六年级奥数:不定方程(二)

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六年级奥数第28讲:不定方程

六年级奥数第28讲:不定方程

简单的不定方程所谓有定方程,是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

解不定方程的方法是:(1)根据整除知识,缩小未知数的取值范围,然后试算求解。

(2)分析末位数字,缩小未知数的取值范围,寻求方程的整数解。

(3)求出一个未知数用另一个未知数表示的式子,然后试算求解。

(4)直接根据方程确定未知数的取值范围,通过试算求解。

例1、马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职。

甲公每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元。

年终,马小富从两家公司共获薪金7 620元。

问他在甲公司打工多少个月,在乙公司兼职多少个月。

做一做:有A、B、C三种商品若干,价值共300元,其中A商品单价为16元,B商品单价为158元,C商品单价为19元。

那么,全部C商品至少价值多少元?最多价值多少元?例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管,每锯一次都损耗1毫米铜管,那么,只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时,所损耗的铜管才能最少?做一做:一个同学把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和是170,你知道他出生于何月何日吗?例3、某单位的职工到效外植树,其中的男职工,也有女职工,并有31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们共种了216棵树,那么其中女职工有多少人?做一做:一群猴子采摘水蜜桃。

猴王不在的时候,一只大猴子1小时可采摘15千克,一只小猴子1小时可采摘11千克;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺候猴王,有一天采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共摘3 382千克水密桃。

问:在这个猴群中,共有大猴子多少只?例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。

已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和,第四天看的页数是第五天至少看了多少页?做一做:有一堆围棋子,白子颗数是黑子颗数的3倍。

六年级奥数第23讲 - 不定方程

六年级奥数第23讲 - 不定方程
【例题精讲】
【例1】求3x+4y=23的自然数解。
解:先将原方程变形, 。可列表试验求解:
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为 或
【变式1-1】求3x+2y=25的自然数解。
【变式1-2】求4x+5y=37的自然数解。
【例2】求方程组的自然数解:
解:这是一个三元一次不定方程组。解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程:
解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。
【例5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。问:一、二、三等奖的学生各有几人?
解:设一等奖有x人,二等奖有y人,三ห้องสมุดไป่ตู้奖有z人。则
由 ×2- ,得12x+5y=22,可得
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18

19

小学奥数知识点:不定方程

小学奥数知识点:不定方程

小学奥数知识点:不定方程
一次不定方程:含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法:观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程:含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;
多元不定方程解法:根据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点:列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤:1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结:A、写出表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数,同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧:消掉范围大的未知数;。

六年级奥数不定方程

六年级奥数不定方程

六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。

要想获得未知数的唯一解,能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。

如果方程个数少于未知数的个数,则称之为不定方程或不定方程组,以为此时未知数一般有无数多个解,解是不确定的。

但如果结合具体问题,增加一些对解的限制条件,如只求自然数解等,这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。

必须注意,限制条件中,有些是明显的,有些则是隐藏的。

2、求不定方程的自然数解或正整数解,关键是充分利用整除特征,尝试找出第一解;对于其他的所有解,可通过解的规律,逐一罗列出来,并不困难。

【例题精讲】例1:求下列方程的整数解(x>0,y>0)。

(1)5x+10y=14;(2)11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5,而14没有公因数5,所以原方程无整数解;y=29-3211x,11x-2能被3整除且x<9。

模仿练习:(1)求满足方程5x+3y=40的自然数解。

(2)设A 和B 都是自然数,且满足11A +7B =7757,求A+B 的值。

例2:某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带了一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵树,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3y x +人,这个条件说明3|x+y 。

模仿练习:某小学共有大、中、小宿舍12间,能住80人。

每间大宿舍能住8人,每间中宿舍能住7人,每间小宿舍能住5人。

问中、小宿舍共有多少间例3:有四个自然数A 、B 、C 、D ,它们的和不超过除以B 商5余5;A 除以C 商6余6;A 除以D 商7余7,这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7,A 一定是5,6,7的公倍数。

模仿练习:有三张扑克牌,牌的数字各不相同,并且都小于10,把三张牌洗好后,分别发给甲、乙、丙三人,每人记下自己牌的数字,再重新洗牌、发牌、记数。

六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用

六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用

六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理:在列方程组解答应用题时,有两个未知数,就需要有两个方程。

有三个未知数,就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时,这样的方程称为不定方程,为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中,有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础,无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的,从一般情况来说,有无数多个解。

不过,我们要注意到它的“预定义”条件,比如未知项是自然数,比如在数位上的数码不仅是自然数,而且是一位数等等,甚至题干中直接给出限制条件,这样,就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂,有时无法得出方程的解,有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围,会有可能求出唯一的解或几种可能的解(而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系)。

