微积分(经管类第四版)习题1-6答案
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续之吉白夕凡创作一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xx x f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与持续 【2 】一.填空题1.已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f .2.=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为. 5.=-∞→x e xx arctan lim .6.⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .7.=+→xx x 6)13ln(lim0.8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x . 11.已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数xxx f +=13arcsin )(的界说域是__________.13.lim ____________x →+∞=.14.设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________.二.选择题1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .2.xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有. （Ａ）α是比β高阶的无限小; （Ｂ）α是比β低阶的无限小;（C ）α与β是同阶无限小; （D ）βα~.3.函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处持续,则=k .（Ａ）23; （Ｂ）32; （C ）1; （D ）0. 4.数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n .（Ａ）1; （Ｂ）1-; （C ）∞;（D ）不消失但非∞.5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的.（Ａ）持续点;（Ｂ）可去间断点;（C ）跳跃间断点;（D ）振荡间断点. 6.以下各项中)(x f 和)(x g 雷同的是（ ）（Ａ）2lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; （Ｂ）x x f =)(,2)(x x g =;（C ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=.7.||sin lim0x xx →= （ ）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （C ）0; （D ）不消失. 8.=-→xx x 10)1(lim （ ）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （Ｃ）e ; （Ｄ）1-e .9.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →消失的（ ）（Ａ）充分必要前提;（Ｂ） 充分前提;（C ）必要前提;（D ）既不充分也不必要前提. 10.=-+∞→)1(lim 2x x x x （ ）（Ａ）1; （Ｂ）2; （C ）21; （D ）0. 11.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有（ ） （A ）n n b a <对随意率性n 成立; （B ）n n c b <对随意率性n 成立;（C ）极限n n n c a ∞→lim 不消失 ; （D ）极限n n n c b ∞→lim 不消失.12.当1→x 时,函数11211---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２; （Ｂ）等于０;（Ｃ）为∞;（Ｄ）不消失但不为∞. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 （1）12sin2lim -∞→n nn x ;（2）xxx x cot csc lim0-→ ;（3）)1(lim 1-→∞xx e x ; （4）xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→;（5）1cos cos 21cos 2cos 8lim 223-+--→x x x x x π; （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;（7）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→. ３.试肯定b a ,之值,使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x . ４.运用极限消失准则求极限(1)nn n n 13121111131211lim++++++++++∞→ .（2）设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证实n n x →∞lim 消失,并求此极限值.5.评论辩论函数xx xx n n n n n x f --∞→+-=lim )(的持续性,如有间断点,指出其类型.6.设)(x f 在],[b a 上持续,且b x f a <<)(,证实在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f .第一单元 函数极限与持续习题解答一.填空题1.x 2sin 2.2sin 22)2sin21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.2.0 .016249lim )1()34(lim3222=+-++=-+∞→∞→xx x x x x x x x .3.高阶.0)cos 1(lim )cos 1(tan lim sin tan lim000=-=-=-→→→x xx x x x x x x x ,x x sin tan -∴是x 的高阶无限小.4.0>k .x 1sin为有界函数,所以要使01sin lim 0=→xx kx ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k .5.0.0arctan lim =-∞→x e xx ))2,2(arctan ,0lim (ππ-∈=-∞→x e xx .6.2=b .b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0,2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f ,,)0(b f =2=∴b .7.212163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x .8.e x ≤≤1依据题意 请求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1. 9.21-=-x ey )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .10.ae 2原式=a aa x xa ax x e ax a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→. 11.23-=a 由231231~1)1(ax ax -+（运用教材P58(1)1ax ax +-）与221~1cos x x --,以及1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x axx ax x x , 可得 23-=a . 12.2141≤≤-x 由反三角函数的界说域请求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ,⇒)(x f 的界说域为2141≤≤-x . 13.0limlimx x =22lim0x ==.14.2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x aa-,所以x=3at a + 即：3211lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t→∞→∞+=++-=38a e =2ln 32ln 8ln 318ln 33===⇒=a a .15.2)2(2)1(lim)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→2121)111(2lim =++++=+∞→nn n .二.选择题1.选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.2.选（Ｃ）])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim31311x x xx x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα23)1(31)1(1lim1=-⋅+-=→x x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-）3.选（A ） 233121lim 1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x xx x x f x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-） 4.