非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性
非局部时滞反应扩散方程的行波解和渐近传播速度
非局部时滞反应扩散方程的行波解和渐近传播速度非局部时滞反应扩散方程的行波解和渐近传播速度1.引言非局部时滞反应扩散方程是一类常见的数学模型，在物理、生物学和化学等领域都有广泛的应用。
这类方程描述了物质或生物种群在非局部时滞条件下的传播、扩散和反应行为。
研究非局部时滞反应扩散方程的行波解和渐近传播速度对于理解和预测各种动态现象至关重要。
2.方程及基本概念我们考虑一维非局部时滞反应扩散方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,t) =D\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}(x,t) + f(u(x,t-\tau)), \quad x \in \mathbb{R}, t > 0\]其中，$u(x,t)$是扩散物质或生物种群的密度函数，$D$是扩散系数，$f(u)$是非线性的反应函数，$\tau$是时间延迟。
行波解是指方程中存在波动形式的解，其具有固定的传播速度和波形。
行波解在许多应用中具有重要的意义，例如描述火焰传播、疾病传播等。
渐近传播速度是指行波解中的波前（或波峰）传播的速度，也代表了传播或扩散过程中的特征速度。
研究行波解的渐近传播速度可以更好地理解和控制各种动态现象。
3.经典行波解的构造对于非局部时滞反应扩散方程，我们可以使用传统的行波解方法来寻找解的形式。
根据经典的行波解构造方法，我们假设方程中的行波解可以写成如下形式：\[u(x,t) = \phi(x - ct)\]其中，$\phi$是波形函数，$c$是行波解的传播速度。
将波动形式的解带入方程，可以得到一个常微分方程：\[-c\phi' = D\phi'' + f(\phi(x-\tau))\]我们可以通过适当的变换和近似方法，将上述方程进一步简化。
例如，当反应函数$f(u)$为饱和型的时候，我们可以使用Kolmogorov定理来求解波形函数$\phi$。
反应扩散方程的行波解与几类方程的多解性的开题报告
反应扩散方程的行波解与几类方程的多解性的开题报告一、研究背景反应扩散方程是生物学、化学、物理学、材料科学等多个领域中常见的数学模型之一。
该方程描述了在空间中扩散物质同时发生反应的行为，其研究具有重要意义。
其中，行波解是反应扩散方程中的一种特殊解，指方程中扰动沿着波前不断向前传播的解。
近年来，行波解在反应扩散方程解析解研究中得到了广泛应用。
另外，很多方程，包括非线性方程、拟线性方程和奇异摄动方程等，具有多解性，对其研究也非常有意义。
二、研究目的本文的研究目的是探讨反应扩散方程的行波解及几类方程的多解性。
具体研究内容包括：1. 分析反应扩散方程的基本形式及性质，并介绍行波解的概念；2. 探究反应扩散方程的行波解的构造方法；3. 研究几类方程的多解性，包括非线性方程、拟线性方程和奇异摄动方程等；4. 说明多解性的出现与方程的特殊性质的关系，并对其物理意义进行解释。
三、研究方法本文采用文献研究和数学分析相结合的方法。
首先，对反应扩散方程及相关的其他方程进行文献综述，了解其现状和研究进展。
然后，对于反应扩散方程的行波解和其他方程的多解性进行数学分析，探究其性质和构造方法，并进行例题分析和数值模拟。
最后，对研究结果进行总结和讨论，提出未来研究的方向。
四、研究意义本文的研究结果有以下几个方面的意义：1. 加深对反应扩散方程和其他一些特殊方程的理解和认识，促进其在实际场景中的应用；2. 发现和探究反应扩散方程的行波解及其他方程的多解性，有助于提高研究者对这些方程性质的认识，并为准确求解提供可能；3. 为进一步研究反应扩散方程及其他方程的特殊解提供思路和方法，开拓研究领域。
《几类非线性反应扩散方程整体动力行为研究》范文
《几类非线性反应扩散方程整体动力行为研究》篇一一、引言非线性反应扩散方程是一类在物理学、化学、生物学等众多领域中广泛应用的数学模型。
这类方程具有复杂的动态行为和丰富的解结构，因此对其进行深入研究具有重要的理论和应用价值。
本文将重点研究几类非线性反应扩散方程的整体动力行为，包括其解的存在性、唯一性、稳定性以及解的渐近行为等。
二、非线性反应扩散方程的基本理论非线性反应扩散方程是一类描述物质在空间中扩散和反应过程的偏微分方程。
其基本形式为：u_t = u_{xx} + f(u,u_x,t)其中，u(x,t)表示物质在空间x和时间t的浓度或密度，f(u,u_x,t)表示非线性反应项。
根据不同的f(u,u_x,t)，可以得到不同种类的非线性反应扩散方程。
三、几类非线性反应扩散方程的整体动力行为研究1. 自治系统中的非线性反应扩散方程对于自治系统中的非线性反应扩散方程，我们主要研究其解的存在性、唯一性和稳定性。
通过构造适当的Lyapunov函数，我们可以分析解的渐近行为和稳定性。
此外，我们还可以利用数值模拟的方法，直观地展示解的动态变化过程。
2. 非自治系统中的非线性反应扩散方程非自治系统中的非线性反应扩散方程具有更复杂的动态行为。
我们通过分析方程的相图和不变集，研究解的存在性和唯一性。
此外，我们还将利用动力学系统的理论，如分岔理论，研究解的稳定性和周期性等。
3. 具有时空依赖性的非线性反应扩散方程具有时空依赖性的非线性反应扩散方程在描述生物种群动态、化学反应等过程中具有广泛的应用。
我们主要研究这类方程的行波解和周期解。
通过构造适当的辅助函数和利用不等式技巧，我们可以得到解的存在性和唯一性。
此外，我们还将利用数值模拟的方法，展示解的时空演化过程。
四、研究方法与结果在本文中，我们采用了理论分析和数值模拟相结合的方法，对几类非线性反应扩散方程的整体动力行为进行了深入研究。
通过构造适当的Lyapunov函数、分析相图和不变集、利用分岔理论和不等式技巧等方法，我们得到了各类非线性反应扩散方程解的存在性、唯一性和稳定性的结论。
非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性分析
非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性分析张敏华【期刊名称】《《绥化学院学报》》【年(卷),期】2019(039)012【总页数】5页(P147-151)【关键词】非局部时滞反应扩散方程; 行波解; 存在性【作者】张敏华【作者单位】阳光学院基础教研部福建福州 350015【正文语种】中文【中图分类】O13在客观世界里普遍且大量存在时滞反应现象与非局部空间作用，这可以构建非局部时滞反应扩散方程来进行描述。
非局部时滞反应扩散方程结合了时间与空间上的非局部现象，被广泛应用于生态学、传染病学等多个领域，也成为了高等数学应用研究的重点与难点内容，相较于非局部反应扩散方程更为复杂[1]。
形如u（x,t）=u （x+ct）的行波解是非局部时滞反应扩散方程一类重要的稳态解，行波解能揭示非局部时滞反应扩散方程重要性质，且由于其具有空间平移不变性的特征能有效表现与描述自然界内的振动与有限速度传播现象，如可以表现生物物种的入侵过程以及传染疾病源的传播规律等，可见非局部时滞反应扩散方程的行波解具有很强的应用实践价值。
目前伴随着非局部时滞反应方程应用强度进一步深入，为了解非局部时滞反应方程的重要性质以及解决实际应用问题，非局部时滞反应方程的行波解展开研究是非常必要的。
对此，在反应扩散方程理论的基础上，着重分析了具有时滞的反应扩散的SIR 模型以及非拟单调时滞非局部扩散系统的行波解存在性。
一、文献综述自然界中扩散中普遍存在时间滞后和空间非局部作用，为进一步解决与描述这一现象，在上个世纪70年代起研究者将时滞与局部扩散相结合，如Levin将扩散反应引入到单种群模型中得到了具有时滞扩散Logistic 模型[2]。
但是随着研究的深入发现提出的局部有限时滞模型具有明显的局限性，模型中时滞与空间扩散是彼此独立的。
但是在实际现象中，在过去的时间里个体的空间内位置并不是一成不变的，而是随着时间变化个体在空间内是不断发生变化。
针对这一问题Britton（1989）进行了全方位的考虑，利用空间加权平均的思想提出如下单物种种群模型，其中g 是指定函数，卷积项（g*u）等于后来研究学者将这类具有结合了时空加权平均时滞项的反应扩散方程统称为非局部时滞反应扩散方程。
非局部扩散方程的行波解和整体解的开题报告
非局部扩散方程的行波解和整体解的开题报告
非局部扩散方程是一类描述复杂系统中多体相互作用的扩散行为的微分方程，与传统的局部扩散方程不同，它的扩散系数是非局部的，即它不仅与空间点的函数有关，还与整个系统的状态有关。
因此，非局部扩散方程在描述材料科学，物理，生物学，
生态学等领域的问题中具有重要的应用价值。
本课题的研究对象是非局部扩散方程的行波解和整体解。
行波解是指一个形如
$u(x,t) = U(x - ct)$ 的解，其中 $c$ 是常数。
在非局部扩散方程中，行波解具有特殊
的物理意义，因为它代表了一个在空间中移动且保持稳定形态的扩散波。
本课题将研
究如何通过变换方法或其他数学技巧得到非局部扩散方程的行波解，并进一步分析该
解的性质和应用。
整体解是指非局部扩散方程的一个完整解析解。
由于非局部扩散方程的非局部性质，解的求解比较困难，只有少数特定情况下才能得到解析解。
本课题将研究如何通
过一些数值方法（如数值积分方法、差分方法等）来求解非局部扩散方程的整体解，
在此基础上研究解的物理性质和数学特征。
本课题的研究意义在于深入了解并解决非局部扩散方程在实际问题中的应用。
研究成果可为相关实验提供理论指导和数值算法支持，进一步探索非局部扩散现象的特
点和规律，有助于推动科技领域的发展和进步。
具有阶段结构的Gilpin-Ayala竞争系统的行波解
） 一
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ｃｕ ｒ
ｄ （） ｚ 十ｏ 一 ２ｚ ＇ 一 ！ （） ２ （） ２ ） ０ ｚ 一ｃ２ ） ｔ ¨ （ —ｃ ） ２ 一ｃ （ ＝ ． （ ｖ ｅ Ｅ ｌ
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其 中， （） ｔ分别表示 ｔ Ｕ ｔ， ） （ 时刻两种群的密度 ； ｏ，ｌｃ 分别表示两种群的出生率和竞争系数 ，１ ２ ａ ， ｃ，２ ／ ， 表示非线性密度制约项 ． ５构造并研究了具有离散时滞 的 Ｇｌｎ Ａ ａ 竞争模型 ： 文［］ ｉｉ— ｙｌ ｐ ａ
和 Ｚｕ ｏ 建立的一般有限时滞的反应扩散方程组 波前解存 在性的理论 ，证明 了连接两个 边界平衡 解
的行波解 的存在性 。
（ 词］阶段结 构 ；时滞 ；行波解 ；平衡点 ；反应扩散方程 关键 ［ 中图分 类号］Ｏ ７ １ ５ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１ ８ ７Ｘ ２１）３ ００ — ５ ０ —１ （ １０ — ０５ ０ ０ ８ ０
【 ＝ ｃ ＋ （一 戈一 ｄ ｖ 口一 ￡ ） Ｊ ａ ｕ ， （ 一２（ ｘｖ ， ． ｆ）Ｃ ‘） ｔ） ， ， （
（ ．） ０ ２
，、
其中 ∈ＡｃＲ 且Ｑ有界 ， ＞ ，ｕ ｄ 表示种群 Ｉ 口 ｔ ０ ｄ ，ｖ ｔ ， 的扩散系数 ， 和 △为ｎ上的 Ｌｐ ｃ ｎ ａｌ ｉ 算子． ａａ
