基于Matlab实验的非局部反应扩散逻辑方程解的进一步数值研究
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究 ，得到 以下数值结果
１ ． 若 ＜ ／ ４，上述 问题有一个稳定 的平衡解 Ｕ＝ ０；
２ ． 若 ＞ ｎ ／ ４，上述 问题有两个稳定 的平衡解 ＝ Ｏ和 “ ＝Ｕ ＞ ０． Ｔ ／ ＂ 其中 ｎ＝ １２ … ，从而为进一步研 究非局部问题 的解析解奠定基础 。 ，，
关键词 ：非局部反应扩散方程 ；数值 实验 ；平衡解 ；稳 定性；分歧
自然界 的各个领 域都有 着广泛 的应 用 ，通过 人 口动力 学的研 究 ，人们 可 以更好 地认识 和了解 自然模式 的形 成和发展 ，见 ［，， ，局部反应 扩散方程恰恰成为人们研究过程 中的一个经典之作 ，其有 如下形式［］ １ ３ ２】 ４：
收 稿 日期 ： ２ １ —０ —０ Ｏ２ ６ ６
｛ 一， ＝ （ ＝０ （１） １） ， ， Ｉ（，） ｇ（） ｘ０ ＝ １ ， ｕ ｔ０ ＞， ∈ 一，， （１） １ （５ １） ．
以 我 将 过 值 验 究（５的 衡 的 在 与 定 。 下 们 通 数 实 研 １） 平 解 存 性 稳 性 ．
｛ｌ＝ ， ｕ ０ ｍ
ｌ（，） ｇ（wenku.baidu.com ｕｘｏ ＝ ｌ
其 中
∈
＝
ｔ０ ＞，
Ｘ Ｑｌ ∈ ，
（） ０ ． １
，
并 Ｊ （ｌ ＝＝３：［： 且 ∈ ， 【： ： 二 ｊ ｏ 二 ： ｝ １
Ｑ＝ｘ ｋ １ × 【 ｋ ｎ ，∈ ，＝Ｘ… ，利 ａｂ 验 ｏ） 平 解 行 研 １ Ｉ－， ＋】…× １ Ｘ － ， ＋ 】 ＱＸ （， ） 用Ｍｔ 实 对（１的 衡 进 了 Ｘ １ 并 ｌ ａ ．
基 于 Ｍａｌ ｔ ｂ实验 的非 局部 反 应 扩散 逻 辑 ａ
方程解 的进 一步数值研 究
— 李 珊 孙斋 男 ｆ 珊 ，￣力 ▲ ＪＩ ’３ Ｉ １
（ 黑河 学院 数学系 ，黑龙江 黑河 １４ ０ ） ６ ３ ０
摘
要 ：论 文主要 考虑如下形式 的非局部 问题
Ｕ Ａ＋ｕｎ（ｔ （ｙｙ ∈ ， ０ ｔ ｕ ２Ｊ。 ） ｘ ）， Ｑｆ ， ＝ ，Ｌ ，ｄ ＞
第 ３卷 第 ８ ３ 期
２１ 年 ８ ０２ 月
湖南科技学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅ ｅ ｎ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｏ ｒ ａ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏ ｉｎ ｅａ ｄＥｎ ｉｅ ｒ ｏ ｔ Ｓ ｎ
、＿ －３Ｎ ｏ８ ，１３ ． ０
Ａｕ ．０ ２ ｇ２ １
Ｑ ： － Ｌ 十 × ・ －Ｌ ｎ 】 ∈ ． － ［ ｋ， 地】．× ｋ， ＋ ， Ｑ ．［ Ｘ
∈
Ｉ＝ｕ＋ － Ｉ “， （ ）， （，ｆ０ ｎ Ｄ ａ ｂ （） ｘ ｄｘ － ＞ ｔ ｕ “ Ｌ ， ｙ ∈ Ｌ） ， ｘ ｔ ｙ ＋ 一 肼 Ｍ ，
｛ （Ｌ ｆ＝ （， ＝ ， ｕ－ ， ｕＬ ｆ ０ ） ） ｔ０ ＞， （） １ ． ４
Ｕ ＝Ｄ Ａ ＋ ｔ 一 ｎ ｕＹ ｆ （，） ， （， ｘｙｄ ∈Ｑ，＞ｏ ） ｙ ｆ ，
，
｛ｌ＝， ｍ ０
ｌ（， ＝ｇ “ ｏ （） ）
其 中
ｔ０ ＞，
∈ ， Ｑ
（） １ ＿ ３
ｃ＝ ｛ ，
￣ ｋ （１ ［Ｌ 】…× ｆ ∈０ｌ － × ［ ，ｌ － Ｒ ， ＝ ＿
其中
， 是一个正的 ） 广义函 我们称其为影响函 它是以方差 为特征的， 数， 数， 并且可以 积分 通过 在任意维区域Ｑ
上进行正规化，Ｑ是具有非局部影响的区域， 我们发现个体在 处的 密度“ ｔ通过影响函 ， ） 数 （， 与Ｙ处密度 ｘ ） ｕｙｆ息息相关， （， ） 这就产生了非局部影响。
； ［］０ ｔ ６Ｏ ，我们 已经对简 单的非局部 问题 的解进行 了数值分析 ，【】 ￣ Ｅ ６中讨论的问题的非局部影响区域是一 个确 定的区间 ，
即非局部项中得 积分区间是一 个确 定的闭区间 ， 就使得无论是数值实验还是解析研究都容易了很多 。 这 若积分项的积分区间 与变量 ｘ有关 ，则相 应的非局部问题就变得 复杂 了，也 更贴近实 际生活 了，值得我们进行进一步的研究 。 本文中，我们考 虑以下非局部 问题
中图 分 类 号 ：０ ９ ２ 文献标识码：Ａ 文 章 编 号 ：１ ７ － ２ ９ （ ０ ２ ８ ０ ０ － ６ ６ ３ ２ １ ２ １ ）０ － ０ １ ０
１ 引言
伴 随着 科技和社会 的发展 ， 人们越来越关注与人 类生存息息相 关的环境和生态研究 ， 而作为生态 学分支的人 口动力学在
基 金项 目：黑龙江省教育厅科学技术研究项 目资助 （ 目编号 １ ５ １０ ） 项 １５ ３ ８ 。
作者简介：李珊 （９５ ） 女 ， １６ － ， 江苏人 ，黑河学院数学系主任，教授，主要从事偏微分方程和数理统计研究。孙丽男
（９３ ，女 ，黑龙江人 ，黑河学院数学系讲师 ， 士 ，主要从事偏微分方程研究 。 １８一） 硕
１
ａ （， ｕｘｔ ）
＝
。
（
（１ １） ＿
在［］ ４及许多文献 中，对于 （ ．）的平衡解 的研究 已经很充分 了，因此我们更加关注的是上述经典方程 的推广 形式【】 １ １ ５
２ （， ） Ｏ （， ＤａＵＸｔ ｕｘｔ ）
＿
ｏ ｔ
：
． “，一 ．） “， ）， （） ＋ （ｆ （ｆＱ（ｆ ，ａ 口 ） ） ｆ ） ｙ １ ｃ （ ， ． ２
Ｉ（，） ｇ ， ｘ０ ＝ （） ｕ
其中ｋ∈（， ， ０１ ］
一
∈ － ，） （Ｌ三，
也，＋
， ∈ ， ， 一
＝
，
，
我 按 ［中 方 ， （４进 非 数 ， 而 们 照６ 的 法 对 １ ） 行 维 化 从 有 】 ．
２
ｆ＝ 一 Ｊ材 ）， （，ｚｏ ＋ ｆｌ ， 一１＞ ￣ ｆ ∈ １， ， ，ｘ （ 一 ＋ ｋ ）
１ ． 若 ＜ ／ ４，上述 问题有一个稳定 的平衡解 Ｕ＝ ０；
２ ． 若 ＞ ｎ ／ ４，上述 问题有两个稳定 的平衡解 ＝ Ｏ和 “ ＝Ｕ ＞ ０． Ｔ ／ ＂ 其中 ｎ＝ １２ … ，从而为进一步研 究非局部问题 的解析解奠定基础 。 ，，
关键词 ：非局部反应扩散方程 ；数值 实验 ；平衡解 ；稳 定性；分歧
自然界 的各个领 域都有 着广泛 的应 用 ，通过 人 口动力 学的研 究 ，人们 可 以更好 地认识 和了解 自然模式 的形 成和发展 ，见 ［，， ，局部反应 扩散方程恰恰成为人们研究过程 中的一个经典之作 ，其有 如下形式［］ １ ３ ２】 ４：
收 稿 日期 ： ２ １ —０ —０ Ｏ２ ６ ６
｛ 一， ＝ （ ＝０ （１） １） ， ， Ｉ（，） ｇ（） ｘ０ ＝ １ ， ｕ ｔ０ ＞， ∈ 一，， （１） １ （５ １） ．
以 我 将 过 值 验 究（５的 衡 的 在 与 定 。 下 们 通 数 实 研 １） 平 解 存 性 稳 性 ．
｛ｌ＝ ， ｕ ０ ｍ
ｌ（，） ｇ（wenku.baidu.com ｕｘｏ ＝ ｌ
其 中
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＝
ｔ０ ＞，
Ｘ Ｑｌ ∈ ，
（） ０ ． １
，
并 Ｊ （ｌ ＝＝３：［： 且 ∈ ， 【： ： 二 ｊ ｏ 二 ： ｝ １
Ｑ＝ｘ ｋ １ × 【 ｋ ｎ ，∈ ，＝Ｘ… ，利 ａｂ 验 ｏ） 平 解 行 研 １ Ｉ－， ＋】…× １ Ｘ － ， ＋ 】 ＱＸ （， ） 用Ｍｔ 实 对（１的 衡 进 了 Ｘ １ 并 ｌ ａ ．
基 于 Ｍａｌ ｔ ｂ实验 的非 局部 反 应 扩散 逻 辑 ａ
方程解 的进 一步数值研 究
— 李 珊 孙斋 男 ｆ 珊 ，￣力 ▲ ＪＩ ’３ Ｉ １