选（Ｂ）1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1nn n n n n n-→∞→∞--=--=-5.选（Ｃ）1)0(=-f , 0)0(=+f , 0)0(=f 6.选（Ｃ）在（A ）中2ln )(xx f = 的界说域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的界说域为0>x ,)()(x g x f ≠∴故不准确在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错在（D ）中1)(=x f 的界说域为R,x x x g tan sec )(2-=的界说域为}2,{ππ+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错7.选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→xxx x x x ||sin lim0x xx →∴不消失8.选（Ｄ） 1)1(110)](1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x xx xx ,9.选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0x f x x →消失,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不必定有)(lim 0x f x x →消失,例如x x 1sinlim 0→,函数11sin 1≤≤-x有界,但在0=x 点极限不消失10.选（Ｃ）（lim ()lim x x x x x x →∞→∞==211111lim2=++=∞→xx 11.选（D ） （A ）.（Ｂ）显然不对,因为稀有列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情形,不可能得出“对随意率性n 成立”的性质.（Ｃ）也显著不对,因为“无限小·无限大”是不决型,极限可能消失也可能不消失.12.选（D ）002)1(lim 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1111121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞.三.盘算解答 1.盘算下列极限： （1）解：x x x n n n n n n 222lim 2sin2lim 11=⋅=-∞→-∞→.（2）解：2200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====.（3）解：11lim )1(lim 1=⋅=-∞→∞→xx e x x xx . （4）解：3212133])2111[(lim )1221(lim )1212(lim +-∞→∞→∞→-+=-+=-+x x x x x x x x x x . 113332211[lim(1)][lim(1)]1122x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--（5）解：)1)(cos 1cos 2()1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3223+-+-=-+--→→x x x x x x x x x x ππ212112141cos 1cos 4lim 3=++⨯=++=→x x x π.（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1limtan cos sin 1lim00x x x x x xx x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin limx x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=. 0lim(12x →+=（7）解：])1(1321211[lim +++⨯+⨯∞→n n x )]111()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)111(lim =+-=∞→n x . （8）解：33123232323241)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =+=--=--+→→→x xxx x x x x . ３.解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==231b a４.（1） 1111211111312111++<+++++++++<n nn n而 1111lim=+++∞→n x 113121111131211lim=++++++++++∴+∞→nn n x .（2）先证有界（数学归纳法）1=n 时,a a a ax x =⋅>=12设k n =时,a x k >, 则a a ax x k k =>=+21数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,11<==+nnn n n x ax ax x x 且0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞→∴lim 消失,设A x n n =∞→lim ,则有 aA A =⇒0=A （舍）或a A =,a x n n =∴∞→lim５.解：先求极限 得 00010111lim )(22<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f xxn 而 1)(lim 0=+→x f x 1)(lim 0-=-→x f x 0)0(=f)(x f ∴的持续区间为),0()0,(+∞-∞0=x 为跳跃间断点..６.解：令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在],[b a 上持续而0)()(>-=a a f a F0)()(<-=b b f b F由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f .第二章 导数与微分一.填空题1.已知2)3(='f ,则hf h f h 2)3()3(lim--→=.2.)0(f '消失,有0)0(=f ,则xx f x )(lim→=.3.πππ1arctan++=x y x ,则1='x y =.4.)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '=;y ''=.5.曲线xe y =在点处切线与衔接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行. 6.)]1ln[arctan(x y -=,则dy =. 7.42sin x y =,则dx dy =,2dx dy=. 8.若txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '=.9.曲线12+=x y 于点_________处的切线斜率为2. 10.设xxe y =,则_______)0(=''y . 11.设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy eyx 肯定,则________=dxdy. 12.设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12则________22=dx yd . 二.单项选择 1.设曲线xy 1=和2x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =（ ）. （Ａ）1-;（Ｂ）1; （C ）2-;（Ｄ）3. 3.函数x ke xf tan )(=,且e f =')4(π,则=k （ ）.（Ａ）1;（Ｂ）1-; （C ）21;（Ｄ）2. 4.已知)(x f 为可导的偶函数,且22)1()1(lim-=-+→xf x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(-处切线的方程是.（Ａ）64+=x y ;（Ｂ）24--=x y ;（C ）3+=x y ;（Ｄ）1+-=x y .5.设)(x f 可导,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220=.（Ａ）0;（Ｂ）)(2x f ; （C ）)(2x f ';（Ｄ）)()(2x f x f '⋅.6.函数)(x f 有随意率性阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()(x fn =.（Ａ）1)]([+n x f n ;（Ｂ）1)]([!+n x f n ;（C ）1)]()[1(++n x f n ;（Ｄ）2)]([)!1(x f n +.7.若2)(x x f =,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim000=（ ）（Ａ）02x ; （Ｂ）0x ; （C ）04x ; （Ｄ）x 4.8.设函数)(x f 在点0x 处消失)(0x f -'和)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '消失的（ ）（Ａ）必要非充分前提;（Ｂ）充分非必要前提; （C ）充分必要前提;（Ｄ）既非充分又非必要前提. 9.设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ） （Ａ）99;（Ｂ）99- ; （C ）!99;（Ｄ）!99-. 10.若)(u f 可导,且)(2x f y -=,则有=dy （ ）（Ａ）dx x f x )(2-';（Ｂ）dx x f x )(22-'-;（C ）dx x f )(22-';（Ｄ）dx x f x )(22-'. 11.