计算方法Steffensen与简单迭代法实验
计算方法Steffensen与简单迭代法实验
《计算方法》实验报告 实验名称：实验1 非线性方程的迭代法实验题目：0104x 23=-+x 实验目的：用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程的根 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验环境：操作系统：Windows XP ；实验平台：matlab实验过程：方法一：简单迭代法程序：phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数x0=input('x0=');del=input('del=');N=input('N='); n=1;fprintf('\n k x(k) ');fprintf('\n %2d %f ',0,x0);while n<Nx=phi(x0);if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n 近似解 = %f \n',x);return;endfprintf(' \n %2d %f ',n,x);n=n+1; x0=x;endfprintf(' \n \n%d 次迭代后未达到精度要求.\n',N);结果：结果分析：利用简单迭代法求出的该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230.方法二：Steffensen迭代法程序：phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数x0=input('x0=');del=input('del=');N=input('N=');n=1;fprintf('\n k x(k) ');fprintf('\n %2d %f ',0,x0);while n<=Ny=phi(x0);z=phi(y);x=phi(x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0));if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n近似解= %f \n',x);return;endfprintf(' \n %2d %f ',n,x);n=n+1;x0=x;endfprintf(' \n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n',N);结果：结果分析：利用Steffensn迭代法求出该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230，两种方法对比，显然Steffensn迭代法比简单迭代法迭代的次数少，更快。
非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较讲课教案
非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较申林坚（南昌航空大学 测试与光电工程学院 江西 南昌 330063）摘要：本文针对一个具体的非线性方程032=-x e x 进行研究，首先作出了了函数xe x xf -=23)(的图像，大体判定其零点（即方程解）在（3,4）区间内， 接着用牛顿迭代法和斯特芬森迭代法进行求解分析，牛顿法的迭代公式为)()(1k k k k x f x f x x '-=+， 斯特芬森迭代法公式为),(),(,2)(21k k k k kk k k k k k y z x y x y z x y x x ϕϕ==+---=+记录两种方法求得指定精度解所需迭代次数及所需计算时间，并对其优缺点 进行了分析。
关键词：非线性方程；牛顿迭代法；斯特芬森迭代法引言非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱。
本论文通过对特定非线性方程032=-x e x 进行求解，介绍了两种常用的迭代法牛顿迭代法和斯特芬森迭代法，详尽阐述了其各自的数学几何原理及优缺点比较，从而更深入的理解非线性方程的迭代法求解。
正文一.作出)(x f 的图像，确定隔根区间 在Matlab 中输入以下指令并回车：x=(-10:0.001:10); y=3*x.^2-exp(x); plot(x,y);grid on ;-10-8-6-4-202468104图1得到图1所示)(x f 的图像，易知，当10-<x 及10>x 时，)(x f 无零点 将y 轴方向放大，输入命令axis([-10 10 -2 2])，得到图2-10-8-6-4-20246810-2-1.5-1-0.500.511.52图2可知函数有三个零点，隔根区间为（-2,0），（0,2），（2,4） 将x 轴方向放大，输入命令axis([-2 4 -2 2])，得到图3-2-101234-2-1.5-1-0.500.511.52图3可将隔根区间进一步缩小为（-1,0），（0,1），（3,4）二.牛顿迭代法求区间（3,4）中的根对于方程0)(=x f ，如果)(x f 是线性函数，则它的求根是容易的。
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
迭代实验
实验目的：研究人口方程的求解与预测 实验内容：对人口方程 求 的近似解，精确到 。假设这一年的 移民速度保持在每年435000人，使用这个值 来预测第二年末的人口。
MATLAB程序算法：
function f=fun1(x) f=1564000-1000000*exp(x)(435000/x)*(exp(x)-1); [xstar,index,it]=bisect(@fun1,0,1,1e-4) 结果：xstar=0.9999,index=1,it=13
实验目的：研究不同的初值对牛顿迭代过程 的影响 实验内容：用牛顿法求方程 在区 间【-3，3】上的误差不大于 的根。分别 取初值 =1.5， =0， =-1进行计算，比较它们的 迭代次数。
MATLAB程序算法： function f=fun3(x) f=[x^3-x-1,3*x^.5,1e-5) xstar = 1.3247 index =1 it =4 (2)[xstar,index,it]=Newton(@fun3,0,1e-5) xstar = 1.3247 index =1 it =21 (3)[xstar,index,it]=Newton(@fun3,-1,1e-5) xstar = 1.3247 index =1 it =20
实验目的：研究迭代法的收敛性与收敛速度 实验内容：1225年，达· 芬奇研究了方程 并得到它的一个根 。没有人知道他用什么方法得 到的。分别对上述方程建立迭代法： （1） 20/(x^2+2*x+10)
（2）
研究这两个迭代的收敛性，收敛速度以及用斯蒂 芬森加速的可能性。通过数值计算加以比较，请 自行设计一种比较形象的记录方式，如利用 MATLAB的图形功能
数值计算方法(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年中国石油大学(华东)
第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()A:截断误差;B:观测误差;C: 模型误差；D:舍入误差.答案:AD2.A:只有模型误差、截断误差与观测误差。
B: 只有舍入误差、截断误差与观测误差；C:只有模型误差、观测误差与舍入误差；D:只有模型误差、截断误差与舍入误差；答案:C3.A:4位B:5位C:3位D:2位答案:A4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是A:B:C:D:答案:A5.A:B:C:D:答案:B第二章测试1.A:0.5000B:0.6250C:0.5625D:0.6875答案:C2.A:B:C:D:答案:CD3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：A:Steffensen迭代法使得收敛的迭代格式加速收敛，发散的迭代格式更快发散。
B:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
C:Steffensen迭代法使得任何收敛的迭代格式加速收敛。
D:Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
答案:BD4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：A:求解任一方程的Newton迭代法都是2阶收敛的。
B:Newton迭代格式若收敛，则一定是超线性收敛的。
C:D:Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
答案:CD5.A:6B:3C:5D:4答案:A第三章测试1.A:若求解失败，则说明矩阵A奇异。
B:算法的计算量与近似成正比。
C:若A的对角线元素的绝对值都大于1，则求解结果的精度一定较高。
D:只要A非奇异，则求解结果的精度一定较高。
答案:B2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：A:提高了稳定性，减少了误差的影响。
B:方程组的系数矩阵奇异时也可以求解。
C:能求出方程组的精确解。
D:减少了计算量。
答案:A3.A:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
B:只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
牛顿迭代、割线法、二分法算法实验报告
三、牛顿法计算实验
3.1 牛顿法算法思想和简要描述 我们有一个函数 f，其零点由数值计算得出，设 r 是 f 的一个零点，x 是 r 的一个近似。若 f 的二阶导数存在并且连续，则有泰勒定理，得 0=f(r)=f(x+h)=f(x)+hf ’(x)+o(h^2) 其中 h=r-x。若 h 较小（即 x 在 r 附近） ，则有理由略去 o(h^2)项并且 在余下方程中求 h。即得到 h=-f(x)/f ’(x)。故 x-f(x)/f ’(x)是比 x 更好的一个 近似。牛顿法从 r 的一个估计 x0 开始，得到更加准确的近似值 xn。递推 式定义为： f(xn ) xn+1 = xn − ′ f (xn ) 3.2 MATLAB 运行牛顿法程序 牛顿法求解 f=x^3-9 的根 参数设置：x0 设置为函数 f 零点的近似。 n 设置为牛顿法 for 语句迭代次数。 alpha 设置为最后结果 f(x)的精度。 delta 设置为最后结果 x 的精度。 （若 alpha，delta 都符合设置的计算精度时，结束迭代并得 出计算结果，否则一直迭代到 n 次） 设置初始值：设置参数 x0 分别为为 3；迭代次数 n 为 50 次；alpha 和 delta 都设置为 0.001。 列出计算结果： >> newton(f,50,3,0.001,0.001) n x f(x) delta alpha 1.0000 2.3333 3.7037 0.6667 3.7037 2.0000 2.1066 0.3483 0.2268 0.3483 3.0000 2.0804 0.0043 0.0262 0.0043 Elapsed time is 0.166680 seconds.
4.0000 2.0625 2.1250 5.0000 2.0625 2.0938 6.0000 2.0781 2.0938 7.0000 2.0781 2.0859 8.0000 2.0781 2.0820 9.0000 2.0801 2.0820 10.0000 2.0801 2.0811 11.0000 2.0801 2.0806 12.0000 2.0801 2.0803 13.0000 2.0801 2.0802 14.0000 2.0801 2.0801 elapsed time is 0.316426 seconds.
