导数概念的引入
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
《导数的概念教案》
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
教学内容：第一课时一、导入（5分钟）1. 复习相关概念：函数、极限的概念；2. 提问：函数在某一点的极限有什么意义？二、新课讲解（15分钟）1. 引入导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率；2. 解释导数的物理意义：描述物体在某一时刻的瞬时速度；3. 示例讲解：利用极限的概念推导函数的导数；4. 强调导数的计算方法：求导数的关键是找到函数的导数公式。
三、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的定义和计算方法；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
第二课时四、新课讲解（15分钟）1. 介绍导数的运算法则：加法、减法、乘法、除法的导数法则；2. 示例讲解：利用导数法则计算复合函数的导数；3. 强调导数在实际问题中的应用：优化问题、物理问题等。
五、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的运算法则和应用；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对导数的定义、计算方法和应用的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作意识。
教学反思：本节课通过讲解、示例和练习，使学生初步掌握了导数的定义、计算方法和应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，提高学生的思考能力和合作意识。
加强对学生的个别辅导，提高学生的学习效果。
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
引入函数的导数与微分
引入函数的导数与微分在数学中，函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
而函数的导数和微分则是探索函数变化率和曲线特性的重要工具。
本文将介绍引入函数的导数与微分的概念和应用。
一、导数的引入在研究函数的变化趋势时，我们需要了解函数在某一点的变化率。
为了解决这个问题，数学家引入了导数的概念。
导数可以看作是函数在某一点的变化率，或者是函数曲线在该点上的切线斜率。
我们用f'(x)表示函数f(x)的导数。
为了计算导数，我们可以使用极限的概念。
将函数的自变量x在某一点a附近微小增加一个Δx，然后计算函数值的变化量Δf。
当Δx趋近于0时，Δf/Δx的极限就是函数在点a的导数。
即：f'(a) = lim[Δx -> 0] (f(a + Δx) - f(a)) / Δx二、导数的性质导数具有一些重要的性质，包括求导法则和运算法则。
求导法则包括常数导数法则、幂函数导数法则、指数函数导数法则、对数函数导数法则以及三角函数导数法则等。
运算法则包括求和、差、积、商的导数规则等。
导数的性质可以帮助简化复杂函数导数的计算。
通过运用不同的导数法则，我们可以快速求得各种函数的导数，从而更好地了解函数的特性。
三、微分的引入微分是导数的一个重要应用。
当我们对函数进行微分时，实际上是求出了函数在某一点上的切线方程。
微分可以用于近似计算函数在某一点附近的函数值。
对于函数f(x)，其微分可以表示为df(x)。
微分的计算可以利用导数的性质进行转化。
即：df(x) = f'(x) dx其中dx是自变量的微小变化量。
通过微分，我们可以建立函数在某一点的线性近似模型，进而计算函数在该点的近似值。
这在实际问题中有着广泛的应用，例如求解最优化问题、求出物体的运动状态等。
四、函数的导数与微分的应用函数的导数和微分在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 最优化问题：通过研究函数的导数和微分，可以求解函数的最大值或最小值。
导数概念的经典引例
y
y f x
M
导数概念的经典引例
C
M0
T
O
x0
x0 x
x
引例
1.直线运动的瞬时速度 2.平面曲线的切线斜率
1.直线运动的瞬时速度
设s表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
过的位移,则s s(t ).现在研究物体在t t0时的瞬时速度.
s t0
O
s t0 t
2.平面曲线的切线斜率
y
y f x
M
如果割线M 0 M 绕M 0点 旋转而趋向极限位置M 0T , 直线M 0T 就叫做曲线C 在 点M 0处的切线.