设函数)(x f 持续,且0)0('>f ,则消失0>δ,使得（ ）（A ）)(x f 在),0(δ内单调增长; （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调削减;（C ）对随意率性的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;（D ）对随意率性的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >.12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 处可导,则（ ）（A ）0,1==b a ; （B ）b a ,0=为随意率性常数; （C ）0,0==b a ; （C ）b a ,1=为随意率性常数. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）xey 1sin 2=,求dy ; （2）⎩⎨⎧==3ln t y t x ,求122=t dx yd ;（3）y y x =+arctan ,22dxy d ; （4）x x y cos sin =,求)50(y ;（5）xxx y )1(+=,求y '; （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有持续的一阶导数,求)()(a f a f '''、; （8）设)(x f 在1=x 处有持续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dxdx .2.试肯定常数b a ,之值,使函数⎩⎨⎧<-≥+++=0102)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导. 3.证实曲线a y x =-22与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线互相垂直.4.一气球从距离不雅察员500米处离地匀速铅直上升,其速度为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问不雅察员视角的倾角增长率为若干.5.若函数)(x f 对随意率性实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证实)()(x f x f ='.6.求曲线5323-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程.第二章 导数与微分习题解答一.填空题 1.1-1)3(21)21()3()3(lim 2)3()3(lim00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2.)0(f ')0(0)0()(lim )(lim00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3.ππ+x ln 1ln -+='ππππxy xππ+='∴=x y x ln |14.x x f cos )sin 1(⋅+',x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''5.)1),1(ln(--e e 弦的斜率1011-=--=e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y .6.])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--)1()1(11)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12x d x x x d x dy --+⋅-=--=])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--=7.432sin 4x x ,422sin 2xx 433442sin 44cos sin 2x x x x x dxdy =⋅⋅= 4222sin 22x x xdxdy dx dy == 8.t t te e 222+ttx x te xt t f 22)11(lim )(=+=∞→t t te e t f 222)(+='∴9.)2,1(x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,21120=+=y12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为210. 2x x xe e y +=' ,xx x xe e e y ++=''2)0(00=+=''∴e e y11.)sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程双方对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e yx解得 )sin()sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++.12.34cos sin t tt t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy tt 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得32224cos sin 21sin cos 21'')'()'(ttt t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===. 二.选择题1.选（Ｄ） 由⎪⎩⎪⎨⎧==21xy x y ⇒交点为)1,1(,1|)1(11-='==x x k ,2|)(122='=x x k3|1||)tan(|tan 211212=+-=-=∴k k k k ϕϕϕ3.选（Ｃ） x x k e x f k xk21tansec tan )(⋅⋅='-由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒21=k 4.选（A ） 由xf x f x f x f x x 2)1()1(lim2)1()1(lim00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y 5.选（Ｄ） )()(2])([)()(lim2220x f x f x f xx f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6.选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(32x f x f x f x f x f ='⋅='='')(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()1(x f x f n x fn n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴7.选（Ｃ） )(22)()2(2lim )()2(lim 0000000x f xx f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆又x x x f 2)()(2='=' ,004)(2x x f ='∴8.选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要前提是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都消失且相等. 9.选（Ｄ）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f另解：由界说,)99()2)(1(lim 0)0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x!99!99)1(99-=⋅-= 10.选（Ｂ） )(2)()(])([2222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-dx x f x dy )(22-'-=∴11.由导数界说知0)0()(lim)0('0>-=→xf x f f x ,再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)0()(>-xf x f ,从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,是以C 成立,应选C. 12.由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处持续b b ax x f xx x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01sinlim )(lim 0020,所以0=b .又a xax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-++→-→→+0)0()(lim )0(,01sinlim 0)0()(lim )0(0200,所以0=a .应选C. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）dx x x x e x d edy xx)1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e xx x1sin 222sin 1-=（2）32313t tt dxdy ==,3222919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d （3）双方对x 求导：y y y'='⋅++2111⇒12+='-y y)11(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 21cos sin == )22sin(2cos π+=='∴x x y )222sin(2)22cos(2ππ⋅+=+=''x x y 设)22sin(21)(π⋅+=-n x yn n则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(ππ++=⋅+=+n x n x yn n nx x y 2sin 2)2502sin(24949)50(-=⋅+=∴π（5）双方取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=双方求导：xx x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(xxx x x x y x +-++-+='∴（6）运用界说：!2005)2005()3)(2)(1(lim )0()(lim)0(00=++++=-='→→x x x x xf x f f x x（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴又ax a x a x x a x a f x f a f a x ax --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim)()(lim)(ϕϕϕ )]()()([lim x ax a x ax ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'=[注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知,故只能用界说求.]（8）]121)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++→→x x x f x f dx d x x121sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=++→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f2.易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处持续.即)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→而020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭⎪⎬⎫=++=+-→→b a x f a b x f x x 又 b xa b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+22)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00a x axx e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1102b a b a b a 3.证实：设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2020b y x =00对a y x =-22双方求导：yx y y y x ='⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率010|y x y k x x ='== 又由2xb y x b y b y x -='⇒=⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率2020|x by k x x -='== 又 1)(00200021-=-=-⋅=y x b x b y x k k ∴两切线互相垂直.4.设t 分钟后气球上升了x 米,则500tan x=α 双方对t 求导：2575001405001sec 2==⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时, 4πα=∴当500=x m 时,50721257=⋅=dt d α（弧度/分） 5.证实：hx f h f x f h x f h x f x f h h )0()()(lim )()(lim)(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )0()()(lim )0()()()(lim00-=⋅-⋅=→→)()0()(x f f x f ='⋅=6.解：因为x x y 632+=',于是所求切线斜率为3|63121-=+=-=x x x k ,从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即063=++y x又法线斜率为31112=-=k k 所以所求法线方程为)1(313+=+x y ,即 083=+-x y 第三章 中值定理与导数运用一.填空题1.=→x x x ln lim 0__________.2.函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.3.函数()43384x x x f -+=的极大值是____________.4.曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的.5.函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.6.曲线xxey 3-=的拐点坐标是_________.7.若()x f 在含0x 的()b a ,（个中b a <）内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.8.123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点.9.________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x . 10._________)tan 11(lim 20=-→xx x x . 11.曲线2x e y -=的上凸区间是___________. 12.函数1--=x e y x的单调增区间是___________. 二.单项选择1.函数)(x f 有持续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim x xx f x （ ） （Ａ）不消失 ;（Ｂ）0 ;（Ｃ）-1 ;（Ｄ）-2.2.设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的; （Ｂ）单调减凹的; （Ｃ）单调增凸的;（Ｄ）单调减凸的.3.)(x f 在),(b a 内持续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x =处（ ）（Ａ）取得极大值; （Ｂ）取得微小值;（Ｃ）必定有拐点))(,(00x f x ;（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点.4.设)(x f 在[]b a ,上持续,在),(b a 内可导,则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要前提; （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分前提; （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要前提;（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分前提,也不是必要前提.5.设)(x f .)(x g 在[]b a ,持续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <;（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <; （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >. 6.方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内（） （Ａ）无实根; （Ｂ）有独一实根; （Ｃ）有两个实根; （Ｄ）有三个实根.7.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内持续,且0)0(=f ,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导; （Ｂ）可导,且0)0('≠f ; （C ）取得极大值; （Ｄ）取得微小值. ８.设)(x f 有二阶持续导数,且0)0('=f ,1||)("lim=→x x f x ,则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值; （Ｂ）)0(f 是)(x f 的微小值; （Ｃ）))0(,0(f 曲直线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点.9.设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上持续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内（ ） （A ）只有一实根; （B ）至少有一实根; （C ）没有实根; （D ）至少有2个实根. 10.在区间]1,1[-上知足罗尔定理前提的函数是（ ） （A ）21)(x x f =; （B ）||)(x x f =; （C ）21)(x x f -=; （D ）12)(2--=x x x f .11.函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增长的（ ） （A ）必要但非充分前提; （B ）充分但非必要前提;（C ）充分必要前提; （C ）无关前提. 12.设)(x f y =是知足微分方程0'"sin =-+xey y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在（ ）（A ）0x 的某个邻域单调增长; （B ）0x 的某个邻域单调削减; （Ｃ）0x 处取得微小值; （Ｄ）0x 处取得极大值. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 (1)1arccos lim 1+-+-→x xx π;(2)xxx ln cot ln lim 0+→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;(5)30arctan limxxx x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→. 2.证实以下不等式(1).设e a b >>,证实ab b a >. (2).当20π<<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+.3.已知x x y sin 3=,运用泰勒公式求)0()6(y .4.试肯定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,nax 与33)1ln(x x +-为等价无限小.5.设)(x f 在[]b a ,上可导,试证消失)(b a <<ξξ,使[])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-.6.作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值.7.若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3x f x x F =,试证：在)1,0( 内至少消失一个ξ,使0)('"=ξF .第三章 中值定理与导数运用习题解答一.填空题1.00)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==→→→→x xx x xx x x x x x2.),(+∞-∞0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增3.20)2(121224)(232--=-='x x x x x f令2,00)(21==⇒='x x x f当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f∴极大值为 20)2(=f4.)1,1(-31243+-='x x y ,)1)(1(1212122-+=-=''x x x y当1-<x 时,0>''y .当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y∴曲线在)1,1(-上是凸的5.m m x m x x 242)!2(1)1(!41!211-+++-（赐教材P13页,泰勒公式） 6.)32,32(2-e )31(3333x e xe ey x x x-=-='--- ,)32(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当32>x 时0>''y而当32=x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2-e7.0)(0='x f ,0)(lim )()(lim)("000000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增长;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调削减 8.10232>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增长又-∞=-∞→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点.9.61 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 10.31 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 2202203020==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 11.)22,22(-22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令220"±=⇒=x y ,当)22,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)22,22(-. 12.),0(+∞ 函数1--=x e y x的界说区间为),(+∞-∞,在界说区间内持续.可导,且1'-=xe y ,因为在),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增长.二.选择题 1.选（Ｃ） 12)(lim 21)(lim )(lim0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2.选（Ｂ） 当)1,21(∈x 时,0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,21(∈x)(x f ∴在)1,21(上单调减且为凹的.3.选（Ｄ） 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 是3)(x x f =的拐点;设4)(xx f =,则0)0(")0('==f f ,而0=x 是4)(x x f =的极值点.4.选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要前提是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数）,又因为)(x f 在],[b a 内持续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡.5.选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调削减,),(b a x ∈ )()()()(b f a f x g x f <∴. 6.选（Ｄ） 令13)(3+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ;当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调削减 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长. 而3)1(=-f ,1)1(-=f-∞=-∞→)(lim x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根.７.选（Ｄ） 运用极限的保号性可以剖断)(x f 的正负号：0cos 1)(02cos 1)(lim0>-⇒>=-→xx f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取微小值. 8.选（Ｂ） 由极限的保号性：0||)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）,)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分前提,0=x 是)(x f 的微小点.9.选（B ）由罗尔定理保证至少消失一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf .10.选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不持续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f .11.选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要前提.12.选（Ｃ）,由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y ex y ,所以)(x f 在0x 处取得微小值. 三.盘算解答1.盘算极限（1）解： 1arccos lim 1+-+-→x x x π12111arccos 21lim 21+-⋅=+-→x x x x π2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→xx x x xx x x x x x x . (3)解： 613cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：21])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 31)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x . (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 220cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b+→⋅⋅==⋅⋅ 2.