非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性

这 里 ｄ＞ ０ｔ ０ ∈ ， ， ， ｈ是 一个 非负 的核 函数满 足
捌 … ，
（．） １ ２
使 得这 个核 函数 并不 影 响空 间的一致 稳 定性 ．卷 积被 定义 为
） ：
（ ｘ－ｙｔ ，－ｓ
ｄ－ Ｓ
（． １） ３
行 波解 是指 具有 形式 为 ｕｘｔ ＝ ＋ｃ） （，） （ ｔ 的解 ，其 中 Ｃ 代 表传 播速度 ， 说 明波 ∈ 的传播 特点 ． 由于 它在 数学理 论及 其 他领域 中的重大 意义 ，对 方 程 （． 行 波 解 的研 究 已经 １） １ 引起 很 多关 注 ，参见 Ａｉ ， １ ｍａｉ Ｇ ｕ ｌ ［ ３． ［ Ａ一 ｒ和 ｏ ｒ ｙ －］ ¨ ｏ ｅ 注 意到 通过选 取 不 同的时 滞核 函数 ，可 以从 方 程 （． 获得 各种 类 型的方 程 ．例 如 ，当 １１ ） ｈｘｔ ＝ ｔ 时，方程 （． 变成对应的不带时滞反应扩散方程 （， （）（ ） ） １） １
性链技巧和几何奇异 扰动理论 有机结合，建立了带有非局部 时滞 反应扩散 方程和对应的不带 时滞反应扩散方 程行 波解 存在性之间的 自然联系．得到如果不带 时滞反应 扩散方程行波解存 在，则在时滞充分小的条件下对应的带时滞反应扩散方程行波解也存在．
关键词：行波解；非局 部时滞；几何奇异扰动理论．
一
（． １） ６
方程 （． １１ ）中的卷积 取为 （．） １６ 式情形 下 ，行 波解 的存在 性 已经被研 究 ［ ９４． ８ ，］事实上 ，这个 －１ 时滞 反应 扩散方 程 （ 程 （．） 于卷 积取 为 （．） 可 以通过 直接 加扩散 项到 对应 的扰 动 方 １１ 关 １ 式） ６ 时滞 方程 中获得 ．但 最近 一些 年 ，一些 模型 用这 种方法 已经 变得相 当困难 ．这个 困难 是 由于 扩散和 时滞 ，即使它 们在 空 间和 时 间的联 系是对 应分 开 的，相 互之 间是 不独 立 的，因为 它们 在 以前 的时 间在 空 间 中没 有相 同的 点．为 了克服这 个 困难 ，我 们考虑 下面 的核 函数
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３Ｋ ７ ３ Ｋห้องสมุดไป่ตู้０ ３Ｒ ０ 中图分类号：Ｏ １． 文献标识码： ５ ５ ； ４ ３； ５ １ ２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １）５１７—９ ０３３９ （ １０—２３０ ０
１ 引言
ａ （，） ｕｘｔ
＝
ｄ ｝ ９ （ｔ（ ），， ＋（ ） （ｔ 乱 ，， ） ｕ ）
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔｐ／ ｃ ｓ ｐ ａ ｃ ： ａ ｗ ／ ｃｎ
非局部时滞 反应扩散方程行波解 的存在性
，
。梁 飞
高洪俊
（ 南京师范大学数学科 学学院 南京 ２ ０４ ； 安徽科技学院理学院数学系 安徽风 阳 ２ ３０ ） １０６ ３１０
摘要：该文主要考虑 非局部时滞反应扩散方 程行波解 的存 在性．对 于特殊的核 函数 ，通 过线
十 ｄ ≥ 。＼ ， ， ， ２ （ ） ９ （ ）＼ ， ＋（ ， ） 乱 ， ＼ ，
：
＼ （） …， １ ． ４
收稿 日期 ： ０ ９１ —０ 修订 日期： ０ １０ — ０ ２ ０ —０２ ； ２ １ — ８２ Ｅ ｍ ａｌ ｌａ ｇ ｔ ＠ １６ｃ ｍ ； ａ ｈ ＠ｎ ｎ ．ｄ ．ｎ — ｉ ｉｎ ｍａ ｈ ２ ．ｏ ｇ ｏ ｊ ｊ ｕｅ ｕｃ ：ｆ
—
：
（．） １， ５
方程 （．） 前解 的存在 性 已经在 文献 ［２ １］ １５ 波 １，６ 中被研 究．
如果核函 数被取成 ｈ ， ＝ （ 孝ｅ÷或 ｈ ， ＝ １— ， （ ｔ ｚ 一 ｘ） ） （ ｔ （ ｔ对应的卷积 ｈ 被定义 ｘ） ）ｅ ｕ
为
， ｔ
（ ） ， ＝ ／ （—ｓ （，）ｓ ｈ （ ｔ ｔ ） ｘｓｄ． ） ｕ
基金项 目：国家 自然科学基金 （０７ ０７ 和安徽 省高等学校 省级优 秀人才基金 （０ １ＱＲ ｌ５ １８ １９ ） ２ １Ｓ Ｌ ｌ）资助
ｌ ７ ２４
数
学
物
理
学 报
、 １ｌ ，． Ａ ０３
这个方 程 已经 被很 多研 究者 广泛研 究， 参见文 献 ［． ７ 如果 核 函数被取 成 ｈｘｔ＝ ｔ ） ］ （，） （）（一丁 这 时方程 （． 被 简化 为 １１ ） Ｏ （，） ｕ ｔ ｘ ａ 一ｄ ａ ２ ＋ｙ￣ｘ ， ， ． ，）乱 一丁） ｔ ’（’ ｔ “ ）． ，。 ，
（， ＝ １ ｅ 意 ｅ ÷ 或 （ ） 一 ） 一 ｚ ＝
，
ｅ 面 ｔｅ 一ｗ 一 ２
．
（．） １ ７
在 每种情 形 下，参 数 丁＞０度 量时 滞，并能 通过将 这个 核 函数代入 （．） 被看 ．上面 的两 １１ 式 个 核函数 ，第 一个 有 时被 叫做 弱 时滞核 函数 ，而 第二个 经 常被 叫做强 时滞核 函数 ．上述 两个 核 函数 已经被 广泛研 究 ．相 应 的结 果 可以参 考文 献 Ｃ． Ｏｕ等 ＿． Ｌｎ等 ＿Ｊ １和 ｉ ３ １． ｌ 本文 我 们将 通过 线性链 技 巧和几 何奇 异扰 动理论 Ｉ 去建 立带 有非 局部 时滞反 应扩 散方 ｓ 】 程 （． 和对 应 的不带 时滞反 应扩 散方 程 （． 行波解 存 在性 之间 的 自然联 系． １） １ １） ４ 本文 的基 本框 架如 下：在第 二节 ，考虑 方 程 （．） 波解 的存在 性 ；第 三节 ，验 证 我们 １１ 行 的 主要结 果 ，应用 它 们去建 立生 态学和 生物 学 中的一 些模型 ．
２ 行波解的存在性
在这 一节 ，我们将 建立方 程 （．） 核函数 取 （．） 时行波 解 的存在性 ．为获得 我 们的 １１ 在 １ 式 ７ 主要 结果 ，需要 下面基 本 的假设 ．