广义特征子群的某些判定与广义作用

义作用 ， 推广 了一 些 已知 的结 果． 文 中恒 以 Ｇｕ ｔ （ Ｇ） 表示 Ｇ的广 义 自同构 群［ 】 ］ ， 用 Ｍ＜ ・ Ｇ表示 Ｍ 是 Ｇ 的 极 大 子群 ， 其 他所 用 的符 号和 术语 都是 规 范 的．
１ 基 本 定 义及 引理
定义 １ ［ １ ３ 设 Ｇ和 Ｈ 是 给定 的有 限群 ， 若 是 Ｈ 到 Ｇｕ ｔ （ Ｇ）内的一个 同态映射 ， 则 称 为 Ｈ 在 Ｇ 上 的
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５ １ ６ ・
内蒙古师范大学学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
第４ ２ 卷
证 明 因为 Ｐ是 Ｇ 的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ ｐ －子群 ， 设 ｌ Ｐ Ｉ —Ｐ ， 则
类似 ， 记 Ｇ的 全体 中心 广义 内 自同构组 成 的集合 为 Ｃ 。 ， ． 定义 ４ 设 Ｇ是 群 ， Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， ０ ｔ Ｅ Ｇｕ ｔ （ Ｇ） ， 若ｇ ｇ 。Ｅ Ｈ， Ｖ ｇ Ｅ Ｇ， 则 称 ａ为 Ｇ 的 Ｈ一 广义 自同构． 记 全 体 Ｈ一 广 义 自同构 为 Ｈ 引理 １ ［ １ ， 不 区分 Ｈ 的情 况下 统称 为特 征广 义 自同构 ． 由文 献 ［ １ ４ ］的定 理 ５知 ， Ｚ（ Ｇ） ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， 所 以 Ｈ一 广 义 自同构 是 中心广 义 自同构 的推 广． 设 Ｈ Ｇ， （ １ Ｈ ｌ ，ｌ Ｇ： Ｈ １ ） 一１ ， 则 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ ．
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２ － １ ２ — １ ６ 基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ １ ０ ９ ６ １ ０ ０ ７ ） ；云 南 省 教 育 厅 科 学 研 究 基 金 一 般 项 目（ ２ ０ １ ２ Ｙ ４ ３ ５ ） 作 者 简 介 ：刘 秀（ １ ９ ８ Ｏ 一） ， 女， 广西玉林人 ， 昭通 学 院讲 师 ， 主要 从 事 有 限群 论 研 究 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： １ ２ ３ ５ ４ ９ ５ ７ ０ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
第 ４ ２ 卷 第 ５ 期
２ ０ １ ３年 ９月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ Ｍｏ ｎ ｇ ｏ ｌ ｉ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
２ 主 要 结 果
定理 １ 设 Ｇ是 群 ， 若 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， Ｋ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， 则 ＨＫ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， Ｈ ｎ Ｋ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ． 证 明 由于 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， Ｋ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， 则 ＨＫ ≤ Ｇ， Ｈ ｎ Ｋ ≤ Ｇ， 且 Ｖ ｄ Ｅ Ｇ ｕ ｔ （ Ｇ） ， 有 Ｈ
来自百度文库
通过 研究 自同构 群来 刻 画有 限群 结构 一 直是 活跃 的研究 课 题 ［ １ 刮， 群 在 群 上 的作 用 、 中心 自同构 及 特征
自同构等 都可 看 做是对 自同构 群 的研究
． 本 文在 前人 及 文 献 ［ １ ｌ 一 １ ６ ］ 的 基 础上 ， 研 究 广 义 特征 子 群及 广
从 而
Ｈ， Ｋ
Ｋ，
（ ＨＫ ） 。 ＝ ＝ ： Ｈ Ｋ 故 ＨＫ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， Ｈ ｎ Ｋｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ．
ＨＫ ， （ Ｈ ｎ Ｋ）
Ｈ。ｎ Ｋ
Ｈ ｎ Ｋ，
定理 １ 可 推广 到有 限个 广 义特 征子 群 的情 形．
定理 ２ 设 Ｈ ≤ Ｇ， （ １ Ｈ Ｉ ，Ｉ Ｇ： Ｈ １ ） 一１ ， 则 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ 当且仅 当 Ｈ Ｇ． 证 明 若 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ， 显 然 Ｈ Ｇ ． 反之 ， 若 Ｈ Ｇ， 则 由引理 １ 得 Ｈｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ ． 定理 ３ 设 Ｇ是有 限 群 ， Ｐ Ｇ， 若 Ｐ是 Ｇ的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ ｐ －子群 ， 则 Ｐ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ．
Ｖｏ １ ． ４２ ＮＯ ．５
Ｓｅ ｐｔ ． ２０１ ３
广 义 特 征 子 群 的 某 些 判 定 与 广 义 作 用
刘 秀 ，韦华全 ，杨 惠 娟
（ １ ． 昭 通 学 院 数 学 与 统 计 学院 ， 云南 昭通 ６ ５ ７ ０ ０ ０ ；２ ． 广 西师 范 学 院 数 学科 学 学 院 ， 广西 南 宁 ５ ３ ０ ０ ２ ３ ）
摘 要 ： 给 出有 限 群 是 广 义 特 征 子 群 的 几 个 判 定 ， 提 出 中 心 广 义 自同 构 和 特 征 广 义 自 同 构 两 个 概 念 ， 推 广 了
一
些 已知的结果．
关 键词 ： 有 限群 ； 广义特征子 群 ； 特 征 广 义 自同 构 ； 广 义作 用
中 图 分 类 号 ：Ｏ １ ５ ２ 文 献标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １ — ８ ７ ３ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ５ １ ５ － ０ ３
广 义作 用 ． 规定 ｇ ＝ ＝ ＝ ｇ ， 即 Ｈ ≤ Ｇｕ ｔ （ Ｇ） ． 定义 ２ ｃ ¨ 称 群 Ｇ 的子群 Ｈ 为 Ｇ 的广 义特 征子 群 ， 如果 Ｈ。 Ｈ， Ｖ ａ Ｅ Ｇｕ ｔ （ Ｇ） ， 记作 Ｈ ｇ ｃ ｈ ａ ｒ Ｇ ． 定义 ３ 设ａ Ｅ Ｇｕ ｔ （ Ｇ ） ， 满足 ｇ ｇ 。 Ｅ Ｚ（ Ｇ） ， Ｖ ｇ Ｅ Ｇ， 则称 Ｏ ／ 为 Ｇ的 中心广 义 自同构 ． Ｇ的全 体 中心广 义 自同构组 成 的集 合记 作 Ｃ 。 。 ．