解答这类方程,必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理,才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数,27为奇数,所以5x 为奇数,即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x +10y =34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得 2x +5y =17,5y 的个位是0或5两种情况,2x 是偶数,要想和为17,5y 的个位只能是5,y 为奇数即可;2x 典型例题的个位为2,所以x 的取值为1、6、11、16……x =1时,17-2x =15,y =3,x =6时,17-2x = 5,y =1,x =11时,17-2x =17 -22,无解所以方程有两组整数解为:16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ,B 都是正整数,并且满足3317311=+B A ,求B A +的值。

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
「分析」采购员要买多少个大盒,多少个小盒?大盒个数与小盒个数之间有什么联系?
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕.一个大蛋糕恰好够7个人吃,一个小蛋糕恰好够4个人吃,现在有100个人要吃蛋糕,应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费?如果每个大蛋糕10元,每个小蛋糕7元,那么至少要花多少钱?
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可,但有的问题除了要求“解必须是自然数”外,还会有一些其它的约束.下面我们就来看几道这样例题.
例3.甲、乙两个小队去植树.甲小队有一人植树12棵,其余每人植树13棵;乙小队有一人植树8棵,其余每人植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小队植树的棵数都是四百多棵.问:甲、乙两小队共有多少人?
「分析」不妨设甲小队有 人,乙小队有 人.由“两小队植树棵数相等”,你能列出一个关于 与 的不定方程吗?所列出来的不定方程又该如何求解?
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书.已知甲班有1人捐6册,有2人各捐7册,其余都各捐11册;乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余各捐10册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册,且每个班捐赠的册数都在400与600之间.各班各有多少人?48,49,41
例题3.答案:76
详解:设甲、乙两小队分别有 人和 人.则两队植树棵数分别为 棵和 棵.由分析得: .将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数,可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ,此时每队的植树棵数均为38棵.
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到(也就是方程的其他所有自然数解是 , , ,……),每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵,38棵要变为四百多棵,意味着要增加3次,符合要求的自然数解是 .所以甲队有33人,乙队有43人,两队共有 人.

六年级奥数学练习试卷思维培训资料 方程解应用题 (2)

六年级奥数学练习试卷思维培训资料 方程解应用题 (2)

名校真题 测试卷12 (方程篇)时间:15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 (06年清华附中考题)10名同学参加数学竞赛,前4名同学平均得分150分,后6名同学平均得分比10人的平均分少20分,这10名同学的平均分是________分.2 (06年西城实验考题)某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。

每本的单价是:甲种4元,乙种3元,丙种2元,丁种1.4元。

如果甲、丙两种本数相同,乙、丁两种本数也相同,那麽丁种练习本共买了_________本。

3 (02年人大附中考题)某商店想进饼干和巧克力共444千克,后又调整了进货量,使饼干增加了20千克,巧克力减少5%,结果总数增加了7千克。

那么实际进饼干多少千克?4 (03年北大附中考题) 六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁,有43的学生年龄为12岁,其余学生年龄为11岁,这个班学生的平均年龄是_________岁。

5 (06年西城外国语考题)某个五位数加上20万并且3倍以后,其结果正好与该五位数的右端增加一个数字2的得数相等,这个五位数是__________。

【解】:设这个五位数为x ,则由条件(x+200000)×3=10x+2,解得x =85714。

6 (06年北京二中题)某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.5元,若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收取较高的定额费用,1月份,张家用水量是李家用水量的32,【附答案】1 【解】:设10人的平均分为a 分,这样后6名同学的平均分为a-20分,所以列方程: [ 10a-6×(a-20)]÷4=150 解得:a=120。

2 【解】:设甲、丙数目各为a ,那么乙、丁数目为226400a-,所以列方程 4a+3×226400a -+2a+1.4×226400a-=16000 解得:a=1200。

六年级奥数不定方程

六年级奥数不定方程

第六讲不定方程【知识重点】1、很多半学家需要用方程或方程组来求解。

要想获取未知数的独一解,能独立列出的方程个数一定与未知数的个数相等。

假如方程个数少于未知数的个数,则称之为不定方程或不定方程组,认为此时未知数一般有无数多个解,解是不确立的。

但假如联合详细问题,增加一些对解的限制条件,如只求自然数解等,这样的不定方程的解就只有有限个或独一一个了。

一定注意,限制条件中,有些是显然的,有些则是隐蔽的。

2、求不定方程的自然数解或正整数解,重点是充足利用整除特点,试试找出第一解;关于其余的全部解,可经过解的规律,逐个排列出来,其实不困难。

【例题精讲】例1:求以下方程的整数解(x>0,y>0)。

(1)5x+10y=14;(2)11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5,而14没有公因数5,因此原方程无整数解;y=29-11x2,11x3-2能被3整除且x<9。

模拟练习:(1)求知足方程5x+3y=40的自然数解。

A B57(2)设A和B都是自然数,且知足 + = ,求A+B的值。

例2:某单位员工到郊野植树,此中1的员工各带了一个孩子参加,男员工每人种13棵树,3女员工每人种10棵,每个孩子种6棵树,他们共种了216棵树,那么此中有女员工多少人?【思路点拨】设有女员工x人,男员工y人,那么有孩子x y人,这个条件说明3|x+y。

