中位线定理

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
【证法①】
取AC中点G ，联结DG
则DG是三角形ABC的中位线∴DG∥BC
又∵DE∥BC
19．如图，△ABC中，如果AB＝30cm，BC＝24cm，AC＝27cm，AE＝EF＝FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )
A.70cmB.75cmC.80cmD.81mc
20．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于H，则AH∶HE等于（ ）
(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.
L=（a+b）÷2
已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．
S梯=Lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
证明
四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上的中点，求证：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2
∵AD∥BC∴EF∥AD∥BC
3.扩展
三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。
三、基本题组
1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；
2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；
3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；
4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；
5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；
6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。
7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。
8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；
10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；
11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
三角形、梯形中位线综合练习
A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形
15．M、N、P、Q顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形MNPQ为正方形的条件是( )
A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是等腰梯形D.四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC＝BD
16．已知三角形三边长分别为a、b、c，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )
∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）
2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。
三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？
二、选择题
12．梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( )
A.12cmB.5cmC.10cmD.20cm
13．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为( )
A.9B.6C.3D.
14．在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( )
6．已知梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是cm.
7．如图，△ABC中，AD、BE是中线且交于G，那么 ＝.
第1题图 第3题图 第7题图
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是.
9．如果中位线长是5，那么梯形的上底和下底的和是.
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝2 cm2，那么梯形的面积是cm2.
11．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB＝_____．
第8题图 第10题图 第11题图
A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．3∶2
第18题图 第19题图 第20题图
三、解答题
21．如图，△ABC中，D为AC的中点，E、F为AB的三等分点，CF交BD于G．求证：BG＝GD．
22．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足为M，点N为AC的中点，设AB＝10，BC＝6，求MN的长度.
一、填空题
1．如图，EF是△ABC的中位线，EF＝3，则BC＝.
2．已知梯形的中位线长为9，一条底边长是12，那么另一条底边长是.
3．如图，把长为8cm的长方形对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则打开后的梯形中位线长为cm.
4．已知梯形的下底长为4cm，中位线长为3cm，则上底长为cm.
5．三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连结各边中点所围成的三角形的周长是.
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时源自文库形的中位线就变成三角形的中位线。
二.中位线定理
1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，三角形两边中点的连线（中位线）平行于第BC边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
∴DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点∴AD=AB/2 AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
三角形中位线定理的的逆定理
逆定理一：三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
中位线定理
一.中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，若∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，求∠NMP的度数.
24．如图，在△ABC中，∠A+∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝ ，求AC的长.
25．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM＝ AB.
(1)全等三角形对应边相等；
(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(4)角平分线上的点到角的两边距离相等；
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
(7)平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；
A. (a+b+c)B. (a+b+c)C. (a+b+c)D. (a+b+c)
17．如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为( )
A.4B.7C.10D.14
18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，如果中位线EF的长为4cm，且BC＝3AD，则梯形下底的长为( )
A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm
证明：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
中位线证明
求证DE平行且等于BC/2
法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF
∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC
证明：
梯形中位线
连接AF并延长交BC的延长线于G。
∵AD∥BC∴∠ADF=∠GCF
∵F是CD的中点∴DF=FC
∵∠AFD与∠CFG是对顶角∴∠AFD=∠CFG
∴△ADF≌△CGF(ASA)∴AF=FG，AD=CG
∴F是AG的中点
∵E是AB的中点∴EF是△ABG的中位线
∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2∴EF=(AD+BC)/2
26．如图，△ABC的∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求△ABC三边之长.
27．如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB∥DE，AE∥BD，AD延长线交CE于F.①求证：EF＝FC；②若S△CED＝ S梯形ABCD时，求AD与BC的关系.
28．如图，同底边BC的△ABC与△DBC中，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、DC的中点，求证：EH与FG互相平分。