矩形截面深梁的一个新理论及其应用

第
卷 第 期 年 月 文章编号：1007-791X (2009) 03-0243-04
燕山大学学报
矩形截面深梁的一个新理论及其应用
付宝连 ，陈英杰，王 超
）
（燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛 摘
要：综合考虑梁截面转动、相邻截面剪切变形和横向压力等影响推导出弯曲矩形截面深梁的新理论。作为 有限元结果进行了对照，验证了该新理论的正确性。 理论；矩形截面深梁；虚拟功的互等法；拟基本解 文献标识码：A
算例，应用虚拟功的互等法具体求解了在均布载荷作用下两端简支深梁的弯曲问题，给出了这种情况的数值计 算结果，与 关键词：
中图分类号：TU375.1
引言
目前梁的理论主要包括 伯努利）梁理论、 和各种高阶梁理论 。 （欧拉 （铁木辛柯）梁理论 梁理论与
对于图
所示直梁，
，于是式
成为
根据材料力学的知识，有
梁理论都假设同一剖面上所有点的横 向位移相同，梁的横截面在变形后仍为平面。但 梁理论不要求刚性剖面和梁的中线垂 直，即近似地考虑了剪切变形 。关于深梁平衡、 稳定、振动理论应用最广的是 理论。 于是 理论虽然考虑了相邻截面的剪切变形 对深梁弯曲的影响， 但是未考虑横向压力对深梁弯 曲的影响。实践与理论推导证明， 横向压力对深梁 的弯曲也具有一定的影响。本文模仿 厚板理论 的推导方法， 综合考虑梁截面转动、 相 邻截面剪切变形和横向压力等影响推导出弯曲矩 形截面深梁的新理论， 并应用虚拟功的互等法计算 了在均布载荷作用下两端简支深梁的弯曲问题， 与 有限元结果进行了比较，两者非常一致。 注意到 对式 进行计算，则得 其中，对于图 所示矩形截面，有
矩形截面深梁新理论的推导
由于 的推导 在 方向的弹性力学方程为 其中， 为沿 方向单位长度的载荷强度。 将式
收稿日期： 作者简介： 付宝连 （ ） ，男，辽宁沈阳人，教授，主要研究方向为弹性力学能量原理， ： 。
和式
代入式
，则有

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′
′
当
，
故得弯矩的表达式为
′ 所以
最后可得
的推导 可以验算，当 时， 。 根据切力胡克定律，则有 ′ 对式 两边均乘 ′ ，再从 到
积分，则得
图 矩形截面直梁
′
′
的推导 引入平均转角 的概念，便得 ′ 其中， ′ 为直梁的轴向位移。 因为 ′ ′ 注意到式 ，可得 ′ ′ 梁的受力为二维，故有 ′ 于是有 化简可得 ′ 再引入平均挠度 的概念 ′ ′ ′ ′ ′
将式
代入式
，则有 ′
故有

第
期
付宝连 等
矩形截面深梁的一个新理论及其应用
则得 ′ 将式 再将式 和式 代入式 中，则得 和式 代入式 ，则得
已知
，经过计算，则得 取拟基本系统如图 其挠曲线方程为 总结 在拟基本系统和实际系统（如图 所示）之间应用 所示两端简支矩形深梁，
虚拟功的互等法 ，则得实际系统挠曲线方程为
将式
代入式
，则得
再将式
代入式
，则得
图
拟基本系统
均布载荷作用下两端简支深梁挠度计算
均布载荷作用下两端简支深梁的挠曲线方程 将 展成三角级数形式为
图
实际系统
将 对 取二阶导数为

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数值计算 两端简支， 跨度 的深梁在上边受均布载荷 弹性模量 点挠度值列于表 （共 项） 。 高度划分为 ， 高度为 ， 宽度为 ， 泊松比 ， ，各种不同高跨比梁的中 中。对各种高跨比， 项截到 有限元模拟采用实体单元，沿 份， 取 层数据总和的算术平均值
但高跨比小于 过
时， 两者的最大相对误差也未超
，均在允许误差范围内。由此可见， 对
于高跨比较大的深梁，采用本文所推导出的新理 论，应用虚拟功的互等法求解，精度较高。
结论
本文通过对两端简支梁在不同高跨比下的中 点挠度数值计算以及与 有限元结果的对比 分析， 表明综合考虑梁截面转动、相邻截面剪切变 形和横向压力的影响所推导出的矩形截面深梁的 新理论是较精确的。 同时它可用于求解在不同荷载 作用下其他约束条件的深梁弯曲问题。 该理论丰富 了梁理论， 也可为实际工程中深梁构件的弯曲变形 计算提供依据，因此具有一定的理论和现实意义。
参考文献
高阳 王敏中 基于弹性通解的矩形深梁的精化理论 科学 辑 中国
作为最终模拟结果，其数值列于表 中。
表 不同高跨比下梁的中点挠度
不同高跨比 （ ） 解
数值解 本文解
相对误差
从表 分析可知，当高跨比小于 解与
时，本文
付宝连 弯曲薄板功的互等新理论
北京 科学出版社 应用
解几乎相同， 最大相对误差在
付宝连 求解厚矩形板弯曲问题的功的互等定理法 数学和力学
内，随着高跨比的增加，两者相对误差开始变大，
A new theory of deep beams of rectangular cross section and its application
Abstract:
Key words: