插值与拟合例题
其他例题和练习(拟合与插值)
function f=nihehanshu(x,xdata) f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3 保存为文件 nihehanshu.m
例4 已知观测数据点如表所示
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 7.05 8.56 9.69 11.25 13.17 求三个参数 a, b, c的值, 使得曲线 f(x)=aex+bx2+cx3 与 已知数据点在最小二乘意义上充分接近. 编写下面的程序调用拟合函数.
2. 已知观测数据点如表所示 x 1.6 2.7 1.3 4.1 3.6 2.3 y 17.7 49 13.1 189.4 110.8 34.5
0.6
4
4.9
409.1
3
65
2.4
36.9
求a, b, c的值, 使得曲线 f(x)=aex+bsin x+c lnx 与已知数据 点在最小二乘意义上充分接近.
插值问题
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1, n, 其中 x j
互不相同, 不妨设 a x0 x1 xn b ) ,
求任一插值点
x ( x j )
*
处的插值 y * . 节点可视为由 y g (x) 产生, g 表达式复杂, 甚至无表达式
x=0:0.1:1 y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2] plot(x,y,'k.','markersize',25) axis([0 1.3 -2 16]) p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6) t=0:0.1:1.2 s=polyval(p3,t) s1=polyval(p6,t) hold on plot(t,s,'r-','linewidth',2) plot(t,s,'b--','linewidth',2) grid
数值分析作业(插值拟合)
第一题、给定数据如下：
x
0
2
3
5
f(x)
1
-3
-4
2
(1)、求各阶差商；（2）、写出f(x)的3次Newton插值多项式 。
第二题、f(x)满足条件如下:
i
0
1
1
2
2
3
1
-1
(1)、求Hermite插值基函数；（2）、求Hermite插值多项式。
第三题、已知函数y=f(x)的数据表如下：
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
0
-1
(1)求拉格朗日插值基函数
(2)求拉格朗日插值多项式。
第七题：
设 为互异结点，试证明拉格朗日插值基函数 具有以下性质：
(1)
第八题：
已知
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5
0.5477
0.6245
0.6708
0.728
及边界条件
,
试求三次样条函数 。
第九题
利用 个结点数据 合直线
i
0
1
2
-1
0
1
-1
0
1
0
求：(1)、通过这三个点的牛顿插值多项式N(x);
(2)、利用N(x)求一个次数不超过3次的多项式 满足插值条件:
。
第四题、求满足条件 的三次Hermite插值多项式 。写出插值余项。
第五题、已知f(x)满足 ,则拉格朗日基函数
=。
=。 =。
第六题
已知函数 的观察值如下：
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
插值和拟合参考答案
插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；·构造一个相对简单的函数y=P(x)；·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·用P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．用MA TLAB作一维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题机翼断面下的轮廓线上的数据如下表：x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加工所需的数据，画出曲线.步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on>> x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];>> y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];>> x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．用MA TLAB 作网格节点数据的插值(二维) z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值方法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
实验三 插值法与拟合实验
实验三插值法与拟合实验
一、实验目的
感受插值效果的比较以及拟合多项式效果的比较。
二、实验题目
1.插值效果的比较
将区间[-5,5]5等分和10等分，对下列函数分别计算插值节点的值，进行不同类型的插值，做出插值函数的图形并与的图形进行比较：
做拉格朗日插值。
2.拟合多项式实验
给定数据点如下表所示：
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。
三、实验原理
拉格朗日插值和多项拟合插值的通用程序
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
(1)实验1中通过图象，可以很明显的辨别出拉格朗日插值并不是插值点越多图象就一定越精确，会有高阶插值的振荡现象。
(2)通过三个图象的对比，发现基本都是重合在一起的。
.三次多项式五次多项式拟合的平方误差分别为1.8571e-004和4.7727e-005，可知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确。
但是后面去计算一下拟合所需要的时间，会发现拟合次数越大，时间越长，所以也不一定是次数越大越好，需要把时间也考虑进去。
练习2--插值与拟合
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题. 1. lsqcurvefit 已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
n 2
( F ( x, xdata ) ydata )
i 1 i i
最小
输入格式为: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’); (4) [x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (5) [x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); (6) [x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); 说明：x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options); fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata 选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
插值与拟合习题课