O
C
M0
T
x0
x0 x
x
f x0 x f x0 0 k切 lim k割 lim x x 0 0 x 0 x
回顾
s t 0 t s t 0 f x0 x f x0 【物理学】变速直线 【几何学】平面曲线 vt lim k切 lim t 0 x 0 t x 的瞬时速度 的切线斜率
0
f x0 x f x0 ' x0 lim lim f x 0 x 0 x x
t0 t
t
t0
1.直线运动的瞬时速度
设s表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经
过的位移,则s s(t ).现在研究物体在t t0时的瞬时速度.
s t0
O
s t0 t
t0 t
t
t0
s t0 t s t0 vt0 lim v lim t 0 t 0 t
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享
3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导． 定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的 左导数 ，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
导数的概念与函数的求导法则
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线 MN的斜率为 tan ϕ = = , x − x0 x − x0
C N ⎯沿曲线 ⎯⎯ ⎯ → M , x → x0 ,
f ( x ) − f ( x0 ) . 切线 MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
二、导数的定义 定义1 设y = f ( x )在点x0的某个邻域U ( x0 )内有定义,
+ h n−1 ] = nx n − 1
即
更一般地 例如,
( x n )′ = nx n − 1 .
( x μ )′ = μ x μ −1 . ( μ ∈ R )
1
1 −1 1 2 = . ( x )′ = x 2 x 2 ( x )′ = ( −1) x
−1 − 1− 1
1 =− 2. x
2 ′ (x ) = 3x
实例2 切线问题
割线的极限位置——切线位置
播放 播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN → 0, ∠NMT → 0.y = f ( x)来自N TCo
α
M
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
即 f +′ (0) ≠ f −′ (0), ∴ 函数 y = f ( x )在x = 0点不可导 .
y
y= x
o
x
注意
导数的几何意义与物理意义
y
y = f ( x)
（1）几何意义
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的
高数6导数定义、四算
在物理学中，速度可以看作是位移函数对时间的导数，即切线斜率表示了物体在某一时刻的瞬时速度 。
导数定义及表示方法
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数值的增量与自变量的增量的比值在自 变量增量趋于0时的极限。
导数的表示方法
导数通常用符号f'(x)或y'表示，表示函数f(x)或y=f(x)在x处的导数。同时，导数 也可以通过极限公式、导数表或求导法则来计算和表示。
03
导数运算法则的适用条件
在使用导数四则运算法则时，需要注意其适用条件。只有 当各个函数在相应点处都可导时，才能使用这些法则进行 求导。
拓展延伸：微分概念引入
01
微分的定义
微分是函数改变量的线性部分，即在 一个数集中，当一个数靠近时，函数 在这个数处的极限被称为函数在该处 的微分。微分的中心思想是无穷分割 ，其中微分是函数改变量的线性部分 。
瞬时速度是物体在某一时刻的速度，加速度是速度的 变化率。
瞬时速度和加速度是物理学、工程学等领域中重要的 概念，对于研究物体运动规律具有重要意义。
边际成本和边际收益问题
01
边际成本是增加一单位产量所带来的成本增量，边际
收益是增加一单位销售量所带来的收益增量。
02
利用导数可以求出企业在不同产量或销售量下的边际
高阶导数是指函数对自变量进行多次求导后得到的导数。
高阶导数可以反映函数更细微的变化特征，如凹凸性、拐点等。
对于一些复杂函数，需要利用高阶导数的计算方法来求解其导数。常用的高阶导数 计算方法包括逐次求导法、莱布尼茨公式等。
03 四则运算求导法则
加减运算求导法则
加法运算求导
若函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处可导，则它们的和$u(x) + v(x)$在点$x$处也可 导，且$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$。
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即。
二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
导数的概念教案
导数的概念教案导数的概念教案一、导学目标：1.了解导数的概念及其作用；2.掌握求导的方法和技巧；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学过程：1.导入导数概念：导数是微积分学中的一个重要概念，它是一个函数在某一点上的切线的斜率。
可以理解为函数的变化率，用来描述函数在某一点附近的变化情况。
2.导数的定义：如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则在 x=a 处的导数定义为：f'(a)=lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)3.求导的方法：（1）导数的基本运算法则：- 常数的导数等于0；- 幂函数的导数等于其指数乘以自身的底数，再乘以幂差一的指数；- 三角函数的导数等于其对应的导数函数；- 指数函数的导数等于其对应的导数函数。
（2）运用链式法则求导：- 两个函数相乘，求导结果等于两个函数的导数相乘；- 复合函数，求导结果等于外函数对内函数求导结果的乘积。
4.导数的应用：通过求导，我们可以得到一个函数在某一点的导数，从而推断出该函数在该点的增减性、极值点、凹凸性等。
5.例题演示：（1）求函数 f(x) = x^2 在 x=2 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (f(x)-f(2))/(x-2) 。
代入函数 f(x) = x^2，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (x^2-2^2)/(x-2) 。
计算出 f'(2)=lim(x->2) (x+2) = 4。
（2）求函数 f(x) = sin(x) 在x=π/6 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (f(x)-f(π/6))/(x-π/6) 。
代入函数 f(x) = sin(x)，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (sin(x)-sin(π/6))/(x-π/6) 。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。
第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。
6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。
6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。
6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。
7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。
八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。
8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。
第二章1 导数的概念引入
导数概念的产生及发展史
导数概念的产生及发展史导数这个东西，说起来还真有趣。
最早的时候，人们并没有什么“导数”这个概念，大家都是靠着直觉和经验在做事。
想想看，古代的数学家们就像是盲人摸象，摸到一点就以为全都明白了。
比如说，阿基米德他在搞面积和体积的时候，已经隐隐约约有了些导数的影子，只不过当时还没给它起个名字。
要是当时有“导数”这俩字，估计他能乐得合不拢嘴。
接着进入了中世纪，那个时候的数学简直是如同昙花一现，辉煌过后就有些冷落。
这个时候，大家把目光更多放在了神秘的宗教和哲学上。
数学的研究一度被边缘化，简直就是“沉寂如死水”。
直到文艺复兴的浪潮来了，数学又重新活跃了起来。
那时候，牛顿和莱布尼茨这俩位大咖相继提出了微积分的思想。
哎呀，他们真是聪明绝顶，分别从不同的角度看待变化的世界。
虽然他们的争论激烈得像一场世纪之战，但无论如何，这俩位的贡献让数学界的天空一下子亮了起来。
牛顿特别喜欢把事情用力学来解释。
他想啊，如果我知道了物体的位置和速度，接着想想如何变化，导数就应运而生。
想象一下，他像个科学怪人，心里不停琢磨着“变”的本质。
莱布尼茨则是从“无穷小”这个角度出发。
他的思维方式就像是在细致入微地观察一只蝴蝶的翅膀，是多么优雅啊。
他发明了“d”和“∫”这些符号，把一切复杂的事情都简单化了。
牛顿和莱布尼茨的争论，简直就像两个邻居为了修篱笆吵得不可开交，但实际上，他们的想法都各有千秋，各自的贡献真是不可小觑。
到了18世纪，数学界简直是一片繁荣昌盛。
许多大佬纷纷加入了微积分的队伍，像是欧拉、拉格朗日、柯西等人。
他们把导数的概念推向了更深的层次。
大家都在想，导数不仅可以用来研究运动，还可以用来分析函数的性质。
这时候，数学界可谓是“百花齐放，各显其能”。
人们开始把导数的应用延伸到经济学、物理学，甚至生物学等领域。
简直就是“风生水起”。
再后来，19世纪末到20世纪初，随着数学的不断发展，导数的理论也愈加完善。
人们对它的研究就像是给导数浇水施肥，越长越壮。
高等数学分析4.1导数的引入
6
§1. 导数的引进 Def : 若极限 lim
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x0 x
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y 与 lim lim 都存在，则分别 x 0 x x 0 x
x
故f ( x) | x | 在x 0不可导 .
Hunan City University
9
§1. 导数的引进
y f ( x)在(a, b) Def : 若y f ( x)在(a, b)内每一点都可导，则称
内可导 . 若f ( x)在(a, b)内可导，且 f ' (a)与f ' (b)都存在，则称
f ' ( x)是一个函数，而 f ' ( x0 )则是一个常数 ,
前者在 x0点的值恰好是后者 .
Hunan City University
10
§1. 导数的引进 三、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a;
T y
y0 y
Q
L
y0
o
Hunan City University
P
x0
x0 x
x
3
§1. 导数的引进 则由解析几何知，割线PQ的斜率为:
y2 y1 y f ( x0 x) f ( x0 ) tan . x2 x1 x x
L 点P)，设割线 PQ的极限位置为 令x 0 (点Q 沿
设y f ( x)在x0附近有定义，对于自变 量的任一
导数概念的引入方式探索
导数概念的引入方式探索在数学学习中，导数是一个重要的概念，它是微积分的重要组成部分。
导数的概念是在函数的基础上引入的，是描述函数局部变化率的工具。
导数的引入方式是微积分教学中的一个重要问题。
本文将从历史发展、图形、实例等角度探讨导数概念的引入方式。
一、历史发展导数的概念的历史可以追溯到17世纪，当时欧洲的数学家们开始研究曲线的斜率问题。
在这个问题上，牛顿和莱布尼茨是最早提出导数概念的数学家。
牛顿的导数概念是通过极限的概念引入的，而莱布尼茨则是通过微分的概念引入的。
在历史上，导数的引入方式有很多种，但最终形成的是基于极限的概念。
极限的概念是微积分的基础，是导数、积分等概念的定义所依赖的。
因此，极限的概念是导数概念引入的基础。
二、图形在导数概念的引入中，图形是一个重要的工具。
通过图形可以直观地理解导数的概念。
在图形上，导数的概念可以通过斜率的概念来引入。
斜率是曲线在某一点处的切线的斜率，它描述的是曲线在这一点处的变化率。
通过图形可以很好地理解导数的概念。
对于一条曲线f(x)，在某一点x处的导数可以理解为曲线在这一点处的切线的斜率。
这个斜率可以通过在这一点处画出切线来直观地理解。
切线的斜率越大，说明曲线在这一点处的变化率越大，反之亦然。
三、实例在导数概念的引入中，实例也是一个重要的工具。
通过实例可以更好地理解导数的概念。
下面我们通过几个实例来说明导数的概念。
实例1：一条直线的导数对于一条直线f(x)=ax+b，它在任意一点的导数都是常数a。
这个结论可以通过斜率的概念来理解。
对于一条直线来说，它在任意一点的斜率都是常数a，因此它在任意一点的导数也是常数a。
实例2：一条抛物线的导数对于一条抛物线f(x)=ax^2+bx+c，它在任意一点的导数都是2ax+b。
这个结论可以通过斜率的概念来理解。
对于一条抛物线来说，它在任意一点的切线的斜率都是2ax+b，因此它在任意一点的导数也是2ax+b。
实例3：一条正弦曲线的导数对于一条正弦曲线f(x)=sin(x)，它在任意一点的导数都是cos(x)。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
导数的数学史
导数的数学史
导数的数学史可以追溯到17世纪，由英国数学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨独立发现。
这两位数学家将导数作为计算曲线斜率的工具引入了数学中。
牛顿首次在1668年提出了导数的思想，他将函数的增量与自变量的增量之间的比值定义为导数。
然而，莱布尼茨在1675年以符号形式独立地重新引入了导数的概念，使用了我们今天通常使用的“d/dx”符号来表示导数。
导数的理论发展经历了一段时间，包括对极限的严格定义和微积分的完整发展。
1848年，法国数学家奥古斯丁·路易·柯西对导数进行了公理化的研究，并给出了更加严格和一般化的定义。
导数的研究不仅在微积分中起着重要的作用，还在许多其他学科中有广泛应用，如物理学、经济学和工程学等。
随着时间的推移，关于导数的研究逐渐深入，各种导数的概念和推广被提出并被广泛应用。
《导数概念的引入》课件
t 0
v
h 2 t h 2
13.1
t
t 0, v
从物理的角度看，时间
间隔 t 无限变小时，
平均速度无限趋近于
t 2s 时的瞬时速度.
h 2 t h 2
13.1
t
数学中，我们把确定值
13.1叫做“当 t 无限趋
当 t 0 时，在时间段 2, 2 t 内
t
2
-0.01
-0.001
-0.0001
-0.00001
-0.000001
-13.051
-13.0951
-13.09951
-13.099951
-13.0999951
……
-13.1
h 2 t h 2
v
2 t 2
演示1
视频1
发现规律、得出
结论
无限逼近
探究 2：你能求出运动员在 t 2s 时的瞬时速度吗？
当 t 0 时，在时间段 2 t, 2 内
t
h 2 h 2 t
v
2 2 t
4.9 t 13.1t
t
4.9t 13.1
4.9 t 13.1t
t
4.9t 13.1
2
-13.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
-13.149
-13.1049
-13.10049
-13.100049
-13.1000049
……
-13.1
观察：当 无限趋近于
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一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式2. 导数的运算法则3. 复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则yx∆∆等于（ ）A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．242x +∆ 2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33、如果质点A 按规律32S t =运动，则在3t =秒的瞬时速度为（ ）A ．6B ．18C ．54D ．814、曲线1y x =-在点1(,2)2-处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． 5、已知函数2()2f x ax =+，若(1)1f '-=，则a =__________．6、计算：（1）()57f x x =+，求(3)f '；（2）22()23f x x =-，求1()2f '-； （3）11y x =+，求0|x y =' 7、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系2105S t t =+，（S 的单位：m ，t 的单位：s ），求：（1）0120,.t t ∆==时的S t∆∆； （2）求20t =的速度．1、函数y =）A ．315xB ．325x C ．1545x - D ．1545x --2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π-C ．4πD ．54π3、已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)--C ．(2,3)--D ．(2,3)-4、（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点(1,1)处的切线方程为____________________．5、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．6、求下列函数的导数：（1）31()log 3x y x =+；（2）(1y =-+；（3）cos2sin cos x y x x =+．7、已知2()21f x x =-．21xy x =-（1）求()f x 在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 8、函数32(2)y x =+的导数是（ ）A ．52612x x +B ．342x +C ．332(2)x + D ．32(2)3x x +⋅9、已知1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数 10、曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24eC ．22eD ．2e 11、已知2()ln(1)f x x x =++，若()1f a '=，则实数a 的值为__________．12、sin3y x =在(,0)3π处的切线斜率为__________________．13、求下列函数的导数：（1）()f x =（2）223()x x f x e-++=；（3）1ln1xy x+=-，11x -<<． 14、已知x x x f 22sin 1cos )(+= ，求()4f π'．1、（09广东文）函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）3、若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<4、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________． 5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 6、（09北京理）设函数．xe x xf )3()(-=)2,(-∞),2(+∞()(0)kxf x xe k =≠AB C D（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．7、函数xxy142+=的单调递增区间是（）A．),0(+∞B．),21(+∞C．)1,(--∞D．)21,(--∞8、若函数123+++=mxxxy是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．),31(+∞B．]31,(-∞C．),31[+∞D．)31,(-∞9．函数221ln)(xxxf-=的图象大致是（）10、如果函数()y f x=的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x=在区间1(3,)2--内单调递增；②函数()y f x=在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x=在区间(4,5)内单调递增；④当2x=时，函数()y f x=有极小值；⑤当12x=-时，函数()y f x=有极大值.则上述判断中正确的是____________．11、已知函数32()f x x ax bx c=+++，()124g x x=-，若(1)0f-=，且()f x的图象在点(1,(1))f处的切线方程为()y g x=．（1）求实数a，b，c的值；（2）求函数的单调区间12、已知函数21()ln(4)2f x x x a x=++-在(1,)+∞上是增函数，求实数a的取值范围．13、已知函数xaxxf ln1)(-+=（Ra∈），()f x的单调区间．()y f x=(0,(0))f()f x()f x(1,1)-k)()()(xgxfxh-=1．C 2．B 3．C 4．4；44y x =- 5．12- 6．5；23-；－1 7．210.5；2101．C 2．C 3．B 4．2y x =-+ 5．83 6．111()ln 33ln3x x +；31221()2x x ---+ ；sin cos x x -- 7．43y x =-；(422)(422)y x =+-+或(422)(422)y x =--- 8．A 9．B 10．D 11．0或 1 12．－313．212x-；223(22)x x x e -++-+；221x - 14．89-1．D 2．D 3．A 4．0a ≤ 5．增区间1(,2)+∞，减区间1(0,)26．y x =；0k >时，增区间()1,k -+∞，减区间(1,)k-∞-0k <时，增区间(1,)k -∞-，减区间()1,k-+∞；[1,0)(0,1]-U7．B 8．C 9．B 10．③ 11．3,3,1a b c ===；增区间(,3)-∞-和(1,)+∞，减区间(3,1)- 12．2a ≥ 13．0a ≤时，增区间为(0,)+∞0a >时，在22(0,221)a a a ++上减，在22(221,)a a a ++∞+。