（ 黑河 学院 数学系 ，黑龙江 黑河 １４ ０ ） ６ ３ ０
摘
要 ：论 文主要 考虑如下形式 的非局部 问题
Ｕ Ａ＋ｕｎ（ｔ （ｙｙ ∈ ， ０ ｔ ｕ ２Ｊ。 ） ｘ ）， Ｑｆ ， ＝ ，Ｌ ，ｄ ＞
第 ３卷 第 ８ ３ 期
２１ 年 ８ ０２ 月
湖南科技学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅ ｅ ｎ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｏ ｒ ａ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏ ｉｎ ｅａ ｄＥｎ ｉｅ ｒ ｏ ｔ Ｓ ｎ
、＿ －３Ｎ ｏ８ ，１３ ． ０
Ａｕ ．０ ２ ｇ２ １
Ｑ ： － Ｌ 十 × ・ －Ｌ ｎ 】 ∈ ． － ［ ｋ， 地】．× ｋ， ＋ ， Ｑ ．［ Ｘ
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Ｉ＝ｕ＋ － Ｉ “， （ ）， （，ｆ０ ｎ Ｄ ａ ｂ （） ｘ ｄｘ － ＞ ｔ ｕ “ Ｌ ， ｙ ∈ Ｌ） ， ｘ ｔ ｙ ＋ 一 肼 Ｍ ，
｛ （Ｌ ｆ＝ （， ＝ ， ｕ－ ， ｕＬ ｆ ０ ） ） ｔ０ ＞， （） １ ． ４
Ｕ ＝Ｄ Ａ ＋ ｔ 一 ｎ ｕＹ ｆ （，） ， （， ｘｙｄ ∈Ｑ，＞ｏ ） ｙ ｆ ，
，
｛ｌ＝， ｍ ０
ｌ（， ＝ｇ “ ｏ （） ）
其 中
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∈ ， Ｑ
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￣ ｋ （１ ［Ｌ 】…× ｆ ∈０ｌ － × ［ ，ｌ － Ｒ ， ＝ ＿
其中
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； ［］０ ｔ ６Ｏ ，我们 已经对简 单的非局部 问题 的解进行 了数值分析 ，【】 ￣ Ｅ ６中讨论的问题的非局部影响区域是一 个确 定的区间 ，
即非局部项中得 积分区间是一 个确 定的闭区间 ， 就使得无论是数值实验还是解析研究都容易了很多 。 这 若积分项的积分区间 与变量 ｘ有关 ，则相 应的非局部问题就变得 复杂 了，也 更贴近实 际生活 了，值得我们进行进一步的研究 。 本文中，我们考 虑以下非局部 问题
中图 分 类 号 ：０ ９ ２ 文献标识码：Ａ 文 章 编 号 ：１ ７ － ２ ９ （ ０ ２ ８ ０ ０ － ６ ６ ３ ２ １ ２ １ ）０ － ０ １ ０
１ 引言
伴 随着 科技和社会 的发展 ， 人们越来越关注与人 类生存息息相 关的环境和生态研究 ， 而作为生态 学分支的人 口动力学在
基 金项 目：黑龙江省教育厅科学技术研究项 目资助 （ 目编号 １ ５ １０ ） 项 １５ ３ ８ 。
作者简介：李珊 （９５ ） 女 ， １６ － ， 江苏人 ，黑河学院数学系主任，教授，主要从事偏微分方程和数理统计研究。孙丽男
（９３ ，女 ，黑龙江人 ，黑河学院数学系讲师 ， 士 ，主要从事偏微分方程研究 。 １８一） 硕
１
ａ （， ｕｘｔ ）
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（１ １） ＿
在［］ ４及许多文献 中，对于 （ ．）的平衡解 的研究 已经很充分 了，因此我们更加关注的是上述经典方程 的推广 形式【】 １ １ ５
２ （， ） Ｏ （， ＤａＵＸｔ ｕｘｔ ）
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：
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