非线性方程的二分法-迭代法-松弛迭代法-Aitken迭代法-Steffensen迭代法
err=input('请输入最大极限err=\n');
k=0;
y=fun(x0)
z=fun(y)
x1=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0)
cha=abs(y2-y1);
y1=y2;
x2=x3;
ifk>N
disp('超过迭代次数！');
break;
end
end
x=x2;
k;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=Steffensen()
x0=input('输入初值x0=\n');
b=c;
elseifyb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else
a3;b)/2;
k;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=diedai1()
x0=input('输入初值x0=\n');
N=input('请输入最大迭代次数N=\n');
【实验内容】
1、二分法
假定方程 在区间 内有唯一的实根 。此时， 即为有根区间。
1.1基本思想：
首先确定有根区间，然后平分有根区间，通过判断区间端点处的函数值符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够地小，便可求出满足给定精度要求的根 的近似值。
1.2算法过程：
取 ，将 代入方程 ，判断它的正负号，并用 替换与它同方向的区间端点，依次循环得到：
2、迭代法
2.1基本思想：
计算方法实验报告(2)
计算方法实验报告（四）方程和方程组的迭代解法一、实验问题利用简单迭代法，两种加速技术，牛顿法，改进牛顿法，弦割法求解习题5-1，5-2，5-3中的一题，并尽可能准确。
选取5-3：求x 3−x 2−1=0在x=1.5附近的根。
二、问题的分析（描述算法的步骤等）（1）简单迭代法算法：给定初始近似值p 0,求p =φ(p )的解。
Step 1 令i=0；Step 2 令p i+1=φ(p i )(计算p i+1)；Step 3 如果p i+1=p i ,则迭代终止，否则重复Step 2。
（2）Aitken 加速法算法Step 1 令k=0，利用简单迭代算法x k+1=φ(x k )得到迭代序列x k ；Step 2 令x k ∗=x k -(x k −x k−1)2x k −2x k−1+x k−2(计算x k ∗得到一个新的序列x k ∗，其中k=0,1,2…)；Step 3 如果x k+1∗=x k ∗,则迭代终止，否则重复Step 2。
(3)插值加速法算法Step 1 令k=0，利用简单迭代算法x k+1=φ(x k )得到迭代序列x k ；Step 2 令x k ∗=x k +(x k −x k−1)(x k −x k+1)x k−1−2x k +x k+1(计算x k ∗得到一个新的序列x k ∗，其中k=1,2,3…)；Step 3 如果x k+1∗=x k ∗,则迭代终止，否则重复Step 2。
(4)牛顿法算法Step 1给定初始近似值x 0；Step 2令x k+1=x k −f (x k)f (x k ),其中k ∈N,计算得到x k 的 序列；Step 3如果x k+1=x k ,则迭代终止，否则重复Step 2。
（5）改进牛顿法的算法Step 1给定初始近似值x 0；Step 2令x k+1=x k −k ′(k )′(k )√′2(k )"(k )(k ) ,其中k ∈N,迭代计算得到x k 的 序列；Step 3如果x k+1=x k ,则迭代终止，否则重复Step 2。
实验五 用Newton法计算方程的根
五. 讨论分析当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下例如求020sin 35=-+-x x e x 的根，其中控制精度1010-=eps ，最大迭代次数40=M ,在steffensen 加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10， 其余不变 。
利用以上程序，我们只需输入：phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20');[x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得：x_star = 0.637246094753909index = 0it = 41观察上述结果，index = 0，it = 41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败六. 改进实验建议根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newton 法或者Steffensen 中进行求解。
当然，我们可以用其他数学软件实现Newton 迭代法，我们可以用z-z 超级画板，其操作流程为：牛顿迭代法的公式是：x n+1=x n-f(x n)/f'(x n)。
下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。
（一）观察方程f(x)=0的零点位置（1）显示坐标系的坐标刻度。
（2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示：可以观察到方程的根在区间[2，3]上，我们可以设定近似解的初始值为2。
（二）设计求方程近似解的程序（1）在程序工作区中输入：f(x){ln(x)+2*x-6;}执行后，返回结果为：>> f(x) #这表示在计算机已经完成了函数f(x)的定义。
（2）定义f(x)的导函数g(x)，在程序工作区中输入：Diff(f(x),x);执行后，返回结果为：>> 2+1/x #得到了f(x)的导函数。
基于Mie散射激光雷达的气溶胶消光系数反演方法
基于Mie散射激光雷达的气溶胶消光系数反演方法豆晓雷; 常建华; 刘振兴; 徐帆; 刘秉刚; 房久龙【期刊名称】《《激光与红外》》【年(卷),期】2019(049)009【总页数】7页(P1047-1053)【关键词】消光系数; 边界值; Steffensen法; 大气气溶胶【作者】豆晓雷; 常建华; 刘振兴; 徐帆; 刘秉刚; 房久龙【作者单位】南京信息工程大学江苏省大气环境与装备技术协同创新中心江苏南京210044; 南京信息工程大学江苏省气象探测与信息处理重点实验室江苏南京210044【正文语种】中文【中图分类】TN958.981 引言气溶胶在大气中扮演着重要角色,直接或者间接地影响着气候变化。
它不仅能通过散射、吸收太阳辐射和热辐射直接改变地-气系统辐射的收支,而且可以改变云的浓度、形状、化学组成等微物理特性,从而间接影响地球生态系统、大气光学特性、云降雨等。
此外,气溶胶的变化对生命安全、大气能见度也具有重要影响。
因此,探索气溶胶光学特性尤其是气溶胶消光系数已成为当下大气科学领域研究的热点[1-3]。
Mie散射激光雷达具有时空分辨率高、抗干扰能力强等特点,可实现水平、斜程、垂直的全方位立体式探测,逐渐成为气象研究领域的主要探测设备[4-5]。
目前,通过Mie散射激光雷达反演气溶胶消光系数的算法主要有Collis斜率法[6]、Klett法[7]和Fernald法[8]。
其中,Collis斜率法是以假设大气均匀分布为前提的,忽略了真实大气中气溶胶粒子、云以及雾霾等的分布。
在此基础上改进而来的Klett法和Fernald法,很好地弥补了其均匀天气假设的不足。
然而,确定边界值是精确反演气溶胶消光系数前提。
通常,在高空探测大气时采用洁净层法[9]求解气溶胶消光系数边界值,即在对流顶层选择一个气溶胶散射比较小的参照点,将此点的气溶胶散射比视为稳定不变。
但在低空探测时,即有效探测范围低于对流层顶层,洁净层法将不再有效,气溶胶消光系数边界值的求解就成为了一个难题。
非线性方程迭代法上机试验_
非线性方程迭代法上机试验1 问题描述2 问题分析本题要求通过几种不同的方法求解非线性方程在1附近的根，并要求精度达到10^-7。
问题（1）、（2）中已经给出了迭代公式。
根据迭代法的原理，不断用变量的旧值递推新值的过程，最常见的迭代法是牛顿法，其他还有其他还包括最速下降法、共轭迭代法等。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：2.1 确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
2.2 建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。
2.3 对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
我们本次试验采用第一种情况处理。
2.4 steffensen 加速方法计算公式：2[(x)x](x)x ((x))2(x)xϕψϕϕϕ-=--+ 2.5 Newton 迭代法迭代公式：1()'()k k k k f x x x f x +=-2.6 构造三阶迭代收敛迭代方法由于5中Newton 迭代法是二阶收敛的，（'(x*)0,''(x*)0ϕϕ=≠），可以通过Newton 迭代法的steffensen 加速方法使得加速后的迭代方法为2p-1=3阶收敛。
3 程序设计1、主函数main.mclc;clear;x0=1.0;nn=1e2;eps1=1e-7;a=input('please input a=1,2,3,4,5,6,0; a=')if a==1 y=dd_1(x0,nn,eps1);elseif a==2 y=dd_2(x0,nn,eps1);elseif a==3 y=dd_1_ste(x0,nn,eps1);elseif a==4 y=dd_2_ste(x0,nn,eps1);elseif a==5 y=newton(x0,nn,eps1);elseif a==6 y=y=dd_3(x0,nn,eps1);endy=vpa(y,9)%**********************************************2、迭代方法（1）dd_1.mfunction y=dd_1(x0,nn,eps1) %x(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=(20-2*x(i-1)^2-x(i-1)^3)/10b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');end% return;endy=x(i);i;%************************************3、迭代方法（2）dd_2.mfunction y=dd_2(x0,nn,eps1)%x(1)=x0;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=dd_2f(x(i-1))% x(i)=20/(x(i-1)^2+2*x(i-1)+10);b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');end% return;endy=x(i);i%*********************************************** function y=dd_2f(x)%方法2的迭代函数y=nthroot((20-10*x-2*x^2),3);end%**********************************************4、方法（1）的steffensen加速dd_1_ste.mfunction y=dd_1_ste(x0,nn,eps1)%£¨3£©Ð¡Îʵü´úº¯Êýx(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=dd_1g(x(i-1));b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');end% return;endy=x(i);i%*********************************************** function y=dd_1g(x) %加速后的迭代函数y=x-(dd_1f(x)-x)^2/(dd_1f(dd_1f(x))-2*dd_1f(x)+x);%****************************************5、方法（2）的steffensen加速dd_2_ste.m function y=dd_2_ste(x0,nn,eps1)x(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=dd_2g(x(i-1));b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');endreturn;endy=x(i);i%************************************************** function y=dd_2g(x) %加速后的迭代函数y=x-(dd_2f(x)-x)^2/(dd_2f(dd_2f(x))-2*dd_2f(x)+x);end%*******************************************6、Newton法Newton.mfunction y=newton(x0,nn,eps1) %Newton法x(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=x(i-1)-f(x(i-1))/df(x(i-1));b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');end% return;endy=x(i);%****************************function y=f(x) %定义原函数y=x^3+2*x^2+10*x-20;end%****************************function y=df(x) %求导函数y=3*x^2+4*x+10;end%***************************************************7、三阶收敛法function y=dd_3(x0,nn,eps1) %第（6）小问迭代函数x(1)=x0;b=1;i=1;while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1;x(i)=s(x(i-1))b=x(i)-x(i-1);if(i>nn)error('nn is full');end% return;endy=x(i);i%*************************************function y=s(x) %steffensen加速y=x-(newt(x)-x)^2/(newt(newt(x))-2*newt(x)+x);end%**************************************function y=newt(x) %Newton法函数y=x-f(x)/df(x);end%***************************************4 结果分析4.1 迭代法（1）通过MATLAB计算，去x0=1开始迭代，得到的结果不收敛：如下表所示：表1迭代法（1）计算结果1 1.7 0.9307 1.7461 0.8578 1.7897 0.78611.8278 0.7211 1.8585 0.6673 1.8812 0.6264 1.89690.5977 1.9072 0.5788 1.9136 0.5669 1.9175 0.55961.9198 0.5552 1.9212 0.5526 1.922 0.5511 1.92250.5502 1.9228 0.5497 1.923 0.5494 1.9231 0.54921.9231 0.5491 1.9231 0.549 1.9232 0.549 1.92320.549 1.9232 0.549 1.9232 0.549 1.9232 0.5491.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.92320.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.54891.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.92320.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.54891.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.92320.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.54891.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.9232 0.5489 1.92320.5489 1.9232 0.5489 ……可见迭代到若干步骤以后，x就在0.54和1.92两个值之间循环，迭代方法不收敛。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读
cout<<"有根区间为["<<rn[i]<<" "<<rn[i]+foot<<"]"<<endl;
double x0 =r[i]; //取得初值
result=itera(x0); //带入公式
cout<<"求得近似解为"<<result<<endl;
else
returnx-(f(x)/fderivatives(x));
}
//牛顿迭代
doublenewton(doublex0){
doublex1=newtonitera(x0);
while(fabs(x1-x0)>precision){
x0=x1;
if(newtonitera(x0)==-1)break;
附录：源程序清单
#include<iostream>
#include<math.h>
usingnamespacestd;
doublefoot=0.3;//定义寻根步长
inta=-8,b=8;
double*rn=newdouble[5];//解的区间
double*r=newdouble[5];//方程近似解
result=Dichotomy(rn[i],rn[i]+foot); //将区间端点带入公式
cout<<"求得近似解为"<<result<<endl;
}
cout<<"------------------------迭代法----------------------"<<endl;
数值计算方法实验指导(Matlab版)
《数值计算方法》实验指导（Matlab版）学院数学与统计学学院计算方法课程组《数值计算方法》实验1报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则验证（之相近数相减、大数吃小数和简化计算步骤） 2. 实验题目(1) 取1610=z ，计算z z -+1和)1/(1z z ++，验证两个相近的数相减会造成有效数字的损失．(2) 按不同顺序求一个较大的数（123）与1000个较小的数（15310-⨯）的和，验证大数吃小数的现象．(3) 分别用直接法和九韶算法计算多项式n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)(在x =1.00037处的值．验证简化计算步骤能减少运算时间．对于第(3)题中的多项式P (x )，直接逐项计算需要2112)1(+=+++-+n n n 次乘法和n 次加法，使用九韶算法n n a x a x a x a x a x P ++++=-)))((()(1210则只需要n 次乘法和n 次加法． 3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应避免两个相近的数相减、防止大数吃小数、简化计算步骤减少运算次数以减少运算时间并降低舍入误差的积累．两相近的数相减会损失有效数字的个数，用一个大数依次加小数，小数会被大数吃掉，乘法运算次数太多会增加运算时间． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程(1) 直接计算并比较；(2) 法1：大数逐个加1000个小数，法2：先把1000个小数相加再与大数加； (3) 将由高次项到低次项的系数保存到数组A[n]中，其中n 为多项式次数．7. 结果与分析 (1) 计算的z z -+1= ，)1/(1z z ++．分析：(2) 123逐次加1000个6310-⨯的和是 ，先将1000个6310-⨯相加，再用这个和与123相加得．分析：(3) 计算次的多项式：直接计算的结果是，用时；用九韶算法计算的结果是，用时．分析：8. 附录：程序清单(1) 两个相近的数相减．%*************************************************************%* 程序名：ex1_1.m *%* 程序功能：验证两个相近的数相减会损失有效数字个数 *%*************************************************************z=1e16;x,y======================================================================(2) 大数吃小数%*************************************************************%* 程序名：ex1_2.m *%* 程序功能：验证大数吃小数的现象. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有存变量format long; % 按双精度显示浮点数z=123; % 大数t=3e-15; % 小数x=z; % 大数依次加小数% 重复1000次给x中加上ty=0; % 先累加小数% 重复1000次给y中加上ty=z + y; % 再加到大数x,y======================================================================(3) 九韶算法%*************************************************************%* 程序名：ex1_3.m *%* 程序功能：验证九韶算法可节省运行时间. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有存变量format long; % 按双精度显示浮点数A=[8,4,-1,-3,6,5,3,2,1,3,2,-1,4,3,1,-2,4,6,8,9,50,-80,12,35,7,-6,42,5,6,23,74,6 5,55,80,78,77,98,56];A(10001)=0; % 扩展到10001项，后面的都是分量0% A为多项式系数,从高次项到低次项x=1.00037;n=9000; % n为多项式次数% 直接计算begintime=clock; % 开始执行的时间 % 求x的i次幂% 累加多项式的i次项endtime=clock; % 完毕执行的时间time1=etime(endtime,begintime); % 运行时间disp('直接计算');disp(['p(',num2str(x),')=',num2str(p)]);disp([' 运行时间: ',num2str(time1),'秒']);% 九韶算法计算begintime=clock; % 开始执行的时间% 累加九韶算法中的一项endtime=clock; % 完毕执行的时间time2=etime(endtime,begintime); % 运行时间disp(' ');disp('九韶算法计算');disp(['p(',num2str(x),')=',num2str(p)]);disp([' 运行时间: ',num2str(time2),'秒']);《数值计算方法》实验1报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则验证（之数值稳定性） 2. 实验题目 计算定积分⎰==-1110,1,0,d n x e xI x nn ，分别用教材例1-7推导出的算法A 和B ，其中：算法A ：⎩⎨⎧≈-=-6321.0101I nI I n n 算法B ：⎪⎩⎪⎨⎧≈-=-0)1(1101I I nI n n 验证算法不稳定时误差会扩大．3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应采用数值稳定性好的算法．数值稳定的算法，误差不会放大，甚至会缩小；而数值不稳定的算法会放大误差． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程分别用数组IA[ ]和IB[ ]保存两种算法计算的结果． 7. 结果与分析 运行结果：（或拷屏）8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：ex1_4.m *%* 程序功能：验证数值稳定性算法可控制误差. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有存变量format long; % 按双精度显示浮点数I=[0.856, 0.144, 0.712, 0.865, ...0.538, 0.308, 0.154, 0.938, ...0.492, 0.662, 0.843];% 保留14位小数的精确值, …是Matlab中的续行符% 算法AIA(1) = 0.6321; % Matlab下标从1开始，所以要用IA(n+1)表示原问题中的I(n）% 算法Bdisp('n 算法A 算法B 精确值');for n=1:11fprintf('%2d %14.6f %14.6f %14.6f\n',n-1,IA(n),IB(n),I(n));end% n显示为2位整数, 其它显示为14位其中小数点后显示6位的小数《数值计算方法》实验1报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则（除数绝对值不能太小） 2. 实验题目将线性方程组增广矩阵利用初等行变换可化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛→-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''0'0''02221112'12221121112222211121122121121b a b a r r b a b a a r r b a a b a a a a a a由此可解得'/',/'22221111a b x a b x ==．分别解增广矩阵为161011212-⎛⎫ ⎪⎝⎭和162121011-⎛⎫⎪⎝⎭的方程组，验证除数绝对值远小于被除数绝对值的除法会导致结果失真． 3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则绝对误差会被放大，使结果失真． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程用二维数组A 和B 存放方程组的增广矩阵，利用题目所给初等行变换求解方程组． 7. 结果与分析第1种顺序的方程组的解为x =，y =；第2种顺序的方程组的解为x =，y =． 分析：8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：ex1_5.m * %* 程序功能：验证除数的绝对值太小可能会放大误差. * %*************************************************************clc;A=[1e-16, 1, 1; 2, 1, 2];B=[2, 1, 2; 1e-16, 1, 1]; % 增广矩阵% 方程组A% m = - a_{21}/a_{11} 是第2行加第1行的倍数% 消去a_{21}% m = - a_{12}/a_{22} 是第1行加第2行的倍数% 消去a_{12}, 系数矩阵成对角线% 未知数x1的值% 未知数x2的值disp(['方程组A的解: x1=',num2str(A(1,3)),', x2=',num2str(A(2,3))]); disp(' ');% 方程组B% m = - b_{21}/b_{11} 是第2行加第1行的倍数% 消去b_{21}% m = - b_{12}/b_{22} 是第1行加第2行的倍数% 消去b_{12}, 系数矩阵成对角线% 未知数x1的值% 未知数x2的值disp(['方程组B的解: x1=',num2str(B(1,3)),', x2=',num2str(B(2,3))]);《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之简单迭代法) 2. 实验题目用简单迭代法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的掌握非线性方程的简单迭代法． 4. 基础理论简单迭代法：将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ϕ=，从初值0x 开始，使用迭代公式)(1k k x x ϕ=+可以得到一个数列，若该数列收敛，则其极限即为原方程的解．取数列中适当的项可作为近似解． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之Newton 迭代法) 2. 实验题目用Newton 迭代法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的掌握求解非线性方程的Newton 迭代法． 4. 基础理论Newton 迭代法：解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为)(')(1k k k k x f x f x x -=+．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之对分区间法) 2. 实验题目用对分区间法求方程310x x --=在区间[1, 1.5]的一个实根，取绝对误差限为410-． 3. 实验目的掌握求解非线性方程的对分区间法． 4. 基础理论对分区间法：取[a ，b ]的中点p ，若f (p ) ≈ 0或b – a < ε，则p 为方程0)(=x f 的近似解；若f (a ) f (p ) < 0，则说明根在区间取[a ，p ]中；否则，根在区间取[p ，b ]中．将新的有根区间记为 [a 1，b 1]，对该区间不断重复上述步骤，即可得到方程的近似根． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程用宏定义函数f (x )；为了循环方便，得到的新的有根区间始终用[a ，b ]表示；由于新的有根区间可能仍以a 为左端点，这样会反复使用函数值f (a )，为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fa 中；同样在判断新的有根区间时用到函数值f (p )，若新的有根区间以p 为左端点，则下一次用到的f (a )实际上就是现在的f (p )，为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fp 中．算法的伪代码描述：Input ：区间端点a ，b ；精度要求（即误差限）ε；函数f （x ）；最大对分次数N Output ：近似解或失败信息7. 结果与分析8. 附录：程序清单说明: 源程序中带有数字的空行，对应着算法描述中的行号%**********************************************************%* 程序名：Bisection.m *%* 程序功能：使用二分法求解非线性方程. *%**********************************************************f=inline('x^3-x-1'); % 定义函数f(x)a=input('有根区间左端点: a=');b=input('右端点:b=');epsilon=input('误差限:epsilona=');N=input('最大对分次数: N=');1 % 对分次数计数器n置12 % 左端点的函数值给变量fafprintf('\n k p f(p) a(k) f(a(k))'); fprintf(' b(k) b-a\n');% 显示表头fprintf('%2d%36.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',0,a,fa,b,b-a);% 占2位其中0位小数显示步数0, 共12位其中小数6位显示各值3% while n≤ N 4 % 取区间中点p5% 求p 点函数值给变量fpfprintf('%2d%12.6f%12.6f',n,p,fp); % 输出迭代过程中的中点信息p 和f(p)6 % 如果f(p)=0或b-a 的一半小于误差限εfprintf('\n\n 近似解为:%f\n',p);% 则输出近似根p (7)return;% 并完毕程序 (7)89 % 计数器加110% 若f(a)与f(p)同号11% 则取右半区间为新的求根区间, 即a 取作p 12 % 保存新区间左端点的函数值 13% 否则14 % 左半区间为新的求根区间, 即b 取作p 15fprintf('%12.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',a,fa,b,b-a); %显示新区间端点与左端函数值、区间长度 16fprintf('\n\n 经过%d 次迭代后未达到精度要求.\n',N); % 输出错误信息(行17)《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之Aitken-Steffensen 加速法) 2. 实验题目用Aitken-Steffensen 加速法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的熟悉求解非线性方程的Aitken-Steffensen 加速法． 4. 基础理论将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ϕ=，得到从初值0x 开始的迭代公式)(1k k x x ϕ=+后，基于迭代公式)(1k k x x ϕ=+的Aitken-Steffensen 加速法是通过“迭代-再迭代-加速”完成迭代的，具体过程为kk k k k k k k k k k x y z z y x x y z x y +---===+2)(),(),(21ϕϕ． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程为了验证Aitken-Steffensen 加速法可以把一些不收敛的迭代加速成迭代收敛，我们使用将方程组变形为31021x x -=，取迭代函数31021)(x x -=ϕ，并利用宏定义出迭代函数．由于不用保存迭代过程，所以用x0表示初值同时也存放前一步迭代的值，y 和z 是迭代过程中产生的y k 和z k ，x 存放新迭代的结果．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0；精度要求（即误差限）ε；迭代函数φ（x ）；最大迭代次数N7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：Aitken_Steffensen.m * %* 程序功能：用Aitken-Steffensen 加速法求方程. * %************************************************************* clc;clear all;phi=inline('0.5 * sqrt( 10 - x^3)'); % 迭代函数x0=input('初值: x0 = ');epsilon=input('误差限: epsilon='); N=input('最大迭代次数: N=');disp(' n 迭代中间值y(n-1) 再迭代结构z(n-1) 加速后的近似值x(n)'); fprintf('%2d%54.6f\n',0,x0);% 占2位整数显示步数0, 为了对齐, 占54位小数6位显示x01 % n 是计数器2 % while n<=Ny= 3 ; % 迭代 z= 3 ; % 再迭代 x= 3 ; % 加速% x0初值与前一步的近似值, y 和z 是中间变量, x 是下一步的近似值fprintf('%2d%18.6f%18.6f%18.6f\n',n,y,z,x);%显示中间值和迭代近似值6 % 如果与上一步近似解差的绝对值不超过误差限 fprintf('\n\n 近似解 x≈x(%d)≈%f \n',n,x);% 则输出近似根 (7)， 可简略为: fprintf('\n\n 近似解 x=%f',x); return; % 并完毕程序(7) 8 % 相当于endif9 % 计数器加110 % 新近似值x 作为下一次迭代的初值 11fprintf('\n 迭代%d 次还不满足误差要求.\n\n',N); %输出错误信息(12)《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法（之Newton 下山法） 2. 实验题目用Newton 下山法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的熟悉非线性方程的Newton 下山法． 4. 基础理论Newton 下山法：Newton 下山法公式为)(')(1k k kk k x f x f x x λ-=+，使|)(||)(|1k k x f x f <+，其中10≤<k λ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程定义函数f(x)和df(x)，其中df(x)是f(x)的导函数．每步迭代时先取下山因子为1，尝试迭代，判断尝试结果是否满足下山因子，若满足则作为这步的迭代结果；否则将下山因子减半，然后再尝试．为防止当前的x k 是极小值点，附近不会有满足下述条件的其它点，使尝试陷入死循环，同时计算机中能表示出的浮点数也有下界，因此我们设置了最大尝试次数．当超过最大尝试次数时，不再进行下山尝试．由于反复尝试迭代且要判断下山条件，所以f (x 0)和f ‘(x 0)会反复使用，为避免重复计算浪费运行时间，将这两个值分别保存在变量fx0和dfx0．而尝试产生的节点，判断下山条件时要用到它的函数值，若尝试成功，这个点会作为下一步的初值再使用，所以把该点的函数值也保存在变量fx 中．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0；精度要求（即误差限）ε；函数与其导函数f （x ）和f’(x)；最大迭代次数N ；K 下山尝试最大次数Output ：近似解或失败信息7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：NewtonDownhill.m *%* 程序功能：用Newton下山法求解非线性方程. *%*************************************************************clc;clear all;f=inline('x^3-x-1'); % 函数f(x)df=inline('3*x^2-1'); % 函数f(x)的导函数x0=input('初值: x0 = ');epsilon=input('误差限: epsilon=');N=input('最大迭代次数: N=');K=input('最大下山尝试次数: K=');1 % 迭代次数计数器2 % 存x0点函数值fprintf('\n\n n x(n) f(x(n))\n'); % 显示表头fprintf('%2d%14.6f%14.6f\n',0,x0,fx0); % 2位整数显示0, 共14位小数6位显示x0和fx03 % while n≤ Ndisp(''); % 换行显示下山尝试过程的表头disp(' 下山因子尝试x(n) 对应f(x(n)) 满足下山条件');disp('');4 % 存x0点导数值, 每次下山尝试不用重新计算ifdfx0==0 % 导数为0不能迭代disp(‘无法进行Newton迭代’);return;endlambda=1.0; % 下山因子从1开始尝试k=1; % k下山尝试次数计数器while k<=K % 下山最多尝试K次% 下山公式fx=f(x); % 函数值fprintf('%22.6f%14.6f%14.6f',lambda,x,fx); % 显示尝试结果if (abs(fx)<abs(fx0)) % 判断是否满足下山条件fprintf(' 满足\n');break; % 是, 则退出下山尝试的循环elsefprintf(' 不满足\n');endlambda=lambda/2; % 不是, 则下山因子减半k=k+1; % 计数器加1endif k>Kfprintf('\n 下山条件无法满足, 迭代失败.\n\n');return;endfprintf('%2d%14.6f%14.6f\n',n,x,fx);% 2位整数显示步数n, 共14位小数6位显示下步迭代结果22 % 达到精度要求否fprintf('\n\n 方程的近似解为: x≈%f\n\n',x); % (23)return; % 达到, 则显示结果并完毕程序(23) end % (24)% 用x0,fx0存放前一步的近似值和它的函数值, 进行循环迭代25262728fprintf('\n 迭代%d次还不满足误差要求.\n\n',N);《数值计算方法》实验2报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法（之弦截法） 2. 实验题目用弦截法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]的一个实根，取绝对误差限为410-． 3. 实验目的熟悉非线性方程的弦截法． 4. 基础理论将Newton 迭代法中的导数用差商代替，得到弦截法(或叫正割法)公式)()()(111k k k k k k k x f x f x f x x x x --+---=．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程不保存迭代过程，所以始终以x 0和x 1分别存放x k -1和x k ，而x 存放新产生的迭代值x k +1，这样，下一次迭代时需要把上一步的x 1（即x k ）赋值于x 0（做新的x k -1）．这些点的函数值会重复用到，在迭代公式中也要用到，上一步的x 1作为下一步的x 0也会再一次用它的函数值，为减少重新计算该点函数值的运行时间，将x 1点的函数值保存在变量fx1中．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0，x 1；精度要求（即误差限）ε；函数f （x ）；最大迭代次数N7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：SecantMethod.m *%* 程序功能：用弦截法求解非线性方程. *%*************************************************************clc;clear all;f=inline('2*x^3-5*x-1'); % 函数f(x)x0=input('第一初值: x0 = ');x1=input('第二初值: x1 = ');epsilon=input('误差限: epsilon=');N=input('最大迭代次数: N=');fprintf('\n n x(n)\n'); % 显示表头fprintf('%2d%14.6f\n', 0, x0); % 占2位显示步数0, 共14位其中小数6位显示x0fprintf('%2d%14.6f\n', 1, x1); % 占2位显示步数1, 共14位其中小数6位显示x11 % 存x0点函数值2 % 存x1点函数值3 % 迭代计数器4 % while n≤ N% 弦截法公式fprintf('%2d%14.6f\n', n, x); %显示迭代过程6 % 达到精度要求否fprintf('\n\n 方程的近似解为: x≈%f\n\n', x);return; % 达到, 则显示结果并完毕程序89 % 原x1做x0为前两步的近似值10 % 现x做x1为一两步的近似值11 % x0点函数值12 % 计算x1点函数值, 为下一次循环13 % 计数器加1 14fprintf('\n 迭代%d 次还不满足误差要求.\n\n',N);《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Gauss 消去法) 2. 实验题目用Gauss 消去法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000.3000.2000.1643.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0321x x x ． 3. 实验目的掌握解线性方程组的Gauss 消去法． 4. 基础理论Gauss 消去法是通过对增广矩阵的初等行变换，将方程组变成上三角方程组，然后通过回代，从后到前依次求出各未知数．Gauss 消去法的第k 步(1≤k≤n -1)消元：若0≠kk a ，则依次将增广矩阵第k 行的kk ik a a /-倍加到第i 行（k+1≤i≤n），将第k 列对角线下的元素都化成0．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Gauss 列主元消去法) 2. 实验题目用Gauss 列主元消去法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000.3000.2000.1643.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0321x x x ． 3. 实验目的掌握解线性方程组的Gauss 列主元消去法． 4. 基础理论Gauss 列主元消去法也是通过对增广矩阵的初等行变换，将方程组变成上三角方程组，然后通过回代，从后到前依次求出各未知数．Gauss 列主元消去法的第k 步(1≤k≤n -1)消元：先在nk k k kk a a a ,,,,1 +中找绝对值最大的，将它所在的行与第k 行交换，然后将第k 行的kk ik a a /-倍加到第i 行（k+1≤i≤n），将第k 列对角线下的元素都化成0． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Doolittle 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行Doolittle 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ．3. 实验目的掌握矩阵的Doolittle 分解． 4. 基础理论矩阵的Doolittle 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积．若设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n u u u u u u u u u u U l l ll l l L000000,1010010001333223221131211321323121则可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=+=-=∑∑-=-=1111,,2,1,/)(,,1,,k t kk tk it ik ik k r rj kr kj kj nk k i u u l a l nk k j u l a u其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程（1）按计算公式依次计算一行u 同时计算一列l ；（2）因为计算完u ij （或l ij ）后，a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的u ij （和l ij ）仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵和U 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 对角线上的元素为1，上三角部分为0，下三角部分为A 中对应的元素；U 的下三角部分为0，上三角部分为A 中对应的元素．算法的伪代码描述： Input ：阶数n ；矩阵A7. 结果与分析8. 附录：程序清单%****************************************************% 程序名: Doolittle.m *% 程序功能: 矩阵LU分解中的Doolittle分解. *%****************************************************clc;clear all;n=4; % 矩阵阶数A=[6 2 1 -1;2 4 1 0; 1 1 4 -1; -1 0 -1 3]disp('A=');disp(A);% LU分解(Doolittle分解)for k=1:n% 计算矩阵U的元素u_{kj}% (可参照下面l_{ik}的公式填写)% 计算矩阵L的元素l_{ik}% L 在A 下三角, U 在上三角(对角线为1) enddisp('分解结果：'); disp('L='); for i=1:n for j=1:nif i>j % 在下三角部分, 则取A 对于的元素显示 fprintf(' %8.4f',A(i,j));elseif i==j % 在对角线上, 则显示1 fprintf(' %8d',1);else % 在上三角部分, 则显示0 fprintf(' %8d',0); end endfprintf('\n'); % 换行 enddisp('U='); for i=1:n for j=1:nif i<=j % 在上三角部分或对角线上, 则取A 对于的元素显示 fprintf(' %8.4f',A(i,j));else % 在下三角部分, 则显示0 fprintf(' %8d',0); end endfprintf('\n'); % 换行 end《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之LU 分解法) 2. 实验题目用LU 分解(Doolittle 分解)法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++104615631552162321321321x x x x x x x x x 3. 实验目的熟悉解线性方程组LU 分解法．4. 基础理论若将矩阵A 进行了Doolittle 分解，A = LU ，则解方程组b x A=可以分解求解两个三角方程组b y L=和y x U =．它们都可直接代入求解，其中b y L=的代入公式为∑-==-=11,,2,1,k j j kj k k n k y l b y而y x U=的代入公式为∑+=-=-=nk j kk j kjk k n n k u x uy x 11,,1,,/)( ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程（1）Doolittle 分解过程依次计算一行u 同时计算一列l 完成，并将计算的u ij （和l ij ）仍存放在矩阵A 中的相应位置；（2）求解方程组的代入公式中用到的u ij 和l ij 都直接在A 的相应位置取值即可． 算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；矩阵A ；常数项向量b7. 结果与分析8. 附录：程序清单%**************************************************** % 程序名: LinearSystemByLU.m *% 程序功能: 利用LU分解(Doolittle分解)解方程组. *%****************************************************clc;clear all;n=3; % 矩阵阶数A=[1 2 6; 2 5 15; 6 15 46];b=[1;3;10];% LU分解(Doolittle分解)for k=1:n% 计算矩阵U的元素u_{kj}% (可参照下面l_{ik}的公式填写)% 计算矩阵L的元素l_{ik}% L在A下三角, U在上三角(对角线为1) endfor k=1:n % 用代入法求解下三角方程组Ly=by(k)=b(k);3 %∑-==-=11,,2,1,kjj kjk knkylby33enddisp('方程组Ly=b的解：y=');disp(y');for k=n:-1:1 % 回代求解上三角方程组Ux=y x(k)=y(k);6 %∑+=-=-=nkjj kjk knnkxuyx11,,1,,666 enddisp('原方程组的解：x='); disp(x');《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Cholesky 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行Cholesky 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ． 3. 实验目的理解矩阵的Cholesky 分解． 4. 基础理论矩阵的Cholesky 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个下三角矩阵L 和L 转置的乘积，即A =LL T，其中L 各元素可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-=∑∑-=-=11112,,2,1,/)(k t kktk it ik ik k r kr kk kk nk k i l l l a l l a l其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：VC++ 6. 实验过程（1）按计算公式依次先计算一列对角线上的元素l kk ，再计算这列其他元素l ik ，且对称位置的元素也取同一个值；（2）因为计算完l ij 后，a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的l ij 仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 上三角部分为0，对角线和下三角部分为A 中对应的元素．算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；矩阵AOutput ：矩阵L (合并存储在数组A 中)行号 伪代码注释1 for k ← 1 to n2∑-=-=112k r krkk kk l a l3 for i ← k to n4 ∑-=-=11/)(k t kk tk it ik ik l l l a l计算结果存放在a ij5 endfor6 endfor7return L输出L7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：Cholesky.m * %* 程序功能：对称正定矩阵的Cholesky 分解. * %*************************************************************n=4; % 矩阵阶数 A=[6,2,1,-1; 2,4,1,0; 1,1,4,-1; -1,0,-1,3];disp('A ='); for i=1:n for j=1:nfprintf('%10.4f',A(i,j)); % 共占14位endfprintf('\n');% 一行完毕换行end% Cholesky 分解 for k=1:n % 计算对角线上的l _{kk}% 计算其他的l _{ik} % 和l _{ki}end % L 在A 下三角, L^T 在上三角disp('分解结果：'); disp('L='); for i=1:n for j=1:n if i>=j % 在下三角部分或对角线上, 则取A 对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));else % 在上三角部分, 则显示0 fprintf('%10d',0); end endfprintf('\n'); % 换行 end《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之改进的Cholesky 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行改进的Cholesky 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ．3. 实验目的理解矩阵改进的Cholesky 分解． 4. 基础理论矩阵的改进的Cholesky 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个单位下三角矩阵L 和对角矩阵D 与L 转置的乘积，即A =LDL T，其中L 和D 各元素可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-=∑∑-=-=11112,,2,1,/)(k t k kt it t ik ik k r kr r kk k nk k i d l l d a l l d a d其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：VC++ 6. 实验过程（1）按计算公式依次先计算D 的一个元素d k ，再计算L 中这列的元素l ik ，且对称位置的元素也取同一个值；（2）因为计算完d k 和l ij 后，a kk 或a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的a kk 或l ij 仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 对角线和上三角部分为0，下三角部分为A 中对应的元素；D 对角线为A 中对应的元素，其余都是0．算法的伪代码描述： Input ：阶数n ；矩阵AOutput ：矩阵L (合并存储在数组A 中)7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：ImprovedCholesky.m * %* 程序功能：对称正定矩阵的改进的Cholesky 分解. * %*************************************************************n=4; % 矩阵阶数A=[6,2,1,-1; 2,4,1,0; 1,1,4,-1; -1,0,-1,3];disp('A =');for i=1:nfor j=1:nfprintf('%10.4f',A(i,j)); % 共占14位endfprintf('\n'); % 一行完毕换行end% Cholesky分解for k=1:n% 计算D对角线上的u_{kk}% 计算L的元素l_{ik}% 和L转置的元素l_{ki} end % L在A下三角, D在对角线disp('分解结果：');disp('L=');for i=1:nfor j=1:nif i>j % 在下三角部分, 则取A对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));elseif i==j % 在对角线上, 则显示1fprintf('%10d',1);else % 在上三角部分, 则显示0fprintf('%10d',0);endendfprintf('\n'); % 换行enddisp('D='); for i=1:n for j=1:n if i==j % 在对角线上, 则取A 对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));else % 其余显示0fprintf('%10d',0); end endfprintf('\n'); % 换行 end《数值计算方法》实验3报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之追赶法) 2. 实验题目用追赶法求解线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----101053001210023100124321x x x x 3. 实验目的熟悉解线性方程组的追赶法． 4. 基础理论对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组，其Crout 分解可分解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------11111211122111122211n n nn n n nn n n t t t s a s a s a s b a c b a c b a c b A这样，解方程组可以由如下2步完成：“追”：,,,3,2,/)(,,/,/,1111111111n i s y a f y t a b s s c t s f y b s i i i i i i i i i i i i =-=-====-----其中：Tn f f ),,(1 为方程组的常数项，n t 没用；“赶”：.1,,2,1,,1 --=-==+n n i x t y x y x i i i i n n5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程在“追”的过程中，向量s 和y 都有n 个元素，t 只有n -1个元素，又1s 和1y 的计算公式与其它i s 和i y 不同，所以先单独计算1s 和1y ，然后在一个n -1次循环中，求其它i s 和i y 以与i t ．由于在“追”的过程中，i b ，i c 和i f 在分别计算完对应的i s ，i t 和i y 后就不再使用，所以借用数组b ，c 和f 存储向量s ，t 和y ；同样在“赶”的过程中，i y 在计算完对应的i x 后就不再使用，所以再一次借用数组f 存储向量x ．追赶法算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；三对角矩阵的三条对角线向量a ，b ，c ，常数项向量f Output ：方程组的解x改进的追赶法算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；三对角矩阵的三条对角线向量a ，b ，c ，常数项向量f Output ：方程组的解x7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：ChaseAfter.m *%* 程序功能：用追赶法求解三对角线性方程组. *%*************************************************************clc;clear all;n=4;a=[0,-1,-1,-3];b=[2, 3, 2, 5];c=[-1, -2, -1, 0];f=[0, 1, 0, 1];% "追"s(1) = b(1);y(1) = f(1); % 先单独求s_1和y_1 for k = 1 : n-1% 再求t_i(i=1,2,…,n-1)% s_i(i=2,3,…,n)% y_i(i=2,3,…,n)end% "赶"x(n) = y(n); % 先单独求x_nfor k = n-1 : -1 : 1% 再求x_i(i=n-1,n-2, (1)endx=x' % 输出解向量-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------改进的程序:%*************************************************************%* 程序名：ChaseAfter.m *%* 程序功能：用追赶法求解三对角线性方程组. *%*************************************************************clc;clear all;n=4;a=[0,-1,-1,-3];b=[2, 3, 2, 5];c=[-1, -2, -1, 0];f=[0, 1, 0, 1];% "追"% b(1)=b(1); % s_1仍在b_1中，不用重新计算y(1)=f(1)/b(1); % 先单独y_1for k=1:n-1% 再求t_i(i=1,2,…,n-1)% s_i(i=2,3,…,n)% y_i(i=2,3,…,n)end% "赶"% f(n)=f(n); % x_n等于y_n仍在f_n中for k=n-1:-1:1% 再求x_i(i=n-1,n-2, (1)endx=f' % 输出解向量《数值计算方法》实验4报告班级：20##级####x班学号：20##2409####：##X 成绩：1. 实验名称实验4 解线性方程组的迭代法(之Jacobi迭代)2. 实验题目用Jacobi迭代法求解线性方程组1231231232251223x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪⎩任取3. 实验目的掌握解线性方程组的Jacobi 迭代法． 4. 基础理论将第i （n i ≤≤1）个方程i n in i i b x a x a x a =+++ 2211移项后得到等价方程ii n in i i i i i i i i i a x a x a x a x a b x /)(11,11,11------=++--便可构造出Jacobi 迭代公式,1,0,/)()()(11,)(11,)(11)1(=------=++--+k a x a x a x a x a b x ii k n in k i i i k i i i k i i k i ． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单《数值计算方法》实验4报告班级： 20##级####x 班 学号： 20##2409#### ： ##X 成绩：1. 实验名称实验4 解线性方程组的迭代法(之Gauss-Seidel 迭代) 2. 实验题目用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组。
数值计算方法第二章
第二章 非线性方程数值解法在科学计算中常需要求解非线性方程()0f x = (2.1)即求函数()f x 的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}k k x +∞=，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton 迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．§2.1 二分法一、实根的隔离定义 2.1 设非线性方程(2.1)中的()f x 是连续函数．如果有*x 使*()0f x =，则称*x 为方程(2.1)的根，或称为函数()f x 的零点；如果有*()()()m f x x x g x =-，且()g x 在*x 邻域内连续，*()0g x ≠，m 为正整数，则称*x 为方程(2.1)的m 重根．当1m =时，称*x 为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()f x ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数()f x 连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[,]a b 是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/h b a n =-，k x a kh =+，(0,1,,)k n =．由左向右逐个计算()k f x ，如果有1()()0k k f x f x +<，则区间1[,]k k x x +就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h 足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程32()3430f x x x x =-+-=的一个有根区间．解 由22()3643(1)10f x x x x '=-+=-+>知()f x 为(,)-∞∞上的单调递增函数，进而()f x 在(,)-∞∞内最多只有一个实根．经计算知(0)0f <，(2)0f >，所以()0f x =在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长0.5h =，在点0.5x =，1x =， 1.5x =计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根． 二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b <，且方程(2.1)在区间(,)a b 内有惟一实根*x ．记1a a =，1b b =，中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 分为两个小区间11[,]a x 和11[,]x b ，计算函数值1()f x ，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果1()0f x =，则1x 是所要求的根；(2) 如果11()()0f a f x <，取新的有根区间2211[,][,]a b a x =； (3) 如果11()()0f x f b <，取新的有根区间2211[,][,]a b x b =．新有根区间22[,]a b 的长度为原有根区间11[,]a b 长度的一半．对有根区间22[,]a b 施以同样的过程，即用中点222()/2x a b =+将区间22[,]a b 再分为两半，选取新的有根区间，并记为33[,]a b ，其长度为22[,]a b 的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列1122[,][,][,][,]k k a b a b a b a b =⊃⊃⊃⊃其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[,]k k a b 的长度为11()2k k k b a b a --=-由*[,]k k x a b ∈和()/2k k k x a b =+，得*11()()22k k k k x x b a b a -≤-=- 当k →∞时，显然，有*k x x →．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设()f x 在隔根区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则由二分法产生的序列0{}k k x +∞=收敛于方程(2.1)在[,]a b 上的根*x ，并且有误差估计*1()(1,2,)2k kx x b a k -≤-= (2.2) 设预先给定根*x 的绝对误差限为ε，要求*k x x ε-≤，只要1()2k b a ε-≤成立，这样求得对分次数ln()ln ln 2b a k ε--≥． (2.3)取k 为大于(ln()ln )/ln 2b a ε--的最小整数．此时k x 是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断()0k f x =几乎不可能满足，取而代之为判断条件0()k f x ε<，其中0ε为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法 算法2.1 (二分法)输入 端点,a b 、根的绝对误差限ε、根近似值的函数值允许误差限0ε； 输出 近似解c 或失败信息；Step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k ； Step 2 对1,,n k =循环执行Step 3～5； Step 3 ()/2c a b =+，计算()f c ；Step 4 若0()f c ε<，则输出c ，end ；Step 5 若()()0f c f b <，则a c =，否则b c =．例 2.2 用二分法求32()4100f x x x =+-=在[1,2]上的根*x 的近似值，要求*31102k x x --<⨯． 解 由于在区间[1,2]上，(1)5f =-，(2)14f =，2()38(38)0f x x x x x '=+=+>，故()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x ．确定循环次数为11k =，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数()f x 的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同． 当函数()f x '连续时，方程(2.1)的实重根可转换为()0()f x f x ='的实单根． 一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．§2.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法． 一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[,]a b 上，将方程(2.1)等价变形为()x x ϕ= (2.4)在[,]a b 上选取0x 作为初始近似值，用如下迭代公式1()k k x x ϕ+= (0,1,2,k =) (2.5)建立序列0{}k k x +∞=．如果有*lim k k x x →∞=，并且迭代函数()x ϕ在*x 的邻域内连续，对式(2.5)两边取极限，得**()x x ϕ=因而*x 是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称()x ϕ为迭代函数，所得序列0{}k k x +∞=为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程3()10f x x x =--=的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解 利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1) 1k x +=，(2) 311k k x x +=-(3) 1k x += (4) 3112k k k x x x ++-=取初值0 1.5x =，迭代计算，结果见表2.2．例 2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数()x ϕ满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列0{}k k x +∞=的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?定理2.2 若函数()x ϕ在区间[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足条件 ① 对任意[,]x a b ∈，有()[,]x a b ϕ∈；② 存在常数L ：01L <<，使得对任意[,]x a b ∈有()x L ϕ'≤成立．则(1) 方程()x x ϕ=在[,]a b 上有惟一实根*x(2) 对任意0[,]x a b ∈，迭代公式(2.5)收敛，且*lim k k x x →∞= (3) 迭代公式(2.5)有误差估计式*11k k k Lx x x x L--≤-- (2.6)*101kk L x x x x L-≤-- (2.7)(4) **1*lim ()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=- (2.8) 证明 (1)构造函数()()g x x x ϕ=-，由条件①知()()0g a a a ϕ=-≤，()()0g b b b ϕ=-≥，因此()0g x =在[,]a b 上至少存在一个实根，又由条件②知当[,]x a b ∈时，()1()10g x x L ϕ''=-≥->，所以()0g x =在[,]a b 内存在惟一实根，即()x x ϕ=在[,]a b 内存在惟一实根，记为*x ．(2) 由0[,]x a b ∈及条件①知，[,]k x a b ∈(1,2,)k =，并且有1()k k x x ϕ+=，**()x x ϕ=，二者作差，并由微分中值定理得***1()()()()k k k k x x x x x x ϕϕϕξ+'-=-=- (1,2,)k = (2.9) 其中，k ξ介于k x 与*x 之间．结合条件②，得**1k k x x L x x +-≤- (1,2,)k = (2.10)反复递推，有**2*1*1100k k k k x x L x x L x x L x x ++-≤-≤-≤-≤≤-， (1,2,)k = 因01L <<，故*lim k k x x →∞=． (3) 由式(2.10)得***1111*1k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x L x x+++++-=-+-≤-+-≤-+-从而*111k k kx x x x L+-≤-- (2.11)又由于111()()()()k k k k k k k x x x x x x ϕϕϕη+--'-=-=-1k k L x x -≤- (1,2,)k =(2.12)其中k η介于k x 和1k x -之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计*11k k k Lx x x x L--≤--由式(2.12)反复递推，得111210k k k k k x x L x x L x x -----≤-≤≤-并代入式(2.6)得误差估计*11011kk k k L L x x x x x x L L--≤-≤--- (1,2,)k =(4) 由式(2.9)得*1*()k k k x x x x ϕξ+-'=-两端取极限，并注意到()x ϕ'的连续性和*lim k k x ξ→∞=(因为k ξ介于*x 与k x 之间)，得 **1*lim ()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=-． 误差估计(2.6)称为后验误差估计，也称为误差渐进估计，误差估计(2.7)称为先验误差估计．定理 2.2条件成立时，对任意0[,]x a b ∈，迭代序列均收敛，故称定理2.2为全局收敛性定理．下面讨论*x 邻近的收敛性，即局部收敛性．定理 2.3 设存在方程()x x ϕ=根*x 的闭邻域***(,)[,](0)U x x x δδδδ=-+>以及小于1的正数L ，使得()x ϕ'连续且()1x L ϕ'≤<．则对任意*0(,)x U x δ∈，迭代1()k k x x ϕ+=收敛．证明 由()x ϕ'在*(,)U x δ内连续，且有()1x L ϕ'≤<，则对任意*(,)x U x δ∈，有****()()()()x x x x x x L ϕϕϕϕηδδ'-=-=-≤<由定理2.2知迭代过程1()k k x x ϕ+=对任意初值*0(,)x U x δ∈均收敛． 二、迭代法的收敛阶为刻画迭代法收敛速度的快慢，引进收敛序列的收敛阶概念．定义2.2 设迭代序列0{}k k x +∞=收敛到*x ，记*k k e x x =-，如果存在常数0c >和实数1p ≥，使得1limk pk ke c e +→∞= (2.13)则称序列0{}k k x +∞=是p 阶收敛的．当1p =时，称0{}k k x +∞=为线性收敛的，此时要求01c <<；1p >为超线性收敛．p 越大，序列0{}k k x +∞=收敛到*x 越快．c 称为渐进常数，c 越小，收敛越快．所以迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量． 显然，由定理 2.2(4)知，当*()0x ϕ'≠时简单迭代法线性收敛，渐进常数*()c x ϕ'=．算法2.2 (简单迭代法)输入 初始值0x 、容许误差ε； 输出 近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m =循环执行Step 2～3； Step 2 10()x x ϕ=；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向Step2．例2.4 求方程()2lg 70f x x x =--=的最大实根的近似值，要求绝对误差不超过31102-⨯．解 (1)确定有根区间．方程等价形式为27lg x x -=作函数27y x =-和lg y x =的图形，如图 2.2所示，知方程的最大实根在区间[3,4]内．(2)建立迭代公式，判别收敛性．将方程等价变形为1(lg 7)2x x =+ 迭代函数1()(lg 7)2x x ϕ=+，迭代公式11(lg 7)2k k x x +=+． 由11()02ln10x x ϕ'=⋅>，[3,4]x ∈，知()x ϕ在区间[3,4]内仅有一根．又(3) 3.74ϕ≈，(4) 3.80ϕ≈，所以，当[3,4]x ∈时，()[3,4]x ϕ∈．图2.2 函数27y x =-和lg y x =的图形因为 3.54max ()(3)0.07x L x ϕϕ≤≤''==≈，所以对于一切[3,4]x ∈有 ()(3)0.071x ϕϕ''≤≈<由定理2.2知，迭代法收敛．(3) 迭代计算．取0 4.0x =，有1=3.801030x ，2=3.789951x ，3=3.789317x ，4=3.789280x 因为343110 2x x --≤⨯，所以方程的最大根*4 3.789280x x ≈=． 三、迭代法的加速对于收敛的迭代序列，理论上迭代次数足够多时，就可以使计算结果满足任意给定的精度要求．但在应用中，有的迭代过程收敛极为缓慢，计算量很大，因此研究迭代格式的加速方法是非常必要的． 1. 线性收敛序列的Aitken 加速法设0{}k k x +∞=是一个线性收敛的序列，极限为*x ．即有小于1的正数c 使得*1*limk k k x x c x x +→∞-=-由于它线性收敛，误差减少的速度较慢，值得采用加速技术．下面介绍Aitken 加速法．对充分大的k ，有*1*,k k x x c x x +-≈- *2*1k k x x c x x ++-≈- 由上面两式得**12**1k k k k x x x x x x x x +++--≈--解得22*2112121()22k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +++++++--≈=--+-+利用上式右端的值可定义另一序列0{}k k y +∞=，即得Aitken 加速公式2121()2k k k k k k kx x y x x x x +++-=--+ (2.14)它仍然收敛到*x ，但收敛速度更快．证明请参考文献[19]．2. Steffensen 迭代法Aitken 加速方案是对任意线性收敛序列0{}k k x +∞=构建的，并不限定0{}k k x +∞=如何获得．将Aitken 加速方法用于简单迭代法产生迭代序列时，得到著名的Steffensen 迭代法，具体迭代公式如下21()()(0,1,2,)()2k k k kk s x t s k s x x x t s x ϕϕ+=⎧⎪==⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩(2.15)或者直接写成21(())(())2()k k k k k k kx x x x x x x ϕϕϕϕ+-=--+ (0,1,2,)k =可以证明Steffensen 迭代法在一定的条件下与原简单迭代法的迭代序列具有相同的极限，但Steffensen 迭代法收敛速度更快，可以达到二阶收敛．证明请参考文献[19]．例 2.5 对例 2.3用Steffensen 迭代法求方程根的近似值，要求811102k k x x -+-<⨯． 解 (1) 简单迭代法 将原方程化成12(10/(4))x x =+，建立迭代公式121104k k x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 易验证该迭代公式在区间[1,2]上满足定理2.2的条件，产生的迭代序列收敛．(2) Steffensen 迭代法 加速公式为12122110410(0,1,2,)4()2k k k k k s x t k s s x x x t s x +⎧⎛⎫⎪= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨==⎪⎪+⎝⎭⎪-⎪=-⎪-+⎩(1) 取初值0 1.5x =，简单迭代法和Steffensen 迭代法计算结果见表2.3． 注意：Steffensen 迭代法每一迭代步的计算量大约是原简单迭代法计算量的两倍．§2.3 Newton 迭代法Newton 迭代法是求解非线性方程根的近似值的一种重要数值方法．其基本思想是将非线性函数()f x 逐步线性化，从而将非线性方程(2.1)近似地转化为一系列线性方程来求解．下面讨论其格式的构造、收敛性、收敛速度以及有关变形． 一、Newton 迭代法的构造设k x 是方程(2.1)的某根的一个近似值，将函数()f x 在点k x 处作Taylor 展开2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+- 取前两项近似代替()f x ，即用线性方程()()()0k k k f x f x x x '+-=近似非线性方程(2.1)．设()0k f x '≠，则用线性方程的根作为非线性方程根的新近似值，即定义1()()k k k k f x x x f x +=-' (2.16) 上式即是著名的Newton 迭代公式．它也是一种简单迭代法，其中迭代函数21()()()f x x x f x ϕ=-' Newton 迭代法具有明显的几何意义(如图2.3所示)．方程()0f x =的根*x 即为曲线()y f x =与x 轴的交点的横坐标．设k x 是*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上相应的点(,())k k x f x 作切线，其方程为()()()k k k x f x y f x x '+-=它与x 轴的交点横坐标就是1k x +．只要初值0x 取得充分靠近根*x ，序列0{}k k x ∞=就会很快收敛到*x ．所以Newton 迭代法也称为切线法．图2.3 Newton 迭代法的几何意义二、收敛性定理2.4 设*x 是方程(2.1)的单根，在*x 的邻域上()f x ''连续且*()0f x '≠．则存在0δ>，当***0(,)[,]x U x x x δδδ∈=-+时，Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=至少二阶收敛．证明 (1) Newton 法迭代函数的导数为2()()()[()]f x f x x f x ϕ'''='显然，()x ϕ'在*x 邻域上连续．又*()0x ϕ'=，一定存在*x 的某个δ闭邻域*(,)U x δ，当*(,)x U x δ∈时，有()1x L ϕ'≤< 从而Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=收敛．(2)将()f x 在k x 处作一阶Taylor 展开***210()()()()()()2!k k k k k f x f x f x x x f x x ξ'''==+-+- (2.17) 其中k ξ介于*x 与k x 之间．又由Newton 迭代公式有10()()()k k k k f x f x x x +'=+- (2.18)式(2.17)与式(2.18)相减22**21()()2()k k k k f x x x x f x ξ+''-=--' 从而**1*2*()lim 0()2()k k kx x f x x x f x +→∞''-=≠'- (2.19) 由迭代法收敛阶的定义知，Newton 迭代法至少具有二阶收敛速度．上述定理给出了Newton 法局部收敛性，它对初值要求较高，初值必须充分靠近方程根时才可能收敛，因此在实际应用Newton 法时，常常需要试着寻找合适的初值．下面的定理则给出Newton 法在有根区间上全局收敛的一个充分条件．定理2.5 设*x 是方程(2.1)在区间[,]a b 上的根且()f x ''在[,]a b 上存在，如果(1) 对于任意[,]x a b ∈有，()0f x '≠()0f x ''≠； (2) 选取初值0[,]x a b ∈，使00()()0f x f x ''>．则Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，并具有二阶收敛速度．(a)(b)(c) (d)23图2.4 定理2.5的几何解释证明 满足定理条件(1)共有4种情形，如图2.4所示．下面仅以图2.4(a )情况进行证明，此时满足对任意[,]x a b ∈有，()0f x '>，()0f x ''>，初值*0x x >．首先用数学归纳法证明0{}k k x ∞=有下界*x ． 当0k =时，*0x x >成立．假设k n =时，不等式*n x x >成立． 将*()f x 在n x 处作一阶Taylor 展开，得***2*()()()()()()0,(,)2!n n n n n n n f f x f x f x x x x x x x ξξ'''=+-+-=∈ 于是**2()()()()2()n n n n n n f x f x x x x f x f x ξ''=---'' 又由Newton 迭代公式，有**21()()2()n n n n f x x x x f x ξ+''=--' (2.20) 式(2.20)右端的第二项大于零，因此*1n x x +>．由数学归纳法知*k x x >，(0,1,2,)k =． 其次证明0{}k k x ∞=单调递减．由()0f x '>，*k x x >，*()0f x =知，()0k f x >，()0k f x '>，于是Newton 迭代公式(2.16)的第二项大于零，从而1k k x x +>故迭代序列0{}k k x ∞=单调减少．序列0{}k k x ∞=单调减少有下界*x ，它必有极限，记为ˆx ，它满足*0ˆx x x ≤<，进而有ˆ[,]xa b ∈．对1()()k k k k f x x x f x +=-'两端取极限，并利用()f x ，()f x '的连续性，得ˆ()f x=0．结合函数()f x 在[,]a b 上的单调性知*ˆx x =． 因此，Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，利用式(2.20)及式(2.19)知该Newton 迭代序列二阶收敛．算法2.3 (Newton 迭代法)输入 初始近似值0x 、 容许误差ε； 输出 近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m =循环执行Step 2～3； Step 2 1000()/()x x f x f x '=-；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向step2．例 2.6 利用非线性方程230x -=的Newton的近似值，使得811102n n x x ---≤⨯，并证明对任意0(0,)x ∈+∞，该迭代法均收敛．24解 (1) 建立计算公式213213(0,1,2,)(2)k k k kk kk x x x x x x +-=-=+=其中00x >．(2) 判断收敛性在区间(0,)+∞内，()20f x x '=>，()20f x ''=>，当选取初值0)x ∈+∞时，存在足够大的M，使得0]x M ∈．由定理 2.5知，该迭代公式产生的迭代序列0{}k k x ∞=当选取初值0x ∈时，100013()2x x x x =+>> 这样，从1x 起，以后的(2)k x k ≥．故该迭代公式对任何初值00x >都收敛． (3) 取初值02x =，迭代计算，结果见表2.4．从表2.4可见，迭代4步后已经满足精度要求，精确解1.73205080756888=．三、Newton 迭代法的变形Newton 迭代格式构造容易，迭代收敛速度快，但对初值的选取比较敏感，要求初值充分接近真解，另外对重根收敛速度较慢（仅有线性收敛速度），而且当函数复杂时，导数计算工作量大．下面从不同的角度对Newton 法进行改进． 1 Newton 下山算法Newton 迭代法的收敛性依赖于初值0x 的选取，如果0x 偏离*x 较远，则Newton 迭代法有可能发散，从而在实际应用中选出较好的初值有一定难度，而Newton 下山法则是一种降低对初值要求的修正Newton 迭代法．方程(2.1)的根*x 也是()f x 的最小值点，若把()f x 看成()f x 在x 处的高度，则*x 是山谷的最低点．若序列0{}k k x ∞=满足单调性条件1()()k k f x f x +< (2.21) 则称0{}k k x ∞=为称为()f x 的下山序列．25在Newton 迭代法中引入下山因子(0,1]λ∈，将Newton 迭代公式(2.16)修正为1()(0,1,2,)()k k k k f x x x k f x λ+=-=' (2.22)适当选取下山因子λ，使得单调性条件(2.21)成立，即称为Newton 下山法．对下山因子的选取是逐步探索进行的．一般地，从1λ=开始反复将因子λ的值减半进行试算，一旦单调性条件(2.21)成立，则称“下山成功”；反之，如果在上述过程中找不到使条件(2.21)成立的下山因子λ，则称“下山失败”，这时可对k x 进行扰动或另选初值0x ，重新计算． 2 针对重根情形的加速算法假设*x 是方程的(2)m ≥重根，并且存在函数()g x ，使得有**()()(),()0m f x x x g x g x =-≠ (2.23)式中()g x 在*x 的某邻域内可导，则Newton 迭代函数***1**()()()()()()()()()()()()()()m m m f x x x g x x x g x x x x x f x m x x g x x x g x mg x x x g x ϕ---=-=-=-'''-+-+-，其导数在*x 处的值***********()()()()()()()()lim lim()1lim 11()()()x x x x x x x x g x x x x x mg x x x g x x x x x x g x m mg x x x g x ϕϕϕ→→→---'-+-'==--=-=-'+-所以*0()1x ϕ'<<，由定理2.2知Newton 迭代法此时只有线性收敛速度．为了加速收敛，可以采用如下两种方法方法一 令()()()f x x f x μ='，则*x 是方程()0x μ=的单根，将Newton 迭代函数修改为2()()()()()[()]()()x f x f x x x x x f x f x f x μψμ'=-=-''''- 因此有重根加速迭代公式12()()(0,1,2,)[()]()()k k k k k k k f x f x x x k f x f x f x +'=-='''- (2.24)它至少二阶收敛．方法二 将Newton 迭代函数改为()()()f x x x mf x ϕ=-' 这时*()0x ϕ'=，由此得到加速迭代公式1()(0,1,2,)()k k k k f x x x mk f x +=-=' (2.25)3 割线法26Newton 法每步需要计算导数值()k f x '．如果函数()f x 比较复杂时，导数的计算量比较大，此时使用Newton 法不方便．为了避免计算导数，可以改用平均变化率11()()k k k k f x f x x x ----替换Newton 迭代公式中的导数()k f x '，即使用如下公式111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- (2.26)上式即是割线法的迭代公式．割线法也具有明显的几何意义，如图2.5所示，依次用割线方程11()()()()k k k k k k f x f x y f x x x x x ---=+--的零点逐步近似曲线方程()0f x =的零点．割线法的收敛速度比Newton 法稍慢一点，可以证明其收敛阶约为1.618，证明请参考文献[4]．此外在每一步计算时需要前两步的信息1,k k x x -，即这种迭代法也是两步法．两步法在计算前需要提供两个初始值0x 与1x ．图2.5 割线法的几何意义例 2.7 已知方程42()440f x x x =-+=有一个二重根*x =Newton 法(2.16)和重根Newton 法(2.24)和(2.25)求其近似值，要求611102n n x x ---≤⨯解32()48,()128f x x x f x x '''=-=-，2()2()()4f x x x f x xμ-=='，2m =． 由Newton 法(2.16)得221232(0,1,2,)44k k k k k kx x x x k x x +-+=-==由Newton 法(2.24) 得272122(2)4(0,1,2,)22k k kk k k k x x x x x k x x +-=-==++由Newton 法(2.25) 得22122(0,1,2,)22k k k k k kx x x x k x x +-+=-==利用上述三种迭代格式，取初值0 1.4x =，分别计算，结果见表2.5．3 10知识结构图习 题1 用二分法求方程2sin 0x e x --=在区间[0,1]内根的近似值，精确到3位有效数字．2 方程340x x +-=在区间[1,2]内有一根，试用二分法求根的近似值，使其具有5位有效数字，至少应二分多少次．基本概念 （单根、重根、收敛阶）283 已知方程3210x x --=在0 1.5x =附近有根，试判断下列迭代格式的收敛性，并用收敛的迭代公式求方程根的近似值，比较迭代次数，要求311102n n x x ---≤⨯ (1) 1211n nx x +=+；(2) 1n x +=；(3) 1n x +=．4 设有方程(1) cos 0x x -=； (2) 230x x e -=确定区间[,]a b 及迭代函数()x ϕ，使1()k k x x ϕ+=对任意初值0[,]x a b ∈均收敛，并求各方程根的近似值，要求411102n n x x ---≤⨯．5 用迭代法求50.20x x --=的正根，要求准确到小数点后5位．6 用Steffensen 迭代法求方程31x x =-在区间[1,1.5]内的根，要求准确到小数点后4位．7 用Newton 法和割线法分别求方程3310x x --=在02x =附近根的近似值，并比较迭代次数(根的准确值为* 1.87938524x =，要求准确到小数点后4位)．8 Halley 法是加速Newton 法收敛的一个途径，Halley 法在()f x 的单根情况下可达到三阶收敛．Halley 迭代函数是12()()()()1()2(())f x f x f x g x x f x f x -''⎛⎫=-- ⎪''⎝⎭其中括号中的项是对Newton 迭代公式的改进．(1) 设函数2()f x x a =-，试给出Halley 迭代公式，取初值02x =求5的近似值，要求准确到小数点后10位．(2) 设函数3()32f x x x =-+，试给出Halley 迭代公式，取初值0 2.4x =计算其根的近似值．要求准确到小数点后10位．9试建立计算x Newton 迭代公式，并取初值01x =求611102n n x x ---≤⨯．10 （数值试验）用二分法和Newton 法求下列方程的惟一正根的近似值)0.50x x x =11 （数值试验）设投射体的运动方程为/15/15()9600(1)480()2400(1)t t y g t et x h t e --⎧==--⎪⎨==-⎪⎩１）求当撞击地面时的时间，精确到小数点后10位． ２）求水平飞行行程，精确到小数点后10位．12 （数值试验）试用Newton 法分别求解方程(1)0m x -=，(3,6,12m =)，观察迭代序列的收敛情形，分析所发生的现象．能否改造Newton 法使得它收敛更快．。
计算方法第2章习题 - 参考答案
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。
如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。
k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。
第4章实例解析
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2
4
6
8
10
,7 ] [6 ,6 ] 【例4-13】求下面的非线性方程组在区间内 [0
的解。
ex sin2y2y2 10 s2x ysinx 0 co
• 同【例4-10】，利用鼠标取点进行每个零点的求解。编写程序 example_4_13.m，运行得到如下结果。
a t 2 ft ( ) e s i n t b | t | 1
其中a=0.1,b=0.5。
• 这里由于不好判断它的零点的范围，这时只有先画出图形观察。 再利 用鼠标取点进行每个零点的求解。编写程序example_4_11.m，运行得 到如下结果。
1
0
-1
-2
example_4_11.m
m l c o s m l c o s ( 1 8 0 1 2 0 ) alpha=linspace(0,pi/3); 1 1 2 2
【练2】由力矩平衡得：
G1=500;L1=1.5;G2=400;L2=2; 两边同时乘以重力加速度g，有 y1=@(alpha,G1,L1)G1*L1*cos(alpha); 2 y2=@(alpha,G2,L2)G2*L2*cos(pi/3G l c o s G l c o s ( ) 1 1 2 2 3 alpha); x=fzero(@(alpha)y1(alpha,G1,L1)y2(alpha,G2,L2),0)
2 xk1 1 yk 1.4xk yk1 0.3xk
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
【练4】编写程序exercise_4_4.m，得到如下结果。
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《计算方法》实验报告 实验名称：实验1 非线性方程的迭代法
实验题目：
0104x 23=-+x 实验目的：用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程的根 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验环境：操作系统：Windows XP ；
实验平台：matlab
实验过程：
方法一：简单迭代法
程序：
phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数
x0=input('x0=');del=input('del=');
N=input('N='); n=1;
fprintf('\n k x(k) ');
fprintf('\n %2d %f ',0,x0);
while n<N
x=phi(x0);
if abs(x-x0)<del
fprintf('\n \n 近似解 = %f \n',x);
return;
end
fprintf(' \n %2d %f ',n,x);
n=n+1; x0=x;
end
fprintf(' \n \n%d 次迭代后未达到精度要求.\n',N);
结果：
结果分析：
利用简单迭代法求出的该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230.
方法二：Steffensen迭代法程序：
phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数x0=input('x0=');del=input('del=');
N=input('N=');
n=1;
fprintf('\n k x(k) ');
fprintf('\n %2d %f ',0,x0);
while n<=N
y=phi(x0);z=phi(y);
x=phi(x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0));
if abs(x-x0)<del
fprintf('\n \n近似解= %f \n',x);
return;
end
fprintf(' \n %2d %f ',n,x);
n=n+1;
x0=x;
end
fprintf(' \n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n',N);
结果：
结果分析：
利用Steffensn迭代法求出该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230，两种方法对比，显然Steffensn迭代法比简单迭代法迭代的次数少，更快。