《图形中的规律》

= 10
练一练 按下面的方法划分点阵中的点，并填写 算式。
1=1 4=1+2+1 9= 1+2+3+2+1 16= 1+2+3+4+3+2+1
练一练 观察图中,找一找有什么规律。
1+2+3
2+3+4
3+4+5
4+ 5 + 6
24 个点 第7个点阵有 ＿
试
一 试
观察下图中已有的几个图形，按规律画出 下一个图形。
个，若摆80层,一共需
方体,其中 一层 二层
有 3160 个。 四层 n层 ……
1×1
2×2
3×3
4×4
n×n
问题解决
1
4
2
3
1 3 15 7
1 4 χ 13
问题解决
1
4
2
3
1 3 15 7
1 4 40 13
观察鱼的排列规律,在“？”处画上鱼图。
？
请从下面六个图中，选一个合适的填在“ ？ ”处。
利用你的发现，计算一下：
1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1＝？
100×100= 10000
交流你的发现吧！ 拐弯观察发现，划分的五个图形均是 正方形（第一个图形除外），前后图形 点的个数是以第一个图形的１点开始， 第二个图形比第一个图形增加３点，第 三个图形比第二个图形增加５点，第四 个图形比第三个图形增加７点，第五个 图形比第四个图形增加９点，即１+３+ ５+７+9＝２５. 规律：连续奇数的和
…
阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便， 然而在表现一些数的特征方面，点阵更加直观。 2300多 年前，古希腊数学家毕达哥拉斯就非常善于寻找点阵中 的规律，用点阵来研究数。
古希腊数学家 毕达哥拉斯
第五个点阵有多少个点？画出此图形。
25 5×5=25 你有什么发现呢？
序号 1
2
3
4
5
点阵 数
数缺形来少直观， 形缺数来难入微， 数形结合百般好，
隔离分家万事休。
中国现代著名数学家 华 罗 庚
试 一 试 观察下列点阵，并在括号中填上适当的 算式。
（1×2） （2×3）
（3×4）
（ 4×5）
试着画出第5个点阵图。
﹙5×6﹚
试
一 试
观察点阵的规律，画出下一个图形。
试
一 试
你有什么发现？ 1 1+2 1+2+ 3 1+2+3+4 =1 =3 = 6
如图：正五边形点阵，它的中心是一个点，算做第 一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点。 这个五边形点阵第12层有多少个点？
如图所示,在正六边形周围画出6个同样的正六边形(阴 影部分),围成第1圈;在第1圈外面再画出12个同样的正 六边形,围成第2圈;……。按这个方法继续画下去,当 画完第6圈时,图中共有______个这样的正六边形。
？
说说这节课你的收 获和疑惑吧！
北师大版五年级数学下册
单个摆三角形
三角形个数
1 2 3 4 小棒的根数 1×3=3
2×3=6
3×3=9 4×3=12
…
10
n
…
10×3=30 n×3= 3n
求n个单独的三角形的小棒数（边数） 我们可以用这样公式来概括这种规律： n×3=
3代表组成一个单 独三角形所需的 小棒数（边数）
n代表图形（三角 形）的个数
3+2(n-1)
三角形个数 1 2 3
摆成的图形
小棒的根数 3 =1+2
5 =1+2+2 7 =1+2+2+2 9 =1+2+2+2+2
4
10
…
21
…
…… （10个） 1+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 21（根）
1 + 2 ×10 = 21（根） 1 + 2 ×n
1+2n或2n+1
…… （10个）
3×10 – (10-1) = 21（根）
3×n – (n-1)
3n-(n-1)
写一写
方法一：
3+2(n-1)
方法二：
1+2n或2n+1
方法三：
3n-(n-1)
…… 摆100个三角形需要多少根小棒呢？
摆正方形会有 什么规律呢？
正方形个数 1 2 3
摆成的图形
小棒的根数 4 7 10
单个摆三角形
复合三角形
三角形个数 1 2 3
摆成的图形
小棒的根数 3 5 =3+2 7 =3+2+2 9 =3+2+2+2
4
10
每多摆1个三角形就增加2根小棒。
…
21
…
…… （10个）
3+2+2+2+2+2+2+2+2+2=21（根）
3 + 2 ×（10-1） = 21（根） 3 + 2 ×（n-1）
1+2+3+4+3+2+1
1+3+5+7=16
⑤
25
5×5= 25
1+2+3+4+5+4+3+2+1
1+3+5+7+9=25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：这些算式与序号有什么关系？
交流你的发现吧！ 斜着观察发现，划分的9个图形， 随着图形的变化，图中的点数也发生变 化。左上图形点的个数是以第一个图形 的１点开始，从第二个图形往后依次增 加1点，第五个图形为5点，从第五个图 形向右下又依次减少一个点，到一点， 即1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25。 规律： 1+2+3+4+…+N+ …+4+3+2+1=N×N
如图:每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形 点阵，根据图中提供的信息，用等式表示第５个正 2 5 10 ＋ 1５ ＝ 方形点阵中的规律是 。
……
11
2
1 3 22
3 6 32
6 10 42
……
有一张蓝白相间的方格纸,用记号(3,2)表示从左往右数 第3列,从上往下数第2行的这一格(如图),那么(19,81)这 一格是______色。
4
13
10
每多摆1个正方形就增加3根小棒。
…
…
摆 20个正方形需要多少根小棒？
…… 4 + 3×19 1 + 3×20 4×20 －19 4+2(n-1) 1+3n或3n+1
4n-(n-1)
如果边数继续增加，五边形象这 样摆下去，你们还能说出这里的 规律么？六边形呢？ 五边形 六边形 七边形 八边形 1+4n 1+5n 6n+1 7n+1
1
4
9
16
25
这些点阵图与 对应的数有什 么关系？和序 号呢？
25
能用数学算式表示25吗？
数形结合 序号 ① ② 数 形（点阵）
点阵中的规律
横竖看 1×1= 1 2×2= 4 斜着看 1 1+2+1 拐弯看 1 1+3=4
1 4 9
③
3×3= 9
1+2+3+2+1
1+3+5=9
④
16
4×4= 16
3,2
根据左图①的变化，推断出右图②
右边问号处应选几号图？
① ②
根据左图①的变化，推断出右图②右边 问号处应选几号图？ ① ②
根据前面三幅图的规律，在第四幅图中画出阴影部分。
根据前面三幅图的规律，在第四幅图中画出阴影部分。
点击出迷宫
如图，照这样摆下去，若摆到第1０层，一共需 其中 有 55 有 个, 有 3240 个, 三层 45 100 个正方体, 6400 个正