反应扩散方程的行波解及相关的反应方程的持续生存性研究的开题报告
反应扩散方程的行波解及相关的反应方程的持续生存性研
究的开题报告
题目：反应扩散方程的行波解及相关的反应方程的持续生存性研究
研究背景：
反应扩散方程是描述物质传输及化学反应过程的一类重要方程，在物理、化学、生物学等多个领域都有广泛应用。
其中，反应扩散方程中存在自发反应以及扩散、对流等输运现象。
在很多实际应用中，自发反应往往是非线性的，这使得方程的求解变得非常困难。
为了解决这个问题，许多研究人员提出了各种方法，其中行波解方法是一种有效的分析和求解途径。
研究内容：
本研究主要围绕反应扩散方程的行波解及相关的反应方程的持续生存性展开。
具体来说，包括以下内容：
1. 探究反应扩散方程的行波解及其性质；
2. 分析反应扩散方程的稳定解和非稳定解；
3. 研究反应方程的持续生存性，即反应过程能否继续进行而不会消失；
4. 验证理论结果，并进行数值模拟。
研究意义：
本研究不仅有助于深入理解反应扩散方程及其应用，也能为相关领域的实际问题提供一定的参考和解决思路。
具体而言，本研究将为生物发展和环境污染控制等方面的实际问题提供参考。
研究方法：
本研究将采用分析和数值模拟相结合的方法，利用行波解、Lyapunov函数等数学工具，研究反应扩散方程中的行波解性质及反应方程的持续生存性。
同时，对于一部分特殊情况还将对其进行数值模拟验证，以验证理论结果的可靠性。
预期成果：
通过本研究，预计能够得到包括以下方面的成果：1. 提出反应扩散方程的行波解及其性质；2. 探究反应方程的持续生存性；3. 对一些特殊情况进行数值模拟，并验证理论结果的可靠性。
含时滞的反应扩散Giu-Lawson方程波前解的存在性
的解叫行波解． 特别地 。 若 单调有界且不恒为常 数， 则称 ｕ ｘｔ 为方程 （ ） （， ） ２ 的波前解 。 其中ｃ 是实常 数， 称之为传播速度． 为 了 寻 找 方 程 （ ）的 波 前 解 ， ｕ ，） ＝ ２ 令 （ ｔ Ｕｚ。 ＋ ｔ （）ｚ＝ ｃ， 代人方程（ ） ２ 得
界 中的振荡现象以及扰动以有 限速度传播 的现象 ，
是 非线性 偏微 分方 程 的一个 重 要 研究 领 域 。 年来 近
发 展迅 速 ．
时滞是真实世界 中的一种普遍现象 ， 对微分方
程解 的性质有 较大 的影 响． 近年来 ， 时滞 的反应 扩 含 散方程被 广泛 研究 ． 别 是 对含 时滞 的反 应 扩 散 方 特
Ｖｏ ． ０． ． １ ３ Ｎｏ １
含时滞 的反应Leabharlann 散 ＧｕＬｗｏ 方程波前解 的存在性 ｉ—ａ ｓｎ
杨治 国， 李树 勇 ， 王 长有
（ Ｊ 师范大学 数学与软件科 学学院，四川 成都 ６０ ６ ） Ｉｔ ￣ ｌ １０ ６
摘要： 研究含时滞反应扩散 ＧｕＬｗ ｏ ｉ．ａ ｓｎ方程 的行波解 ． 利用波前解的存在性理论 ， 通过 构造 一个 二阶时 滞微 分方程的上解 和下解 ， 得到 当时滞较小 时 ， 微分方程 的波前解存 在 ， 当时滞较大 时 ， 即使微 分方程 的行 波解 存在 ， 也必将失去单调性 的结论 ． 关键词 ： 时滞 ；波前解 ；反应扩散 ＧｕＬ ｗ ｏ ｉ－ａ ｓｎ方程 ；上解 ；下解 中图分类号： １５ ２ Ｏ ７ ．６ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １ ３５ ２０ ） １ ０ ８０ １０ － ９ （０ ７ ０ － １ － ８ ０ ４
时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解
【正文】时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解一、引言时滞反应扩散方程(组)作为一类重要的非线性偏微分方程，在生物学、生态学、化学工程等领域都具有重要的应用价值。
本文将围绕时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解展开讨论，通过深入分析和探讨，帮助读者对这一主题有更深刻的理解。
二、时滞反应扩散方程(组)的基本形式时滞反应扩散方程是描述空间中自然界中的许多现象的重要数学模型，其一般形式可以写为：\[ u_t = d\Delta u + f(u) - \int_0^{\tau} k(s)g(u(x-s))ds \]其中，\( u(x,t) \) 是待求函数，表示空间位置为x、时间为t时的物理量；\( d \) 是扩散系数；\( f(u) \) 是物质的产生项和消耗项；\( k(\tau) \) 是时间滞后函数；\( g(u) \) 则表示物质的扩散项。
对于时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解的研究，需要深入理解方程中的各个参数和函数，以及它们之间的相互作用关系。
本文将分别从行波解和整体解两个方面进行探讨。
三、时滞反应扩散方程(组)的行波解行波解是非线性偏微分方程中的一类特殊解，描述了波的传播和形变过程。
对于时滞反应扩散方程(组)，其行波解的研究是非常重要的。
行波解可以通过变量变换和特定的求解方法得到，通常具有局部化、稳定性和非扩散性等特点。
针对时滞反应扩散方程(组)的行波解，我们可以通过一系列的推导和分析，得到其具体的数学形式。
在得到行波解的还需要对解的性质和行为进行分析和讨论，以便更好地理解方程描述的现象和规律。
基于行波解的特点，我们可以进一步讨论时滞反应扩散方程(组)在具体问题中的应用，例如在生态系统中的物种传播和竞争问题，以及化学反应过程中的物质扩散和转化等。
