平抛运动

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图4－2－3
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如图 4－2－3 所示，由平抛运动规律 得 v⊥ gt tanθ＝ ＝ ， v0 v0 y 1 gt2 gt tanφ＝x＝ × ＝ ， 2 v0t 2v0 所以 tanθ＝2tanφ.
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(2)推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动 的物体，任意时刻的瞬时速度方向的 反向延长线一定通过此时水平位移的 中点．
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3．位移的变化规律 (1)任意相等时间间隔内，水平位移不变，且Δx＝ v0Δt. (2)任意相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移 差不变，即Δy＝gΔt2. 4．平抛运动的两个重要推论 (1)推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一 时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角 为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ.
高频考点例析
解析：选 A.由于物体做平抛运动， 1 2 2h 在竖直方向上 h＝2gt ，t＝ ，因 g s ha＞hb，故 ta＞tb，因 t＝v，由于水平方 向 sa＝sb，tb＜ta，所以 vb＞va.故 A 正确．
高频考点例析
题型二 与斜面有关联的平抛运动
例2 如图4－2－9所示，在倾角为α＝
图4－2－10
高频考点例析
(2)由小球的运动轨迹可知，当小 球的速度方向与斜面平行时， 小球与斜 面间的距离最大． 设此时小球已运动的 时间为 t0 如图 4－2－10 所示，则： gt0 ＝tanα v0 v0tanα 3 所以 t0＝ g ＝ s. 3
【答案】 2 3 (1) s 3 3 (2) s 3
高频考点例析
【解析】 (1)如图4－2－12所 示，设发球高度为h1时，飞行时间为 t1，根据平抛运动的规律得
图4－2－13
高频考点例析
1 2 h1＝ gt1 ① 2 s1＝v1t1② 2h1 联立①②解得 s1＝v1 g . (2)如图 4－2－13 所示，设发球高度 1 2 为 h2，飞行时间为 t2，同理得 h2＝ gt2 ③ 2 s2＝v2t2④ 且 h2＝h⑤ 2s2＝L⑥ L g 联立③～⑥得 v2＝ . 2 2h
3 A. s 3 2 3 B. s 3 C. 3 s D．2 s
图4－2－11
高频考点例析
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题型三 平抛运动中的临界问题
例3 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球
运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h， 乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不 变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设 重力加速度为g)
基础知识梳理
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三、平抛运动的规律 以抛出点为坐标，水 平初速度v0方向为x轴方 向，竖直向下的方向为y轴 方向，如图4－2－1所示， 则： 以抛出点为坐标，水平初速度 v0 方 向为 x 轴方向， 竖直向下的方向为 y 轴方 图4－2－1 向，如图 4－2－1 所示，则： 水平方向：vx＝ v0 ，x＝ v0t gt ，y＝ 1gt 竖直方向：vy＝ 2 vx2＋vy2 合速度：vt＝ 2 2 2 ＝ v0 ＋g t ，
(1)若球在球台边缘O点正 上方高度为h1处以速度v1水平 发出，落在球台的P1点(如图4 －2－12实线所示)，求P1点距 O点的距离s1；
图4－2－12
高频考点例 析
(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最 高点时越过球网落在球台的P2点(如图中虚线所示)，求v2 的大小； (3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越 过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点 的高度h3.
g 2 2h 3
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变式训练
3．如图4－2－15所示，一小球自平台上水平抛 出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面 顶端，并沿光滑斜面下滑而不反弹．已知斜面顶端与平 台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g取10 m/s2，sin53° ＝0.8，cos53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度v0是多 少？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 s是多少？ (3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小 图4－2－15 球离开平台后经多长时间t到达斜面底 端？
图4－2－5
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解析：选 D.竖直速度与水平速 gt 度之比为：tanφ＝ ，竖直位移与水 v0 2 gt 平位移之比为：tanθ＝ ，故 tanφ 2v0t ＝2tanθ，D 正确．
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二、类平抛运动的分析 1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速 度的方向垂直．
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题型一 平抛运动规律的应用
例1物体做平抛运动，在它落地前的1 s 内它的速度与水平方向夹角由30°变成 60°，g＝10 m/s2.求： (1)平抛运动的初速度v0； (2)平抛运动的时间； (3)平抛时的高度．
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【思路点拨】 根据已知条件，需正确利用 水平方向的速度不变，竖直方向速度随时间均匀 增大，应画出速度的矢量关系图，然后利用平抛 运动的规律求解．
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特别提醒
速度和位移与水平方 向的夹角关系为tanθ ＝2tanφ，但不能误认 为θ＝2φ.
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即时应用
1.如图4－2－5所示，一物体自倾角为θ的固定 斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与 斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθ C．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ
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【方法技巧】 (1)与斜面有关的平抛运 动，注意挖掘速度或位移方向条件，要么 分解速度，要么分解位移，一定能使问题 得到解决． (2)对平抛运动的分解不是唯一的，可借 用斜抛运动的分解方法研究平抛，即要灵 活合理地运用运动的合成与分解解决曲线 运动．
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变式训练
2．如图4－2－11所示，以 9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物 体，飞行一段时间后，垂直地撞 在倾角θ＝30°的斜面上，可知 物体完成这段飞行的时间是 ( )
图4－2－4
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如图 4－2－4 所示，设平抛物体的初 速度为 v0，从原点 O 到 A 点的时间为 t， A 点坐标为(x，y)，B 点坐标为(x′，0)则 1 2 x＝v0t，y＝ gt ，v⊥＝gt， 2 v⊥ y x 又 tanθ＝ ＝ ，解得 x′＝ . v0 x－x′ 2 即末状态速度方向的反向延长线与 x 轴的交点 B 必为此时水平位移的中点．
【解析】 (1)假定轨迹 上A、B两点是落地前1 s内的 始、终点，画好轨迹图，如 图4－2－7所示．
图4－2－7
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gt 对 A 点：tan30° ① ＝ v0 gt′ 对 B 点：tan60° ＝ ② v0 t′＝t＋1③ 1 由①②③解得 t＝ s， 2 v0＝5 3 m/s. (2)运动总时间 t′＝t＋1＝1.5 s. 1 2 (3)高度 h＝ gt′ ＝11.25 m. 2 【答案】 (1)5 3 m/s (2)1.5 s (3)11.25 m
30°的斜坡顶端A处，沿水平方向以 初速度v0＝10 m/s抛出一小球，恰好 落在斜坡的B点，取重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)小球在空中飞行的时间； (2)从抛出开始经多长时间小球与 斜面间的距离最大． 图4－2－9
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【解析】 (1)设小球的飞行时间 为 t.A、B 之间的距离为 sAB，由题中图 可知：sABcosα＝v0t① 1 2 sAB·sinα＝ gt ② 2 2 3 由①②两式解得：t＝ s. 3
2
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vy gt 方向 tanθ＝ ＝ v0 v0 2 2 合位移：s＝ x ＋y ， y gt 方向 tanα＝x＝ 2v0 .
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一、对平抛运动规律的进一步理解 1．水平射程和飞行时间 2h (1)飞行时间：t＝ ，只与 h、g g 有关，与 v0 无关． 2h (2)水平射程：s＝v0t＝v0 ，由 v0、 g h、g 共同决定．
2．类平抛运动的运动特点 在初速度 v0 方向做匀速直线运 动，在合外力方向做初速度为零的匀 F合 加速直线运动，加速度 a＝ m .
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3．类平抛运动的求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向 的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向) 的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且 与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立 适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0 分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
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解析：(1)由题意知，小球落到斜面上沿斜面下滑， 并未弹起，说明此时小球的速度方向与斜面平行，如图所 示，所以vy=v0tan53°，又vy2=2gh，代入数据得 vy=4 m/s，v0=3 m/s. (2)设小球离开平台到达斜面顶端所需时间为t1，由 vy=gt1得t1=0.4 s，则s=v0t1=3×0.4 m=1.2 m.
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2．如图4－2－6所 示，光滑斜面长为b，宽 为a，倾角为θ，一物块沿 斜面左上方顶点P水平射 入．而从右下方顶点Q离 开斜面，求入射初速度．
图4－2－6
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解析：物块在垂直于斜面方向没有运动，物块沿 斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上速度为v0的 匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运 动． 在沿斜面方向上 mgsinθ＝ma1，a1＝ gsinθ① 水平方向上的位移 x＝a＝v0t② 1 2 沿斜面向下的位移 y＝b＝ a1t ③ 2 gsinθ 由①②③得 v0＝a . 2b gsinθ 答案：a 2b
一、平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛 出，不考虑空气阻力，物体只在 重力 作用下所做的运 动，叫平抛运动． 2．性质：平抛运动是加速度恒为 重力加速度g 的 匀变速 曲线运动，轨迹是抛物线． 二、平抛运动的研究方法 将平抛运动分解为水平方向的 匀速 直线运动和竖直 方向的 自由落体 运动，分别研究两个分运动的规律，必 要时再用运动合成方法进行合成．
高频考点 例析
【方法技巧】 分析和研究平抛运 动，重在对水平方向做匀速直线运 动、竖直方向做自由落体运动规律的 理解和灵活交替运用、还要充分利用 平抛运动中的两个矢量三角形找各量 的关系．
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变式训练
1．如图4－2－8所示，在同 一竖直面内，小球a、b从高度不 同的两点，分别以初速度va和vb 沿水平方向抛出，经过时间ta和tb 后落到与两抛出点水平距离相等 的P点，若不计空气阻力，下列 关系式正确的是( ) 图4－2－8 A．ta＞tb，va＜vb B．ta＞tb，va＞vb C．ta＜tb，va＜vb D．ta＜tb，va＞vb
答案： (1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
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图4－2－14 (3)如图 4－2－14 所示，设发球 高度为 h3 时， 飞行时间为 t3， 同理得 1 2 h3＝ gt3 ⑦ 2 s3＝v3t3⑧ 且 3s3＝2L⑨
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设球从恰好越过球网到最高点的 【易误警示】 时间为 t，水平距离为 s，有 分析平抛运动中的 1 2 h3－h＝ gt ⑩ 临界问题，关键是 2 结合平抛运动的特 s＝v3t⑪ 点和规律寻找临界 由几何关系知，x3＋s＝L⑫ 情景、挖掘临界条 4 件．审题时对题目 联立⑦～⑫式，解得 h3＝ h. 3 中的“恰好”、 “刚好”等字眼要 2h1 L g 4 格外注意． 【答案】 (1)v1 (2) (3) h
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2．速度的变化规律 水平方向分速度保持vx＝v0 不变；竖直方向加速度恒为g，速 度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时 间，速度的矢量关系如图4－2－2 所示，这一矢量关系有两个特 点： (1)任意时刻的速度水平分量均等 于初速度v0. (2)任意相等时间间隔Δt内的速度 改变量Δv的方向均竖直向下，大小均 为Δv＝Δvy＝gΔt. 图4－2－2