原函数存在定理
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一．一．变上限积分及其导数
1． 1． 变上限积分
设函数f(x)在[a,b]上连续，x ∈[a,b]则
()x
a
f x dx ⎰存在。
在
()x
a
f x dx ⎰式子中的x 即是积分变量，又是积分上限，
为避免混淆，把积分变量改为t,则积分写为
()x
a
f t dt ⎰。
由于积分下限为定数a ，上限x 在区间[a,b]上变化，故
()x
a
f t dt ⎰的值随x 的变化而变
化，也就是说
()x
a
f t dt ⎰是变量x 的函数。
称()x
a
f t dt ⎰为变上限积分 ，记作F(x)=()x a
f t dt ⎰ x ∈[a,b].
2,变上限积分的有关定理 关于变上限积分有如下定理
定理1：（变上限积分对上限的求导定理）设()f x 在区间[],a b 上连续，则函数
()()x
a
F x f t dt =⎰在[],a b 上可导，且其导数就是()f x ，即
()()()x
a
d d
F x f t dt f x dx dx ==⎰ 证： 取x ∆充分小，使[],x x a b +∆∈由定积分的性质3和定积分中值定理，得
()()()()x x
x
a a
F x x F x f t dt f t dt +∆+∆-=
-⎰
⎰
()()x x
x
f t dt f x ξ+∆=
=∆⎰
其中x x x ξ≤≤+∆或x x x ξ+∆≤≤，于是当0x ∆→时由导数定义和()f x 的连续性，得
00()()()()lim lim
x x d F x x F x f x F x dx x x
ξ∆→∆→+∆-∆==∆∆
lim ()()x f f x ξ∆→==
()()()x
a
d d
F x f t dt f x dx dx ==⎰ 本定理把导数和定积分这两个表面上看似不相干的概念联系了起来，它表明：在某区
间上连续的函数f(x)，其变上限积分
()x
a
f t dt ⎰是f(x)的一个原函数，可表述为下面的定理：
定理2 （原函数存在定理） 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在该区间上，f(x)的原函数存在。