通过具体的案例分析和数值模拟，可以更直观地展示行波解在实际问题中的作用和意义。
四、时滞反应扩散方程(组)的整体解除了行波解之外，时滞反应扩散方程(组)的整体解也是我们关注的重点。
两类退化反应扩散方程具有代数衰减率的行波解的稳定性
具有年龄结构的竞争生态模型行波解的存在性
第２卷 ６
第４ 期
兰 州 交 通 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｌｆａ ｚｏ Ｊ ｏｏ ｇ ｉｅｓｔ（ ｔｒｌｃｅｃｓ ｏ ｍａ Ｌ ｎ ｈ ｕｉ ｔｎ Ｕｎｖｒｉ ＮａｕａＳ ｉ ｅ） ｏ ａ ｙ ｎ
ＶＯ． ６Ｎｏ ４ １２ ．
Ａｕ ２ ０ 舀 ０７
２０ 年 ８月 ０７
文 章 编 号 ：Ｏ １４ ７ （ Ｏ ７ Ｏ —１ ９０ １ ０—３ ３ ２ ０ ） ４０ ３ —５
具 有 年 龄 结构 的 竞 争 生 态 模 型行 波解 的存 在 性
王 仁 虎
（ 河西学 院 数学系 ， 甘肃 ， 张掖 ７ ４０ ） ３００
Ｏ ｑＵ ｌ ｒ
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Ｄ２ ｚ ａ ＋ ｚ ｇ （） ｚ ｓ
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摘
要： 主要考察 了具有年龄结构和分布 时滞 的竞争生 态模型 平衡 解的稳 定性 ， 以及 连接 两个边界 平衡 解 的行 波
解的存在 性． 出了平衡解稳定 的条件 以及行 波解存 在性 的条件． 给 关键 词 ： 时滞 ； 平衡 解； 行波解 ； 年龄结构 ； 争模 型 竞
中图分类号 ： ７． ４ ０１ ５ １ 文献标 识码 ： Ａ
，
是 （ｇ ｚ ａｊ ２ 一２。
一 ・
’ ， ＋ ， 一 （￡（ｇ＊ （ （ 厂（ ￡ ￡ ） ） ）
具非线性扩散一般反应系统的行波解存在性
孔一
＝
摘要：该文利用扰动方法研究具非线性扩散项及一般形式反应项系统行波解 的存在性．得到该
类系统存在行波解 的充分条件，使得相关参考文献的结果成为本文主要 定理 的推论．作为应用
பைடு நூலகம்
Ｖ
＋
］
给出了一类具体 的反应扩散系统行波解 的存在性条件 ． 关键词：非线性扩散；一般反应项；行波解．
一
Ｔｏ＝ ｄｅ ｔ
（ ＋） ） Ｉｅ（＋）州， （ ，＝ｔ Ｔｄ （ ） ａ＼， ） —ｔ ｅ ｆ ａ ｔｇ ＼） 丽 ｏ ｅ （ ） ．
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本 文 主要结 果如 下 ． 定理 １１ 假设系统 （． 有异宿轨 ｒ （ ：（ （ ， （ ）满足 ． １） ２ ｔ Ｖ ｔ ， ） ） ） ｌ ｉ ｍ （ ＝ｒ， 。 ｒ（ ＝ｒ． ｔ ） ｌ ｉ ｔ ） （． １） ３
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显 然 ，当 Ｃ 大时 ， Ｅ很 小．如果 Ｅ：０ 则 系统 （． 退化 为 很 ， ２２ ）
ｆ ＋（ Ⅳ ）ｇ＋ — ） ０ 一 ． ＋ 一 ＋（ Ｎ ：， 厂 １ １
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ＭＲ（０ ０ 主题分类： ４ ３ ； ４ ３； ５ ５ 中图分类号：Ｏ ７ ． 文献标识码。 ２０） ３Ａ ４ ３Ｌ ０ ３Ｋ ７ １５ ２ Ａ
文章编号 ： ０ ３３９（０２０—１—３ １０—９８２ １）１ ３１ １
１ 引言和 主要结果
行 波解 是双 向渐 近解 ，即当 自变量趋 向正负无 穷大 时 ，分别 趋 向于两个 不 同定 态 的解 ． 在 非 线性 动力 系统 中称为 连接 两 个不 同平衡 点 的异宿 轨 ．由于行 波 解 的存在 性 巨大地 影 响 着 动力 系统 的性质 ，一直 是 非常 活跃 的研 究领 域 ［ １】 １ ５ － ．但是 ， 已知参 考文 献 中研 究 的非 线 性模 型或 者具有 线性扩 散项 或者具 有特 殊 的反应项 ．受此 启发 ，本文 将研 究具有 非线性 扩散 及 一般形 式反 应项 的 系统 ，我 们将 看到基 于本 文 的研 究结果 ，相关 文 献 中的结论显 然成 立． 考虑 下 面的反 应扩 散模 型
具有非局部时滞的自我约束型竞争扩散模型行波解的存在性
易证 有 以下 性质 ：
引 １ 对任意 （ （∈ ， 理 ： ｆ Ｒ且满足厂 ， ） ２ 有：
（Ⅳ （≥ 对所有的ｉ １ 成立； １ ）） ０ ） ｔ ＝， ２
（Ｈ０ （ ２ （）） ） ｉ１ 是单调不减的， 对所有的ｉ １都成立； ＝， ２
（砘 ≤ ３ ） ） ） ， 对所有的 ≤ ≤１ 成立．
存在 的。 同时改进 了前人 的研 究范 围，把这种 方 法推广 到更广泛 的范 围。 关键 词 ：竞争模 型 ；非局部 时滞 ；行 波解
中图分类号 ：Ｔ １３ Ｐ ８
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１０ －５ ６ （０ ９ ０ —０ ３ —０ ０ ９ １０ ２０ ） ６ ０２ ３
具有离散 时滞 的反应扩散方程 的行波解 已被
型 的行 波解 ：
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嵋 州） “ （ （ （ 。 州） ＆ ）
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（ １ ）
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ｆ÷ ｏ －—ｏ ｆ ＿＊ Ｊ
定义：Ｈ ｃ ，） ｃ ，） 且记： （ Ｒ （ Ｒ， ｇ Ｒ
第 ６期
王海玲 ，等 ：具有非局部 时滞 的 自我约束型竞争扩散模型行波解 的存在性
ａ （ ，） ａＵ ｔ “ ｔ （ ，）
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ｆ） ｆ ） ｃ一 ） ≠ 一ｘ Ｘ １ （ 仍ｚｆ （ ｆ 。 ） ｇ １ｆ （（ ｃ） ｆ ｆ 一 ）） （ ＝Ｔ 一ｘ ｘ ｄ 仡。ｆ ） ｇ
非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性
非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性梁飞;高洪俊【期刊名称】《数学物理学报》【年(卷),期】2011(031)005【摘要】This paper is concerned with the existence of a reaction-diffusion equation with nonlocal delay. For special kernels, by linear chain trick and geometric singular perturbation theory, the authors consider a natural connection between the existence of travelling wave solutions for the reaction-diffusion equation with nonlocal delay and the existence of travelling wave solutions for the corresponding undelayed reaction-diffusion equation. It is showed that if the corresponding undelayed reaction-diffusion equation has a travelling wave solution, then the reaction-diffusion with nonlocal delay also has a travelling wave solution for any sufficiently small delay.%该文主要考虑非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性.对于特殊的核函数,通过线性链技巧和几何奇异扰动理论有机结合,建立了带有非局部时滞反应扩散方程和对应的不带时滞反应扩散方程行波解存在性之间的自然联系.得到如果不带时滞反应扩散方程行波解存在,则在时滞充分小的条件下对应的带时滞反应扩散方程行波解也存在.【总页数】9页(P1273-1281)【作者】梁飞;高洪俊【作者单位】南京师范大学数学科学学院南京210046;安徽科技学院理学院数学系安徽凤阳233100;南京师范大学数学科学学院南京210046【正文语种】中文【中图分类】O211.4【相关文献】1.一类拟单调非局部时滞反应扩散方程的行波解 [J], 赵海琴;严升2.非局部时滞Schoner竞争反应扩散方程的行波解 [J], 谢溪庄3.非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性分析 [J], 张敏华4.状态依赖时滞的非局部扩散方程的行波解存在性 [J], 王治; 万育基; 余志先5.一类具有时滞的非局部反应扩散方程非单调临界行波解的全局稳定性 [J], 周永辉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具有阶段结构的Lotka-Volterra合作系统的稳定性和行波解
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一
一
该系统首先 由 Ａｅｏ和 Ｆｅｄ ａ ［ 提 出，其中 Ｚ，ｔ 分别表示未成年个体与成年个体 的＝ ｉｌ ｌ ｒｅｍ ｎ ） ｔＺ ｉ ＝ △ △ Ｕ ｕ 数量．因为系统 （ 的第二个方程对第一个方程非耦合，故可以先单独研究第二个方程．系 ４ ） 统 （）中的参数 丁表示个 体从 出生到 成熟 的时 间， ， 分 别是 未成年 个体 与成 年个 体 的死 ４ ＋ ＋ 亡率 ．注意到模 型 （） ４ 隐含 一个 与现 实不 相符假 定 ：即所 有个体 从 出生到 成熟 所用 时 间都是 丁 一 个可行 的 替代方 案是 采用分 布 时滞 ，即允许 不 同 的个 体 从 出生到 成熟 所用 时 间是不 同 ． 七 的 ，用一个 满足 ｋｓｄ ＝ １的密度 函数 后来 表示 ．则 由简单 的建模 可 得到方 程 （）其作 （）ｓ ３， ｅ ｅ 为 系统 （）的第二个 方程 的拓 广 ，见 Ａ一 ４ １ Ｏｍａｉ Ｇｏｒ ｙ ． 一个单 物种模 型 ，从 符合 现 ｒ和 ｕｌ ［ 对 ｅ引 一 一 实的角度出发， 假定每个物种个体既不满足 ｌ ｉ ｉ方程也不满足时滞 ｌ ｉ ｉ方程， ｏ ｓｃ ｇｔ ｏ ｓｃ ｇｔ 而是满 Ｕ ｕ 足模型 （）并且 两物 种成年 个体 之 间的合 作是 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒａ 型 ，则得 到模 型 （）在 （） ３， ｏｋ—ｏｔ ｒ 类 ｅ １． １ Ｚ 式 中，如 果 Ｃ （ ＝１２ 是 负的 ，则 Ｃ 和 Ｃ 分 别 表示 了 Ｚ 对 Ｚ 和 Ｚ 对 Ｚ ｉ ，） １ ２ ｔ ２ ｔ １ ｔ １ ｔ ２的竞 争 效应 ； 如果 Ｃ 是 正 的，则 Ｃ 和 Ｃ 分 别表 示 了 Ｚ 对 Ｚ 和 Ｚ 对 Ｚ ｉ １ ２ ｔ ２ ｔ ｌ ｔ １ ｔ ２的合 一 应 作效 一 ． ｄ ｄ 如果 核 函数 １ 和 ２具有 紧支 集，则 系统 （） 为 １变