一、已知sin x 在30,45,60的值分别为1,,222，分别用一次插值和二次插值求sin 50的近似值，并估计截断误差.解：一次插值时，取靠近50 的两个角度45,60作节点，将角度化为弧度为5,,1843πππ，此时有()134224334x x L x ππππππ--=+--155sin 50sin 0.7600801818L ππ⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭由截断误差公式()()()()()()()101...1!n n n fR x x x x x x x n ξ+=---+ 有()()()101"()2f R x x x x x ξ=--代入值即得15155()sin 0.006595161823184183R ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二次插值时，取012,,643xx x πππ===，此时有21436364()222646346433634x x x x x x L x ππππππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭55sin 50sin()0.7654341818L ππ∴=≈=+其截断误差为351555()cos 183!618618418315550.767382103!186184183R ππππππππππππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤---=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）二、设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证：21m ax ()()m ax ()8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤-证：以a ，b 为插值节点进行线性插值，有1()()()()()(,)2!f f x L x x a x b a b ξξ''-=--∈因为1()()()0x bx a L x f a f b a bb a--=+=--，有1m ax ()m ax ()m ax ()()2a x ba x ba x bf x f x x a x b ≤≤≤≤≤≤''≤⋅--21()m ax ()8a x bb a f x ≤≤''=-因为函数()()x a x b --在1()2x a b =+处取最大值。
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2022年间的性别比。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2022年间的生育率。
（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
比,Karmehu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logitic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。
2.处理2022年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题
（1）以城区取样点位置为节点进行插值，绘制城区的地形图和等高线图；（2）绘制城区的8种重金属浓度的空间分布图。
并指出浓度最高和最低的点所在的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、Shepard插值等。
工具可用Matlab，也可用urfer软件实现。
插值与拟合应用举例
插值与拟合1. 插值与拟合的基本概念插值与插值函数：已知由()g x (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据(,),0,1,,i i x y i n = ，且n+1个互异插值节点011n n a x x x x b -=<<<<= ，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ()f x ，使其满足下列插值条件：再利用已求得的 ()f x 计算任一非插值节点的近似值，这就是插值。
其中()f x 称为插值函数， ()g x 称为被插函数。
最小二乘拟合： 已知一批离散的数据 (,),0,1,,i i x y i n = ，i x 互不相同，寻求一个拟合函数 ()f x ，使()i f x 与i y 的误差平方和在最小二乘意义下最小。
在最小二乘意义下确定的 ()f x 称为最小二乘拟合函数。
温度问题在12小时内，每隔1小时测量一次温度。
温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
(单位:℃)（1） 试估计在3.2h ，6.5h ，7.1h ，11.7h 的温度值，并画出其图形。
（2） 每隔1/10h 估计一次温度值，并画出其图形。
请你找出跟上述12个数据拟合的最好的一条曲线,请分别用分段线性插值、三次样条插值方法（至少用两条不同的曲线，并比较它们拟合好坏的程度）hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24];t=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7]) %线性插值 T=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7],'spline') %三次样条插值 计算结果为 t =10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 T =9.6734 30.0427 31.1755 25.3820每隔1/10h 估计一次温度值并画出其图形： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('时间'),ylabel('温度')三次多项式拟合： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; a=polyfit(hours,temps,3) temps1=polyval(a,hours);plot(hours,temps,'ro',hours,temps1,'b.')得到320.00650.32837.1281 4.4343y x x x =--+-，图形如下：四次多项式拟合：得到4320.02730.7158 5.770712.225112.5884y x x x x =-+-+比较拟合的好坏：设ˆi y为拟合函数的值，i y 为测量值，则残差2ˆ()iiie y y=-∑ 。
插值与拟合模型
插值与拟合§1多项式插值问题已知函数)(x f y =在n+1个互异结点处的函数值，如下表所示：求一个n 次多项式P n (x )，使得P n (x i )=y i ，i =1,2,……,n 。
并利用P n (x )近似未知函数f (x )。
从几何上看就是寻找一条n 次多项式曲线y = P n (x )，使其通过平面上已知的n+1个点：y 1y一、Lagrange 插值)()()()(1100x l y x l y x l y x P n n n +++=其中，ni x x x x x l j i nij j j ni j j i ,,2,1,)()()(00 =-∏-∏=≠=≠=二、Newton 插值)())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f y x P 其中，10110)()(],[x x x f x f x x f --=nk x x x x x f x x x f x x x f k k k k ,,2,1,],,,[],,,[],,,[01102110 =--=-随着插值结点的增多，插值多项式的次数也增加。
然而多项式次数越高，近似效果未必越好，反而容易出现高次插值的Runge现象，为此需要考虑下面的分段插值问题。
三、分段插值1、分段线性插值在相邻两个结点[x k,x k+1]内，求一条线段近似函数f(x)，x∈[x k,x k+1]。
2、分段抛物插值在相邻三个结点之间用抛物线近似未知函数。
四、样条插值分段线性插值虽然避免了高次多项式插值的Runge 现象，然而在插值结点处又产生了新问题：不光滑。
为了克服这一现象，引入三次样条插值：在相邻两个结点之间用三次多项式函数s i (x )近似未知未知函数，并保证在插值结点处满足衔接条件：)1,,1()()(),()(),()(111-=''='''='=+++n i x s x s x s x s x s x s i i i i i i i i i i i i五、Matlab插值命令yi=interp1(x，y，xi，'method')(x，y)：插值节点；xi：被插值点；yi：xi处的插值结果；method：插值方法；‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值。
拟合与插值专题ppt课件
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法
5.1 城市供水量的预测问题
图5-3 三种插值函数曲线
5.1 城市供水量的预测问题
3. 用2000—2006年每年1月份城市的总用水量预测
由表5-2可得到7个 插值节点（x i，y i）， 其中，xi=i，i=1,2,…,7， 其散点图如图5-4所示。 用三次样条插值法求得 的f(8)=4 378.139 0×104 t即为所求的 2007年1月份总用水量 的估计值，表5-3
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.2 用插值法预测2007年1月份城市的总用水量
预测2007年1月份城市的用水量有三种 办法：一是用2006年的日用水量进行预测， 二是用2000—2006年每年1月份的日用水量 进行预测，三是用2000—2006年每年1月份
5.1 城市供水量的预测问题
1. 用2006年的日用水量进行预测
图5-4 2000—2006年每年1月份 城市的总用水量散点图
5.1 城市供水量的预测问题
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.3 用数据拟合方法预测2007年1月份城市的总用水量 1. 用2006年每天的日用水量进行预测
由图5-1可知，这些点并不是简单地成线性或二次关系， 而是具有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。 用 MATLAB工具箱得到的拟合结果见表5-4。
5.2.1 曲线拟合
【实例】 气象部门观测到一天中某些时刻t的温度T变化数据见 表5-6。试描绘出温度变化曲线。
5.2 MATLAB与拟合、插值
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一 种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数 采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线
5.2 MATLAB与拟合、插值
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
数学建模案例分析插值与拟合方法建模3习题十
习题十
1、假定某天的气温变化记录见下表，试找出这一天的气温变化规律。
2、物价指数是反映不同时期商品价格水平、变动趋势和变动程度的相对数，例如月物价指数就可理解为该月购买同等商品的相对花费数，下表给出了某个国家从2002年1月到2004年4月间每月的物价指数，试根据这些数据的变化趋势估计2004年5、6、7三个月份的物价指数。
3、下表为美国人口两个世纪以来的统计数据，试依此建立美国人口增长的数学模型。
并预测2010年和2020年的美国人口。
4、弹簧在力F的作用下伸长，一定范围内服从Hooke定律：F与x成正比，即F= kx ，k为弹性系数。
现在得到下表的一组x，F数据，作图后就可看出，当F大到一定数值后，就不服从这个定律了。
试由表中的数据确定k，并给出不服从Hooke定律时的近似公式。
5、一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x，与样本点处某种金属含量y的一组数据见下表。
试在直角坐标系中画出散点图观察二者的关系，再根据散点图建立合适的函数来对x,y进行拟合。
如二次曲线、对数曲线、双曲线等。
插值拟合实验题
插值拟合实验题1. Lagrange 插值取插值节点i x i 10,1,)=-= （i ，分别用1次、2次、3次、4次Lagrange 插值多项式逼近函数x f (x)3=，由此计算f(0.5)，并比较对应的误差值。
2. Newton 插值拉格朗日插值多项式计算函数近似值，如果精度不满足要求需增加插值节点时，原来计算出来的数据均不能利用，必须重新计算。
为克服这一缺点，通常可用牛顿型插值。
牛顿型插值的优点是每增加一个节点，插值多项式只需增加一项。
用Newton 插值算法求解1中的插值问题。
3. 龙格现象的发生、防止和插值效果的比较插值多项式与被插函数逼近的程度同分点的数目及位置有关。
能不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的。
20 世纪初，Runge 指出了多项式插值的缺点。
在区间[－5，5]上，对函数y=x/(1+x^4) 按给定方案进行插值。
并给出插值函数的图形。
方案I: 取节点i x 5ih(i 0,1,,n),h 10/n =-+== ，分别取n 1020=，作Lagrange 插值；并计算其在各划分小区间中点i x 5(i 1/2)h(i 0,1,,n 1)=-++=- 上的值；方案II: 取节点i 2i 1x 5co s (π)(i 0,1,,n ),2(n 1)+==+ 分别取 n 1020=，作Lagrange 插值，并计算其在点i x 5(i 1/2)h(i 0,1,,n 1)=-++=- 上的值；方案III ：取节点i x 5ih(i 0,1,,n),h 10/n =-+== ，分别取n 1020=，作分段线性插值，并计算其在各划分小区间中点i x 5(i 1/2)h(i 0,1,,n 1)=-++=- 上的值。
4. 离散数据的最小二乘拟合下表给出了我国1949~1984年间的一些人口数据，分别按下述方案求最小二乘拟合函数及其偏差平方和Q ，并预测2013年的人口数。
插值与拟合例题
1 山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980 15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700Y/x1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 40002 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
如果作2或4次多项式拟合，结果如何？3 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。
试由下面一组t，V数据确定V0，。
2用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
第4、5讲插值与拟合作业参考答案
第4、5讲插值与拟合作业参考答案第四、五讲作业题参考答案⼀、填空题1、拉格朗⽇插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的⼆次插值多项式为（2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯⼀插值多项式的次数为（ 2次）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似⼀次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引⼊变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引⼊变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使⽤变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次⽜顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满⾜：()S x 在区间[,]a b 内⼆阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满⾜()S x 在每⼀个⼦区间1[,]k k x x +上是（三次多项式）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的⼀次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
插值和拟合
浙江大学控制学院
2016/6/12
数值计算方法
1
举例
t(s)
v(t)(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
已知火箭在几个不同时刻的速度如下表 所示，求t=16时的速度？
2016/6/12
数值计算方法
2
插值和拟合
(a) 用直线段连接这 些点
x0 )(x − x1) x0 )(x2 − x1)
= 0 +1.386294 (2 −1)(2 − 6) +1.791759 (2 −1)(2 − 4) = 0.5658442
(4 −1)(4 − 6)
(6 −1)(6 − 4)
εt = 18.4%
高次插值通常优于低次插值
2016/6/12
数值计算方法
=i 1, , n +1
⇒
Pn (x)
f (x) − P= n (x)
f (n+1) (n +
(ξ1 )
1)!
(
x
−
x0
)
(
x
−
xn
)
f (n+1) (ξ2
(n +1)!
)
(
x
−
x1 ) ( x
−
xn +1 )
假设
f (n+1) (ξ1) ≈ f (n+1) (ξ2 )
通过两个结果的偏差来估计 插值误差
数据点分布接近线 性或彼此距离很近
(b) 用曲线描述了数 据所具有的局部变 化趋势
数学建模-插值拟合的案例讲解
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');
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1 山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 14801500 1550 1510 1430 1300 1200 980 15001550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 15001200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 15001200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700
Y/x
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000
2 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
如果作2或4次多项式拟合，结果如何？
3 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。
试由下面一组t，V数据确定V0，。
2用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
解：程序如下：
x=1:0.5:10;
y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;
y0=y+rand;
f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数
y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值
plot(x,y,'+',x,y1)
grid on
title('一次拟合曲线');
figure(2);
f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合
y2=polyval(f2,x);
plot(x,y,'+',x,y2);
grid on
title('二次拟合曲线');
figure(3);
f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合
y3=polyval(f4,x);
plot(x,y,'+',x,y3)
grid on
title('四次拟合曲线');
figure(4);
f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合
y4=polyval(f6,x);
plot(x,y,'+',x,y4)
grid on
title('六次拟合曲线');
运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）
f1 =43.2000 -149.0663
f2 = 10.5000 -72.3000 89.8087
f4 =0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5913
f6 = 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000
-2.4199
运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。
作图后，发现一次和二次多项式的图形与原函数的差别比较大，属于欠拟合的情况，而四次多项式和六次多项式符合得比较好。
作图如下：
3.解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。
0()()exp(/)v t V V V t τ=---(已知V=10)可见，v(t)与τ成指数变化关系，所以在
通过曲线拟合的时候，使用指数曲线y ＝a 1e a 2
x 。
(非线性拟合)。
首先进行变量
代换在程序中用v 1代替v(t)，t0代替τ,v 2是拟合后的曲线方程：
对0()10(10)exp(/)v t v t τ=---变形后取对数，有0ln(10())ln(10)(/)v t v t τ-=-+- 令y=ln(10-)(t v ) ,f 1=ln(10-0ν) ,f2= -1/t0,则 v0=10-exp(f(2))， t0= -1/ f(1)。
编写程序如下：
t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];
v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];
y=log(10- v1);
f=polyfit(t,y,1)
t0=-1/f(1)
v0=10-exp(f(2))
v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);
plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:')
grid on
xlabel('时间t(s)'),ylabel('充电电压(V)');
title('电容器充电电压与时间t的曲线');
程序运行输出结果如下：
f =-0.2835 1.4766
t0 = 3.5269 v0 =5.6221
即电容器的初始电压为 v0 =5.6221，τ=3.5629。
4.某年美国旧车价格的调查资料如下表其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致
为多少？
x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y i2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
5 汽车制造厂生产的某种轿车的外形数据如下表所示
试找出最佳的拟合曲线拟合以上数据
6。