3模拟练习:某小学共有大、中、小宿舍12间,能住80人。

每间大宿舍能住8人,每间中宿舍能住7人,每间小宿舍能住5人。

问中、小宿舍共有多少间?例3:有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超出除以B商5余5;A除以C商6余6;A除以D商7余7,这四个自然数的和是多少?【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7,A必定是5,6,7 的公倍数。

模拟练习:有三张扑克牌,牌的数字各不同样,并且都小于10,把三张牌洗好后,分别发给甲、乙、丙三人,每人记下自己牌的数字,再从头洗牌、发牌、记数。

(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)

(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)

不定方程如$知识梳理]在列方程组解答应用题时,有两个未知数,就需要有两个方程。

有三个未知数,就需要有三个 方程。

当未知数的个数多于方程的个数时, 这样的方程称为不定方程,为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中,有着举足 轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础,无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的,从一般情况来说,有无数多个解。

不过, 我们要注意到它的“预定义”条件,比如未知项是自然数,比如在数位上的数码不仅是自然数,而 且是一位数等等,甚至题干中直接给出限制条件,这样,就使得不定方程的解“定”下来了。

这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂,有时无法得出方程的解,有时又会出现多个解。

如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围,会有可能求出唯一的解或几种可能的解(而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系)。

解答这类方程,必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理,才能正确 求解。

特色讲解]【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数,27为奇数,所以5x 为奇数,即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况,2x 是偶数,要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可;2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时,17-2x = 15, y = 3, x= 6 时,17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时,17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为:dx 1 x y 3,y【例2】★ 设A , B 都是正整数,并且满足 A11[解析]3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数,所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★(北大附中入学考试真题) 14个大、中、小号钢珠共重 100克,大号钢珠每个重 12克,中号每个重 8克,小号每个重 5克。

小学六年级奥数 第八章 不定方程

小学六年级奥数 第八章 不定方程

第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数,此方程(组)称为不定方程(组)。

如x+y=10,1512x ay a-=⎧⎨+=⎩,。

不定方程(组)的解是不确定的。

一般地,如果没有给不定方程的制约条件,那么它就有无限多个解。

小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。

关于参数方程,就是有时题中给的条件过少,就设一个未知数参与运算,这个参数不影响结果。

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0,得到的三位数比原两位数的8倍小1,原来的两位数是。

点拨根据题意,可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。

解设原来的两位数是ab=10a+b,则新数是0a b=100a+b。

依题意得 100a+b+1=8(10a+b)即 20a+1=7b所以 a=71 20 b-因为a,b是整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,所以 a=1,b=3即原来的两位数是13。

说明如果方程存在的解不止一个,则要逐一解出,并检验,千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。

例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金,一等奖每人1800元,二等奖每人1200元,三等奖每人800元。

每种奖都有人领,共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元,获一、二、三等奖的职工各有多少人?点拨根据题意,一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见,而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出,可列出方程。

解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人,则有1800x+1200y+800z=16000即 9x+6y+4z=80又x+y+z=15,将z=15-x-y代入上式,得9x+6y+60-4x-4y=80整理得 5x+2y=20又x,y,z是正整数,解得 x=2,y=5,z=15-x-y=8。

答:获一等奖的有2人,二等奖的有5人,三等奖的有8人。

例3 100头驴驮100袋物品,一头大驴驮3袋,一头中驴驮2袋,两头小驴驮1袋。

小学奥数 列不定方程解应用题 精选例题练习习题(含知识点拨)

小学奥数  列不定方程解应用题  精选例题练习习题(含知识点拨)

列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数(要尽量小),一个是13的倍数(要尽量大),求这两个数.【巩固】甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖.问:甲、乙二人谁搬的砖多?多几块?【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票,用来付4.7元的邮资,问8角的邮票需要多少张?【例 2】用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为___________________.模块二、不定方程与应用题【例 3】有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶.问:大、小油桶各几个?【例 4】在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各命中多少次.“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4,再把两个得数加起来告诉他,丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数.你知道丁丁和冬冬各命中几次吗?【巩固】某人打靶,8发共打了53环,全部命中在10环、7环和5环上.问:他命中10环、7环和5环各几发?【例 5】某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60元,现在有13的成人各带一个孩子,总共收了2160元,问:这个活动共有多少人参加(成人和孩子)?【巩固】单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有13的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子都种6棵树,他们一共种了216棵树,那么其中有多少名男职工?【例 6】张师傅每天能缝制3件上衣,或者9件裙裤,李师傅每天能缝制2件上衣,或者7件裙裤,两人20天共缝制上衣和裙裤134件,那么其中上衣是多少件?【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面.在这15天内它们共叫了61声.问:波斯猫至少叫了多少声?【例 7】甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A配件与一个B配件组成.甲每天生产300个A配件,或生产150个B配件;乙每天生产120个A配件,或生产48个B配件.为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品?【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件;乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件.现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服?【例 8】有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要48天完成,现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了天.【例 9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数.【巩固】每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人.现有378人,要使每个人都上车且每辆车都装满,需要大、小汽车各几辆?【巩固】小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰:“你养了几只兔和鸡?”小峰说:“我养的兔比鸡多,鸡兔共24条腿.”那么小峰养了多少兔和鸡?【例 10】一个家具店在1998年总共卖了213张床.起初他们每个月卖出25张床,之后每个月卖出16张床,最后他们每个月卖出20张床.问:他们共有多少个月是卖出25张床?【例 11】五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组.若参加A组的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有_______人.【例 12】将一群人分为甲乙丙三组,每人都必在且仅在一组.已知甲乙丙的平均年龄分为37,23,41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29;乙丙两组人合起来的平均年龄为33.则这一群人的平均年龄为.【例 13】14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号钢珠每个重8克,小号钢珠每个重5克.问:大、中、小号钢珠各有多少个?【巩固】袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是43.问:小明最多摸出几个标有数字2的球?【例 14】公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?【巩固】小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分.小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分.问:小明至多套中小鸡几次?【例 15】开学前,宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔,文具店里的圆珠笔每支4元,铅笔每支3元.宁宁买完两种笔后把钱花完.请问:她一共买了几支笔?【巩固】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔多少支.【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有100名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确定了参加决赛的人选.已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%;参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的12.5%,而且比参加初赛的男选手的人数多.参加决赛的男、女选手各有多少人?【巩固】今有桃95个,分给甲、乙两班学生吃,甲班分到的桃有29是坏的,其他是好的;乙班分到的桃有316是坏的,其他是好的.甲、乙两班分到的好桃共有几个?【例 17】甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的2倍;如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的3倍.甲、乙两人共有多少粒糖?【巩固】有两小堆砖头,如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍.如果相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的6倍.问:第一堆中的砖头最少有多少块?【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书,已知甲班有1人捐6册,有2人各捐7册,其余都各捐11册,乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余各捐10册;丙班有2人各卷4册,6人各捐7册,其余各捐9册。

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

第七讲不定方程前我们学习的方程一般都有唯一解,比如方程 3x 4 19只有一个解x 5,方程组x 2y 5只有一组解 2x 3y 8什么样的方程,解不唯一呢?举个简单的例子,二元一次方程唯一,因为每当y 取定一个数值时,x 就会有相应的取值和它对应,使方程成立,这样一来就会有无穷多组解.通常情况下,当未知数的个数大于方程个数时.,这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解.可是方程的解那么多, 究竟哪个才是正确的呢?应该说, 如果不加任何额外的限制条件, 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中,我们通常会限定方程的解必须是自然数,这样一来,往往就只有少数几个解能符合要求,甚至在某些情况下所有的解都不对.x 2y 5的解就不対刖•所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10陕。

一个右程龙么含右两个木 如数啊”这样的力稈论町好 多桦1方程个数小于未知数个数怖方 程如叫不罡方4T.不定方程,顾名思义就是“不确定”的方程,这里的不确定主要体现在方程的解上.之本讲我们要学习的就是这样的一类方程(或方程组):它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:(1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ;(4) 4x 5y 20 .本讲我们要学习的就是这样的一类方程(或方程组) :它们所含未知数的个数往往大于方程的个数, 而未知数本身又有一定的取值范围, 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” .形如 ax by c ( a 、b 、c 为正整数)的方程是二元一次不定方程的标准形式.解 这样的方程, 最基本的方法就是枚举. 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢?我们 下面结合例题来进行讲解.例1.甲级铅笔 7角一支,乙级铅笔 3角一支,张明用 5元钱买这两种铅笔, 钱恰好花完. 请 问:张明共买了多少支铅笔?「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支,乙级铅笔y 支,可以列出不定方程:7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢?x 19 x 22 x 25、、y 4 y 2 y 0的不定方程的自然数解时,我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的次变化 a 得到(注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变)练习 1、(1)求 3x 5y 35的所有自然数解;(2)求11x 12y160 的所有自然数解.般地,如果m是ax nby xmax byc 的一组解,那么yn 这naam abbn abam bn c .另外,也是 ax by c 的一组解,理由相同.2x 这条性质有什么用呢?我们以求x 10一组自然数解x 10.应用上面的规律,y 10 然数),所得结果仍然是x 25都是 2x 3y y0增加 2,所得结果也是 b(当n a 时)也是3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以y 50的自然数解.另外x 每次减少2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了2x 是:因 b . ,(当 m b 时) a我们容易看出它有13 x 16 x 19 x 228 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3(只要 x 还是自然数) ,y 每次 x 7x 4 x 1、、也都y12 y 14 y163y 50的自然数解,所以50 的所有自然数解,它们3y x 每次增加3, y 每次减少2 (只要y 还是自x x 16 y6 ax by c ( a 、b 、c 为正整数)7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每例2.采购员去超市买鸡蛋.每个大盒里有23 个鸡蛋,每个小盒里有16 个鸡蛋.采购员要恰好买500 个鸡蛋,他一共要买多少盒?「分析」采购员要买多少个大盒,多少个小盒?大盒个数与小盒个数之间有什么联系?练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕.一个大蛋糕恰好够7 个人吃,一个小蛋糕恰好够4 个人吃,现在有100 个人要吃蛋糕,应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费?如果每个大蛋糕10 元,每个小蛋糕7 元,那么至少要花多少钱?前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可,但有的问题除了要求“解必须是自然数”外,还会有一些其它的约束.下面我们就来看几道这样例题.例3.甲、乙两个小队去植树.甲小队有一人植树12 棵,其余每人植树13 棵;乙小队有一人植树8 棵,其余每人植树10 棵.已知两小队植树棵数相等,且每小队植树的棵数都是四百多棵.问:甲、乙两小队共有多少人?「分析」不妨设甲小队有X人,乙小队有y人•由“两小队植树棵数相等”,你能列出一个关于x与y的不定方程吗?所列出来的不定方程又该如何求解?练习3、天气炎热,高思学校购置了大、小空调若干.每台大空调每天耗电38 度,每台小空调每天耗电13 度.已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少 1 度.请问:单位里最少购进了多少台空调?例4.将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24 厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不计.问:剩余部分最少是多少厘米?「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子.合金铝管如果刚好能够被用完,方程应该怎么列?列出来的方程有自然数解吗?练习4、酒店里有500 升女儿红,李一白每次路过这里就打走35 升,杜二甫每次路过这里就打走21 升.那么若干天后,酒店剩余的女儿红最少是多少升?二元一次不定方程只要找到一组自然数解,就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解•而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”:鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说:每只公鸡价值5文钱,每只母鸡价值3文钱,每3只小鸡价值1文钱•要想用100文钱恰好买100只鸡,公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?「分析」题中有几个未知量?由这些未知量你能列出几个方程?:;《张丘建算经》■- 张丘建,北魏清河(今山东邢台市清河县)人,中国古代数学家,著有《张丘建算.经》.该书的体例为问答式,条理精密、文辞古雅,是中国古代数学史上少有的杰作.;;《张丘建算经》现传本有92问,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算,:各种等差数列问题的解决,某些不定方程问题的求解. 百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.- 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期•尽管当时的中国战火连年,朝代更迭::频繁,且一直处于分裂状态,但数学发展的脚步依然没有停下•与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》,而与张丘建本人同时代的数学家还有大>名鼎鼎的祖冲之.例6.卡莉娅到商店买糖,巧克力糖13元一包,奶糖17元一包,水果糖7.8元一包,酥糖10.4元一包,最后她共花了360元,且每种糖都买了•请问:卡莉娅买了多少包奶糖?「分析」题目中出现了四种糖果,我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y包、z包和w包,再由已知的单价、总价可以列出方程13x 17y 7.8z 10.4w 360 .这是一个四元一次方程,如果按通常的解法枚举出所有解,势必会有太多可能性需要讨论,过于繁琐•而且题目也没要我们求出所有解,只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果,只求奶糖的数量呢?练习6、求22x 26y 33z 65w 194的所有自然数解.气象学家Lorenz 提出一篇论文,名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风?”论述某系统如果初期条件差一点点,结果会很不稳定,他把这种现象戏称做「蝴 蝶效应」•就像我们投掷骰子两次,无论我们如何刻意去投掷,两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的.Lorenz 为何要写这篇论文呢?这故事发生在1961年的某个冬天,他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时,他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据三个内建的微分方程式,计算出下 一刻可能的气象数据,因此模拟出气象变化图.这一天,Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化, 他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的后续结果•当时,电脑处理数据资料的数度不快,在结果出来之 前,足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵•在一小时后,结果出来了,不过令他目瞪口呆•结 果和原资讯两相比较,初期数据还差不多,越到后期,数据差异就越大了,就像是不同的两 笔资讯.而问题并不出在电脑,问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别•所以长期的准确预测天气是不可能的.蝴蝶效应课 内 外 堂作业5x 2 y 4z 601. (1)求5x 7y 31的所有自然数解;(2)求5x 2y 4z 60的所有自然数解.x 2 y z 362. 在一次植树节的活动中,参加活动的男生每个人种11 棵树,女生每个人种7棵树,最后所有人一共种了100棵树,那么参加活动的一共有多少人?3. 一张纸上写有25个1.21 和25个1.3.现在要划去其中的一些数,使留下来的数的总和为20.08,那么应划去多少个 1.3?4. 樱木同学特别喜欢吃包子,每天早上都到学一食堂买包子吃.(1)第一天早上,樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包,两种包子他都买了.已知冬菜包每个7 角,豆香包每个 5 角,那么樱木同学一共买了多少个包子?(2)第二天早上,樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子.于是樱木邀请晴子一起去吃包子.到学一食堂后,两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串.已知羊肉串每串1 .2元,最后一共花了18元,所点包子与羊肉串数量总和是25.那么两人最多吃了多少串羊肉串?5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书.已知甲班有1 人捐6册,有2人各捐7册,其余都各捐11 册;乙班有 1 人捐6册,3人各捐8册,其余各捐 1 0册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101 册,且每个班捐赠的册数都在400与600之间.各班各有多少人?第七讲不定方程例题:例题1. 答案:14 或10详解:由于方程两边除以 3 的余数相同, 7x 3y x mod3 , 50 2 mod3 ,所以x除以3余2 .又因为7x 50,所以x是不超过7的自然数,只能取2或5.当x 2时,y 50 2 7 3 12 , x y 14;当x 5 时, y 50 5 7 3 5 , x y 10.所以张明共买了14支或10支铅笔.例题2. 答案:26详解:设买了大盒鸡蛋x盒,小盒鸡蛋y盒,则23x 16y 500 .考虑方程两边除以16 的余数,得:7x除以16的余数是4.首先要求7x是4的倍数,所以x是4的倍数,验证x 4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x 12.由于12 16 且14 23,所以方程没有其它自然数解,采购员一共y 14买了12 14 26 盒鸡蛋.例题3. 答案:76详解:设甲、乙两小队分别有x人和y人.则两队植树棵数分别为13x 1棵和10y 2棵.由分析得:10y 13x 1 .将y 0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数,可以求出方程的y值最小的一组自然数解y 4,此时每队的植树棵数均为38棵.x3方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”得到(也就是方程的其他所有自然数解是y 17, y 30, y 43,……),每次“ yx 13 x 23 x 33值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵,38棵要变为四百多棵,意味着要增加 3 次,符合要求的自然数解是y 43.所以甲队有33 人,乙队有x 3343 人,两队共有33 43 76 人.例题4. 答案:8详解:设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子,那么被截出的管子一共长36x 24y厘米.由36,24 12,得:36x 24y一定是12的倍数.而380不是12 的倍数,所以36x 24y 380是没有自然数解的!管子不可能刚好被用尽,那么最少会剩下多少厘米呢?由于36x 24y —定是12的倍数,小于 380且能被12整除的最大自然数是372,而36x 24y 372的自然数解是存在的,如X 1,也就是截出1根长36厘米的管子和y 1414根长24厘米的管子,能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米•所以剩余部分最少是380372 8厘米.x y z 100详解:设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 x 只、y 只和z 只•依题意,得: 1•要5x 3y - z 100 3求这个方程的自然数解, 我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问题.我们选择“消去” z :将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程, 得:例题6.答案:12详解:不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包,则13x 17y 7.8z 10.4w 360 .把系数都化成整数,得:65x 85 y 39z 52w 1800 .由于我们只关心奶糖的数量,我们将未知数y 分为一组,其余未知数分为另一组:65x39z 52w85y1800 .也就是 13 5x 3z 4w 85y1800 .令 u 5x 3z 4w ,则13u 85y 1800 .它的自然数解只有U 60,所以阿奇共买了 12包奶糖.y 12x 0x 4x 8x 12有自然数解是: y 25、 y 18、 y 11和 y 4 .所以我们有四种符合要求的买z 75 z 78 z 81 z 84 x y 4z 值分别为75、78、81、84都是自然数,于是原不定方程的所鸡方案:公鸡 0只,母鸡25只,小鸡75只;公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;公例题5.答案:有四种符合要求的买鸡方案:公鸡 母鸡18只,小鸡78只;公鸡8只,母鸡 小鸡84只 0只,母鸡25只,小鸡75只;公鸡4只, 11只,小鸡81只;公鸡12只,母鸡4只,14x 8y 200,即 7x 4y100,它的所有自然数解是x 0 x 4 x 8 、 、y25y 18y1112 .它们对应的鸡8只,母鸡 11只,小鸡81只;公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只.练习:1. 答案: ( 1 )有三组解: x 0 ; x 5;x 1010;(2)有一组解:x8y 7 y 4y1 y6简答: ( 1)考虑方程两边除以 3 的余数; ( 2) 考虑方程两边除以11 的余数2.答案:有四种购买方案: 1 2个大蛋糕, 4个小蛋糕; 8个大蛋糕, 11 个小蛋糕; 4个大 蛋糕, 18 个小蛋糕; 0 个大蛋糕, 25 个小蛋糕;第一个方案最省钱,只要花12 10 4 7 148 元 简答:求不定方程 7x 4y 100的自然数解即可.3. 答案: 4 台简答: 38x 13y 1 的最小自然数解为x 1, 最少需要大空调 1 台,小空调 3 台y34. 答案:3简答: 注意 35x 21y 是7的倍数.x7 x 6x 55. 答案:( 1) 有三组解: y 1 、 y3 、 y5; (2) 1; 2; 6z2 x 1x简答: ( 1) 消去 x 可解;( 2)求 x yz 9的正整数解即可.16x12y 1 0z 1006 x 015 ; y 140 z 83的余数;(2)消去未知数y ,转化成二元一次不定方程.2. 答案: 12x4x 4,所以参加活动的共有 4 8 12 人. y83. 答案: 17作业:x x2 1. 答案:( 1 )x 2;( 2) yy3z 简答:( 1 )考虑方程两边除以简答:由 11x 7y 100 ,得:简答:设留下来的数中有x 个 1.21 和y 个 1.3,则 1.21x 1.3y 20.08.由于总和的百分位是8,说明x 8或18.仅当x 8相应的y 是整数,求得y 8,所以应该划去25 8 17 个 1.3.4. 答案:( 1) 10;(2) 7x5简答:( 1)设买了冬菜包x 个,豆香包y 个.由7x 5y 60,得:x 5,所以樱木同y5x24x17x10学一共买了5 5 10个包子;( 2)由7x 5y 12z 180,得:y0、y5、y10 x y z 25135z z zx3或y 15 ,所以羊肉串最多有7 串. z75. 答案:甲51 ;乙53;丙49 简答:设甲、乙、丙三个班分别有x 人、y 人、z 人,则由已知可得:20 11(x 3) 30 10(y 4) 28 11x 31 10y,即,所以可知x 是除以10 余 1 的数,y30 10(y 4) 50 9(z 8) 101 10y 89 9z是除以9余8的数.又因为每班捐书册数在400与600之间,所以x只能取51,此时才同时满足y是除以9余8的数,即为53,则z为49.x 1 x 4 x、、y 16 y 14 y 这就告诉我们,在求形如。

小学六年级奥数 第40周 不定方程

小学六年级奥数  第40周 不定方程

第四十周不定方程专题简析:当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。

如5x-3y=9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。

如5x-3y=9的解有:x=2.4 x=2.7 x=3.06 x=3.6………y=1 y=1.5 y=2.1 y=3如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。

因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。

例1.求3x+4y=23的自然数解。

先将原方程变形,y=23-3x4。

可列表试验求解:所以方程3x+4y=23的自然数解为X=1 x=5Y=5 y=2练习一1、求3x+2y=25的自然数解。

2、求4x+5y=37的自然数解。

3、求5x-3y=16的最小自然数解。

例2求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z=253x-y-6z=2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z=25 ①3x-y-6z=2 ②由①×2+②,得13x+13y=52X+y=4 ③把③式变形,得y=4-x。

因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.当x=1时,y=3当x =2时,y =2 当x =3时,y =1把上面的结果再分别代入①或②,得x =1,y =3时,z 无正整数解。

x =2,y =2时,z 也无正整数解。

x =3时,y =1时,z =1. 所以,原方程组的正整数解为 x =1 y =1 z =1 练习2求下面方程组的自然数解。

六年级上奥数试题——第8讲.不定方程(人教版)含解析

六年级上奥数试题——第8讲.不定方程(人教版)含解析

在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。

在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位。

因此在小学阶段打下扎实的基础,无疑很重要。

1. 不定方程的试值技巧 2. 不定方程的经典题例【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知7个大和尚每天共吃41个馒头,29个小和尚每天共吃11个馒头,平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。

问:庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x 个大和尚,29y 个小和尚,则共吃()4111x y +个馒头。

由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”,可列方程:7294111x y x y +=+,化简为917x y =。

当9x =,17y =时和尚最少,有792917556⨯+⨯=(个)。

基本题型不定方程是指未知数个数多于方程个数,且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。

数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程。

研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一。

百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”。

设x ,y ,z 分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x ,y ,z ,这是一个三元不定方程组问题。

经典精讲教学目标不定方程第八讲【例2】 把2001拆成两个数的和,一个是11的倍数(要尽量小),一个是13的倍数(要大),求这两个数。

【分析】这是一道整数分拆的常规题。

可列式11132001x y +=,要让y 取最大值,可把式子变形为2001111315312132122153131313x x x xy x -⨯+-++===-+,当7x =时,146y =。

小学奥数 不定方程与不定方程组 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

小学奥数  不定方程与不定方程组 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x-3y=8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一:由原方程,易得 2x =8+3y ,x =4+32y ,因此,对y 的任意一个值,都有一个x 与之对应,并且,此时x 与y 的值必定满足原方程,故这样的x 与y 是原方程的一组解,即原方程的解可表为:342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩,其中k 为任意数.说明 由y 取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解. 方法二:根据奇偶性知道2x 是偶数,8为偶数,所以若想2x -3y =8成立,y 必为偶数,当y =0,x =4;当y =2,x =7;当y =4,x =10……,本题有无穷多个解。

小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)一、填空题1.△+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?———————————————答案—————————————————————— 1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5. 2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ① 易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个). 3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x 22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有 ⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a . 7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y .由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x 由12|4(x + y ),12|72. 所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2为z y x ,,,则 ()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程 )100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4,…,48. 又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯. 所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x , 所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24. 若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则 ⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有: ⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x2×②得 4422818=++y x ③ ③-①得 22512=+y x ④ 解④求得整数解为x=1, y=2. 代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.①②14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③ 所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9. 由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A 物3个,B 物12个.①②。

六年级知识点不定方程

六年级知识点不定方程

六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念,对于六年级的学生来说,掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。

本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。

一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定,通常表示为形如ax + by = c的方程,其中a、b、c为已知的系数,x、y为未知数。

不定方程中,我们需要找到满足方程的整数解。

二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。

具体步骤是:(1)将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值,列出方程的多组解;(2)逐个验证所列出的解是否满足原方程,验证通过即为方程的解。

2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时,使用列举法效率较低,这时可以尝试使用辗转相除法。

具体步骤是:(1)先令a、b互换,使得a > b;(2)用b去除以a,得到余数r;(3)如果r为0,则a为原方程的最大公约数,b为原方程的解之一;(4)如果r不为0,则继续用r去除以b;(5)重复以上步骤,直到余数为0为止,最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。

三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。

以下举例说明:1. 整数约分在分数的运算中,我们需要进行整数的约分操作。

不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数,从而进行有效地约分操作。

2. 货币找零问题在日常购物中,我们经常遇到需要找零的情况。

不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数,从而进行合理的找零操作。

3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题,掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题,提高奥数竞赛的成绩。

四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用,可以提高数学解题的能力,为提高数学成绩打下坚实基础。

在实际生活中,不定方程的应用也随处可见,能够帮助我们解决各种问题。

以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。

通过学习和掌握,相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩!。

六年级奥数拉分提升-第33讲不定方程

六年级奥数拉分提升-第33讲不定方程

不定方程是指未知数个数多于方程个数,且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。

1.倍数确定法
2.尾数确定法
3.余数确定法
4.崔氏瞪眼法
5.蒙猜凑试多位一体傻算法
(★★)
搞定以下三个小题,别用傻算法啦(*^__^*)
()145100x y +=
()24598x y += ()34599x y +=
(★★★)
求7x +19y =213的所有正整数解。

(★★★)
崔气球把他的生日的月份乘以30,日期乘以11,然后加起来和数是350,他是生日是几月几日?
(★★★)
大客车有48个座位,小客车有30个座位.现有306名旅客,要使每个旅客都有座位而且车上无空位。

需要大、小客车各多少辆?
(★★★)
豆花和麦口是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。

若是早晨见面,豆花叫两声,麦口叫一声;若是晚上见面,豆花叫两声,麦口叫三声。

帅帅对它们的叫声统计了不定方程。

小学六年级奥数不定方程(最新)

小学六年级奥数不定方程(最新)

【#小学奥数# 导语】方程(equation)是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为解或根。

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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角,彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。

问圆珠笔和彩色日记本各买多少,才使钱正好用光?答案:圆珠笔11支,笔记本1本。

2、六年级某班同学48人到公园里去划船,如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人,那么需要小船和大船各几只?(大船小船都有)答案:小船x大船y列方程:3x+5y=48x,y都是正整数解得:x=1,y=9x=6,y=6x=11,y=33、装水瓶的盒子有大小两种,大的能装7个,小的能装4个,要把41个水瓶装入盒内。

问需大、小盒子个多少个?答案:设大的x个,小的y个,有:7x+4y=41根据奇偶关系知道:x只能取奇数x=1,y=8.5舍去x=3,y=5满足x=5,y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中,每个大盒子装12颗,小盒子装5颗,恰好装完,已知盒子数大于10,两种盒子各有多少?2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐,价值860元,已知每箱桔子40元,每箱苹果50元,每箱香蕉70元,三种水果各运多少箱?3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6只,二等奖每人3只,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9只,二等奖每人4只,三等奖每人1只,一、二、三等奖的学生各有几人?4、小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分,小明共套10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分,小鸡至多被套中多少次?5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知每7个大和尚每天共吃41个馒头,每29个小和尚每天共吃11个馒头。

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六年级奥数:不定方程(二)年级 班 姓名 得分 一、填空题1.已知△和☆分别表示两个自然数,+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?———————————————答 案——————————————————————1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a.依题意,得n an n =++⨯915%25整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2. 当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=.当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y . ① ②由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=.所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,则()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程 )100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯.所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x ,所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾.因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x2×②得 4422818=++y x ③ ③-①得 22512=+y x ④解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.①②14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③ 所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A 物3个,B 物12个.[文章来源:教学视频网 / 转载请保留出处。

]①②。

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