具有阶段结构的非局部时滞扩散模型的行波解
要 证 明其 存 在 连接 平 衡 点 Ｅ 和 的非 负行 波解 ， 一 只 最近 ． 吴事 良等 ［ ２ ］ 通过将 Ｗｕ和 Ｚ ｕ ］ ｏ［ 中的上 、 。 下 需 要 证 明 系 统 （） ２ 的第 一 个 方 程（ 为 （Ａ ） 在 满 足 记 ２） 存 解技 术 和单 调迭 代 方 法 进 行推 广 ， 明 了系 统 （ 的 条 件 ： 证 １ ） 第 二个 方程 （ 为 （Ｂ ）的单 增 非 负行 波解 的存在 记 １） ｌ ｉ ｍ ０ ， ｌ ｉ （ ｍ ∈÷∞ 一一 ∈ — 性 。 一 个 很 自然 的 问题 是 ： 系统 （） 否 存在 非 负行 １是 波解 ？ 文将 对这 个 问题 给 出答 案 。 本 下面我 们将 证 明 的非 负解 。
１ 预 备知 识
显然 ， 系统（ 有两 个空 间齐次 平 衡点 ： －（ ，） １ ） Ｅ ００ ， Ｅ 一 一 ） 中 十（ ｕ 其 最 近． ｏ ｒ ｙ和 Ｋ ａ ｇ］ 立 了一个 具有 阶段 结 Ｇ ｕｌ ｅ ｕｎ０ 建
－
构的非局部时滞 反应 扩散人 口模型， Ｕ 和Ｕ ｆ ） 分 别表 示未 成 年个 体 与成 年个 体 的密 度 。在 一 维 的无 界空 间 区域上， 该模 型 为
∈ 一 ，） （ ∞，
）丽 １ ｅ ｘ ｐ
、／ 々－ 丁 ４了 ｄ＿
ｆ
１
ｌ （ （，， ） （， ，ｍ （ ９， ９＝ ｉ 专 ＝００ １ （ ） ａ ｒ ） ）ｉ
【 斗０ ， Ｊ
定 理 １１ 任 意 的 ＞ ， 在 ｃ＞ ［对 ２ ： ０存 ０使 得 对 每 个
』
胁
７ ）。 Ｃ
２ 行 波解 的 存 在 性
定 理 ２ ｆ 若 ｄ Ｏ 定 义 ：１ ｉ ｉ ， ＝
一类时滞反应扩散方程的行波解
一类时滞反应扩散方程的行波解武红艳【摘要】通过定义上下解和构造单调迭代序列，讨论在反应项是在弱拟单调的条件下，具有双时滞和超前反应扩散方程波前解的存在性。
%Existence of traveling wave front of reaction-diffusion systems with two delays and anticipation is obtained by defining the upper and lower solutions and constructing iteration equations when the reaction term satisfies the nonquasi-monotonicity condition.【期刊名称】《晋中学院学报》【年(卷),期】2016(033)003【总页数】5页(P6-10)【关键词】具有时滞和超前反应扩散方程;行波解;上下解方法;单调迭代技术【作者】武红艳【作者单位】晋中学院数学学院，山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.1近年来，反应扩散方程理论被广泛应用到群种动力学、生物和物理模型，其行波解往往表现为传染源以有限速度传播的现象和一些震荡现象，也得到了空前发展.文献［1～4］考虑了时滞反应扩散方程行波解的存在性，还有很多加入对流和临界行波等的结论［5～6］，近年来随着PPE问题在其他泛函微分方程的引入［7］，PPF问题被引入反应扩散方程得到了具有时滞和超前反应扩散方程行波解的存在性［8］.本文在此基础上考虑双时滞方程.波前解的存在性.其中t≥0，x∈Rn，D=diag（d1，…，dn），di＞0，i=1，…，n，f：C（［-τ1，0］，Rn）×C（［-τ2，0］，Rn）×C（［0，τ3，］，Rn）→Rn是连续的，的解，则u（x，t）=φ（x+ct）是（1）的波前解.记分别表示作用于l，m，n等于0：=（0，…，0）T∈Rn的常向量函数¯分别表示作用于l，m，n等于k∶=（k，…，k）T∈Rn的常向量函数.ki＞0，i=1，2，…，n，对于u=（u1，…，un），υ=（υ1，…，υn）∈Rn，我们定义u≤υ当且仅当ui≤υi，i=1，2，…，n，u＜υ当且仅当u≤υ，u≠υ.是非减的，对任意r ＞0是非减的，我们有以下假设定义泛函H：C（R，Rn）→C（R，Rn）如下引理2.1假设（A1）（A2）成立，则对于任意φ∈Γ，（i）H（φ）（t）≥0，t∈R；（ii）H（φ）（t）在t∈R是非减的；（iii）对于任意t∈，当R在t∈R是非减时H（ψ）（t）≤ H（φ）（t）成立. 都是非减的.因此有（A2）（iii）证明类似（ii）.引理证毕.定义2.1函数φ∈C1（R，Rn）称为方程（2）的上解，若φ＇（t），φ″（t）几乎处处存在且都是有界的，且φ（t）满足：定义下解只需改变（4）的不等号.假设上解φ¯∈Γ和下解φ（不一定在Γ中）满足¯在t∈R上是非减的.下面我们考虑迭代方程的一个特解.引理2.3记t∈R，i=1，2，…，n.当c＞1-min{（αi+βi+γ）idi}时，y（1t）≜（y1（1t），…，y1（nt））T∈Γ是（2）满足（H1），（H2），（H3）的上解. 证明：先证y（1t）∈Γ.首先由极限计算可得接着我们证明y1在R上是非减的.任意r＞0，则然后证明任意上是非减的.事实上，因为所以由引理2.1和链式法则我们得到≥0，t∈R，i=1，…，n.最后证明进而得出在t∈R上是非减的.事实上，令，由引理（2.1）我们有记，t∈R，i=1，…，n.则r（it）≥0我们由基本解理论有其中c1，c2是常数，由λ1i＜0，λ2i＞0和ui的有界可知c1=c2=0，因此同理y（1it）-φ¯（it）≤0.则由，t∈R，i=1，…，n可得这样我们就知道在t∈R上是非减的，进而可知y1是（2）的上解，证毕.进而我们考虑下面的迭代方程：通过求解可以构造一个向量函数序列 {y m}∞m=1，则很容易有y（t）=mli→m∞ym（t）存在，y（t）是非减的，且满足引理2.4 y（t）是（2）（3）的解证明证明类似1.2.5［8］定理2.5假设（A1），（A2）成立，且（2）有一个上解φ¯∈Γ和下解φ（不一定在Γ中）满足（H1），（H2），（H3）当c＞1-min{（αi+βi+γ）idi；i=1，…，n}时（2）（3）有一解，即（1）有一个波速c＞1-min{（αi+βi+γ）idi；i=1，…，n}的波前解.这样我们最终得出具有弱拟单调双时滞和超前反应扩散方程波前解的存在性.【相关文献】［1］Wu Jianhong，Zou Xingfu.Traveling wave fronts of reaction-diffusion stems with delay［J］.Dynamic Differential Equations，200l，13：651～687.［2］Wu Jianhong，Zou Xingfu.Existence of traveling wave fronts in delayed reaction-diffusion systems via the monotone iteration method ［J］.Proc.Amer.Math.Soc，1997，125∶2589～2598.［3］武红艳.一类捕食与被捕食模型的行波解［J］.太原师范学院学报，2011，10（4）：17～19. ［4］Ma Siwang.Traveling wave fronts for delayed reaction-diffusion systems via a fixed point theorem［J］.J.Differential Equations，200l，171：294～314.［5］Wang Zaicheng，Li Wantong，Ruan Shigui.Existence and stability of traveling wave fronts in reaction advection diffusion equations with nonlocal delay［J］.J.Differential Equations，2007，238：153～200.［6］Chern I-Liang，Meiming.Stability of non-monotone critical traveling waves for reaction-diffusion equations with time-delay［J］.J. Differential Equations，2015，3. ［7］Yao Meiping，Zhao Aimin，Yan Jurang.Monotone method for first order functional differential equations with retardation and anticipation［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：4223～4230.［8］武红艳.一类反应扩散方程的行波解［D］.太原：山西大学，2012.。
对带有非局部时滞和扩散的捕食者-食饵系统的稳定性分析
（４ １） ．
（．） １５
Ｇｏｒ ｙｎｌ ｕｌ ［ 建立 了 （．） ｅ １３ 式解 的线性 稳定性 、全 局收 敛性 和解 的分支结 果 ． 另一方 面 ，在关 于 ｆ ｇ和 ｈ一定 的假设 下 ，许 多作者 研究 了如下 反应扩 散方 程 的行 波 ，
ｆｔｄ ＝１ （ ｔ ， ）
（ ） ， ＝ ／ ／ ｃｘＹｔ ）（ ） ｓ ｙｓ ｆ （ｔ 钆 ） （ ，—ｓ ｔ ，ｄｄ， ， ｆ —ｓ （ ）
Ｃ ｘＹｔ＝１＋ ∑ ｅ （，， ） 一 ｃｓ ｘ ｉｎ 是如下热方程的解 ｏｎ ｎ ｙ ｓ
Ｇｔ Ｇ ＝ ， ｔ ， ＞０ Ｙ∈（，） ０７， ｒ Ｇ （， ＝Ｇ （，） ０ ｔ ， ０ｔ ） ７ ｔ＝ ， ＞０ ｒ
厂 ｔ 厂７ ｒ
Ｕ＝／ ／ａｘ ， ｓ （ ｓ １ ， （ｓ ｙｓ ３ （Ｙ — ）ｔ ） （ｓ ２ ，ｄ ， ， ｔ ｆ — ｕ ） ） ｄ
（８ １） ．
Ｎ． Ｏ３
李玉 环等 ：对 带 有非局 部 时滞和 扩散 的捕 食者 一 饵 系统 的稳定性 分析 食
４７ ７
则 （． ，１２ 式等 价 于如下 问题 １ ） （．） １
１： “ ＋Ｕ （ｌ ｌ￣ ） １Ｆ（ｌｕ） （＞０Ｘ∈（，） ｔ ｌ ｌｒ —ａｌ １一０２ ｕ ，２ ｔ ｔ ０７） ｒ ，ｔ Ａｚ “ ＝？ ｚ～￣ （２ ２￣） ２Ｆ（ｌｕ） （＞０Ｘ∈（，） ２ ２ ｔ ｒ ＋ａ２２ ＋ａ１ Ｕ ，２ ｔ ２ ｔ ０７） ｒ Ｕ ０ｔ ＝Ｕ ７ ＝ ０ （ ＞０， ｌ（，） ｌ（，） ｒ ｔ ） Ｕ ０ｔ＝ Ｕ ７ ｔ＝ ０ （＞０， ２（，） ２（，） ｒ ｔ ）
。西南大学数学与统计学院 重庆 ４ ０ １ ） ０７ ５
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：
（．） １， ５
方程 （．） 前解 的存在 性 已经在 文献 ［２ １］ １５ 波 １，６ 中被研 究．
