导数概念及基本函数的导数

二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的.
导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有
唯一的导数 f(x0), 然后定义函数-- y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定
的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新
函数, 即导数.
三、知识要点
1.导数的概念
对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 y
f(x)=y=lDixm0
Dy Dx
=lDixm0
f(x+DDxx)-f(x).
导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数
f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函
数值.
如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导.
综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
(2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1,
故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
--
典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a
f(x+Dx)-f(x)
Dx
.
求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量: Dy=f(x0+Dx)-f(x0);
(2)求平均变化率:
Dy Dx
=
f(x0+DDxx)-f(x0) ;
(3)
取极限:
得导数
f(x0)=Dlixm0
Dy Dx
.
如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导, 就说 f(x) 在开
的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即:
v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的
加速度.
--
3.几种常见函数的导数
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ);
(2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;
解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续, 则需 xlim0- f(x) =xlim0+ f(x)=f(0).
而 xlim0- f(x) =xlim0- (x2+x+1)=1,
f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b,
x0+
x0+
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
f(x0) 或 y | x=x0,
即:
f(x0)=Dlxim0
Dy Dx
=Dlxim0 f(x0+DDxx)-f(x0).
--
函数 y=f(x) 的导数 f(x), 就是当 Dx0 时, 函数的增量 Dy 与
自变量的增量 Dx 的比
Dy Dx
的极限,
即:
f(x)=y=lDixm0
Dy Dx
=lDixm0
处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数.
(1)解: 设f(-x)=g(x), 则
g(a+Dx)-g(a) f(-a-Dx)-f(-a)
g(a)=lim Dx0
(3)(lnx)=
1 x
,
(logax)=
1 x
logae;
(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
已知函数 f(x)=
x2+x+1, x≤0, ax+b, x>0.
(1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0
处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
--
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
2.导数的意义
(1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体
--
又
Dlxim0-
Dy Dx
=Dlxim0-[(0+Dx)2+(0+DDxx)+1]-(02+0+1)
=Dlxim0 -
(Dx+1)=1,
Dlxim0+
Dy Dx
=Dlxim0+[a(0+Dx)+Dbx]-(02+0+1)
=lim Dx0+
aDx+b-1 Dx
=a+lim Dx0+
b-1 Dx
故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
区间 (a, b) 内可导. 这时, 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值
x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间 (a, b) 内构
成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内
的导函数, 记作 f(x) 或 y(需指明-- 自变量 x 时记作 yx), 即:
相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0),
比值
Dy Dx
叫做函数
y=f(x)
在
x0
到 x0+Dx 之间的平均变化率,
即
Dy Dx
=
f(x0+Dx)-f(x0) Dx
.
如果当 Dx0 时,
Dy Dx
有极限,
就说ห้องสมุดไป่ตู้数
y=f(x)
在点
x0
处可导,
并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作: