则 π

；

2.设处连续；

在则为无理数

为有理数

____)(, , ,)(=∈⎩⎨

⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1

0=+⎰∞→dx x

x n n 4._________;)cos (sin lim 1

=+→x

x x x

5.方程)(032

为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;

__________),1()(1122=>+=

++⎰n n n n I I n n a x dx

I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0

==

⎰

+du t f dt t f y x u y

x 是可微函数，则

8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;

9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2

=x 10.曲线π20,sin ,cos 3

3

≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞

→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或

最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(2

2

2

y

z

yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：

xz y

z xy x z z y x 22)

(222=∂∂+∂∂--.

四、（12分）求极限：)22211(

lim 222n

n n

n n n n n ++++++++∞

→ .

五、（12分）已知a,b 为实数，且1

a

b b a ln ln )1(1+>+）（.

六、(12分)计算曲面积分：.3

2dxdy z dzdx y xdydz I S

++=⎰⎰

其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.

七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,

∑∞

=1

)(n n

x u

在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证

明：∑∞

=1

)(n n

x u

在[a,b]上一致收敛于f(x).

2003年华南师范大学数学分析

一、(12分)求极限).)

12)(12(1531311(

lim +-++⋅+⋅∞

→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D

⎰⎰

-≤≤-≤≤-=求积分

三、(12分)证明

∑∞

=+13

31n x

n nx

在[a,b]上一致收敛(其中，0

=+1

3

31n x n nx

在(0,+∞)上连续.

四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333

132+-⎰，其中，12:2

2=+y x L ，取逆时针方向。

五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f a

x +→和)(lim x f x +∞

→都存在(有限)，那

么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、(15分)设

dx y x f a

⎰

+∞

),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)

关于x 在[a,+∞)上单调减少。求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.

2004年华南师范大学数学分析

1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n n

a n

n 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。

2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,1sin )(2

x x x

x x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。

3.(12分)求幂级数n n n n x n )21

(])1(2[1

--+∑∞

=的收敛半径和收敛域。

4.(12分)求函数⎩⎨

⎧<≤<≤-=ππx x x f 0

,00

,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：

++-+++-1

21

)1(51311n n 的和。

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

b a b f f ln ln )

)(()(--'='ηξξ。

6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明：

dS z y x f dxdydz z y x f dr d

M B M B r r ⎰⎰⎰⎰⎰∂=)

()(00),,(),,(

2005年华南师范大学数学分析