如果核函 数被取成 ｈ ， ＝ （ 孝ｅ÷或 ｈ ， ＝ １— ， （ ｔ ｚ 一 ｘ） ） （ ｔ （ ｔ对应的卷积 ｈ 被定义 ｘ） ）ｅ ｕ
为
， ｔ
（ ） ， ＝ ／ （—ｓ （，）ｓ ｈ （ ｔ ｔ ） ｘｓｄ． ） ｕ
十 ｄ ≥ 。＼ ， ， ， ２ （ ） ９ （ ）＼ ， ＋（ ， ） 乱 ， ＼ ，
：
＼ （） …， １ ． ４
收稿 日期 ： ０ ９１ —０ 修订 日期： ０ １０ — ０ ２ ０ —０２ ； ２ １ — ８２ Ｅ ｍ ａｌ ｌａ ｇ ｔ ＠ １６ｃ ｍ ； ａ ｈ ＠ｎ ｎ ．ｄ ．ｎ — ｉ ｉｎ ｍａ ｈ ２ ．ｏ ｇ ｏ ｊ ｊ ｕｅ ｕｃ ：ｆ
基金项 目：国家 自然科学基金 （０７ ０７ 和安徽 省高等学校 省级优 秀人才基金 （０ １ＱＲ ｌ５ １８ １９ ） ２ １Ｓ Ｌ ｌ）资助
ｌ ７ ２４
数
学
物
理
学 报
、 １ｌ ，． Ａ ０３
这个方 程 已经 被很 多研 究者 广泛研 究， 参见文 献 ［． ７ 如果 核 函数被取 成 ｈｘｔ＝ ｔ ） ］ （，） （）（一丁 这 时方程 （． 被 简化 为 １１ ） Ｏ （，） ｕ ｔ ｘ ａ 一ｄ ａ ２ ＋ｙ￣ｘ ， ， ． ，）乱 一丁） ｔ ’（’ ｔ “ ）． ，。 ，
性链技巧和几何奇异 扰动理论 有机结合，建立了带有非局部 时滞 反应扩散 方程和对应的不带 时滞反应扩散方 程行 波解 存在性之间的 自然联系．得到如果不带 时滞反应 扩散方程行波解存 在，则在时滞充分小的条件下对应的带时滞反应扩散方程行波解也存在．
关键词：行波解；非局 部时滞；几何奇异扰动理论．
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔｐ／ ｃ ｓ ｐ ａ ｃ ： ａ ｗ ／ ｃｎ
非局部时滞 反应扩散方程行波解 的存在性
，
。梁 飞
高洪俊
（ 南京师范大学数学科 学学院 南京 ２ ０４ ； 安徽科技学院理学院数学系 安徽风 阳 ２ ３０ ） １０６ ３１０
摘要：该文主要考虑 非局部时滞反应扩散方 程行波解 的存 在性．对 于特殊的核 函数 ，通 过线
２ 行波解的存在性
在这 一节 ，我们将 建立方 程 （．） 核函数 取 （．） 时行波 解 的存在性 ．为获得 我 们的 １１ 在 １ 式 ７ 主要 结果 ，需要 下面基 本 的假设 ．
这 里 ｄ＞ ０ｔ ０ ∈ ， ， ， ｈ是 一个 非负 的核 函数满 足
捌 … ，
（．） １ ２
使 得这 个核 函数 并不 影 响空 间的一致 稳 定性 ．卷 积被 定义 为
） ：
（ ｘ－ｙｔ ，－ｓ
ｄ－ Ｓ
（． １） ３
行 波解 是指 具有 形式 为 ｕｘｔ ＝ ＋ｃ） （，） （ ｔ 的解 ，其 中 Ｃ 代 表传 播速度 ， 说 明波 ∈ 的传播 特点 ． 由于 它在 数学理 论及 其 他领域 中的重大 意义 ，对 方 程 （． 行 波 解 的研 究 已经 １） １ 引起 很 多关 注 ，参见 Ａｉ ， １ ｍａｉ Ｇ ｕ ｌ ［ ３． ［ Ａ一 ｒ和 ｏ ｒ ｙ －］ ¨ ｏ ｅ 注 意到 通过选 取 不 同的时 滞核 函数 ，可 以从 方 程 （． 获得 各种 类 型的方 程 ．例 如 ，当 １１ ） ｈｘｔ ＝ ｔ 时，方程 （． 变成对应的不带时滞反应扩散方程 （， （）（ ） ） １） １
一
（． １） ６
方程 （． １１ ）中的卷积 取为 （．） １６ 式情形 下 ，行 波解 的存在 性 已经被研 究 ［ ９４． ８ ，］事实上 ，这个 －１ 时滞 反应 扩散方 程 （ 程 （．） 于卷 积取 为 （．） 可 以通过 直接 加扩散 项到 对应 的扰 动 方 １１ 关 １ 式） ６ 时滞 方程 中获得 ．但 最近 一些 年 ，一些 模型 用这 种方法 已经 变得相 当困难 ．这个 困难 是 由于 扩散和 时滞 ，即使它 们在 空 间和 时 间的联 系是对 应分 开 的，相 互之 间是 不独 立 的，因为 它们 在 以前 的时 间在 空 间 中没 有相 同的 点．为 了克服这 个 困难 ，我 们考虑 下面 的核 函数
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３Ｋ ７ ３ Ｋ ０ ３Ｒ ０ 中图分类号：Ｏ １． 文献标识码： ５ ５ ； ４ ３； ５ １ ２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １）５１７—９ ０３３９ （ １０—２３０ ０
１ 引言
ａ （，） ｕｘｔ
＝
ｄ ｝ ９ （ｔ（ ），， ＋（ ） （ｔ 乱 ，， ） ｕ ）
（， ＝ １ ｅ 意 ｅ ÷ 或 （ ） 一 ） 一 ｚ ＝
，
ｅ 面 ｔｅ 一ｗ 一 ２
．
（．） １ ７
在 每种情 形 下，参 数 丁＞０度 量时 滞，并能 通过将 这个 核 函数代入 （．） 被看 ．上面 的两 １１ 式 个 核函数 ，第 一个 有 时被 叫做 弱 时滞核 函数 ，而 第二个 经 常被 叫做强 时滞核 函数 ．上述 两个 核 函数 已经被 广泛研 究 ．相 应 的结 果 可以参 考文 献 Ｃ． Ｏｕ等 ＿． Ｌｎ等 ＿Ｊ １和 ｉ ３ １． ｌ 本文 我 们将 通过 线性链 技 巧和几 何奇 异扰 动理论 Ｉ 去建 立带 有非 局部 时滞反 应扩 散方 ｓ 】 程 （． 和对 应 的不带 时滞反 应扩 散方 程 （． 行波解 存 在性 之间 的 自然联 系． １） １ １） ４ 本文 的基 本框 架如 下：在第 二节 ，考虑 方 程 （．） 波解 的存在 性 ；第 三节 ，验 证 我们 １１ 行 的 主要结 果 ，应用 它 们去建 立生 态学和 生物 学 中的一 些模型 ．