(1)证实：b a a b b a ab ln ln >⇔>令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上持续0ln )(>-='xa a x f ],[b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增长,)()(a f b f >∴得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即ab b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2,0(π∈x 时03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x xx x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2π上单调增,又00lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x ++→→=+-= 0(0,),()lim ()02x x f x f x π+→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3.解： 麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 212153m m m x o m x x x x x +--+-+-=-- ++-==∴!5!3sin 8643x x x x x y 比较 6x 的系数有：120!3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4.解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2113-=⇒=-a an 5.即证：332()()[3()()]b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 令)()(3x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上知足拉格朗日定理的前提 ),(b a ∈∃∴ξ,使)()()(ξF ab a F b F '=-- 即3323()()3()()b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-6.解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系222r hrRR h r=⇒=-rhrhhRV23131222-⋅==∴ππ)2(rh>222222)2()42(31)2()2(231rhhrhhrrhrhrhhrdhdV---=---=ππ令⇒=0dhdV独一驻点rh4=所以,当rh4=时,体积最小,此时32238241631rrrrrVππ=-⋅⋅=7.解：由题设可知)('"),("),('),(xFxFxFxF在]1,0[上消失,又)1()0(FF=,由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF,又0|)](')(3[)0('32=+==xxfxxfxF,可知)('xF在],0[1ξ上知足罗尔定理,于是),0(12ξξ∈∃,使0)("2=ξF,又0|)](")('6)(6[)0("32=++==xxfxxfxxxfF,对)(''xF在],0[2ξ上再次运用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ,使得0)('"=ξF.第四章不定积分一.填空题1.⎰dx xx=___________.2.⎰xxdx2=_____________.3.⎰+-dxxx)23(2=_____________.4.⎰-dxxxxsincos2cos=___________.5.⎰+xdx2cos1=____________.6.dttt⎰sin=___________.7.⎰xdxx sin=___________.8.⎰xdxarctan=__________.9.=+⎰dxxx2sin12sin____________.10.⎰=''dx x f x )(____________. 11.⎰=++dx x x 1)3(1________________. 12.⎰=++__________522x x dx .二.单项选择1.对于不定积分()dx x f ⎰,下列等式中（ ）是准确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰;（B ）()()x f dx x f ='⎰;（C ）()()x f x df =⎰;（D ）()()x f dx x f dx d =⎰. 2.函数()x f 在()+∞∞-,上持续,则()[]dx x f d ⎰等于（ ）（A ）()x f ;（B ）()dx x f ;（C ）()C x f +;（D ）()dx x f '.3.若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（ ）（A ）()()0=-x G x F ;（B ）()()0=+x G x F ;（C ）()()C x G x F =-(常数);（D ）()()C x G x F =＋(常数).4.若⎰+='c xdx x f 33)(,则=)(x f （ ） （A ）c x +3556;（B ）c x +3559;（C ）c x +3;（D ）c x +. 5.设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(（ ）（A ）c x x ++)ln 4121(2;（B ）c x x ++)ln 2141(2; （C ）c x x +-)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4121(2. 6.设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（ ）（A ）c x +--22)1(2;（B ）c x +-22)1(2;（C ）c x +--22)1(21;（D ）c x +-22)1(21. ７.=+-⎰dx e e x x 11（ ）。
微积分经管类第四版吴赣昌习题全解第六章定积分的应用
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线x y =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形不管表达为X-型仍是Y-型，解法都较简单，因此选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D 61)2132(1223=-=x x（⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形不管表达为X-型仍是Y-型，解法都较简单，因此选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010）∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，因此用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，因此也能够解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（假设用X-型做，那么第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，因此用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 别离交于21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部份，求这两部份的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部份的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，因此用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 别离交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S xxxx D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，因此用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的概念域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x b y a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：第一依照给出的条件成立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），因此可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，因此0<a ），将（1，2）代入bx ax y +=2，取得2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D取得唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方和x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后依照图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒x e y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e e y xx -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xe y ex x 1∴222)(1211e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方式做。
微积分(经管类第四版)习题1-6答案
习题1-61(1)错.无穷小是趋向于0，非常小是趋向于负无穷(2)对(3)对(4)错.，趋向于无穷大，则，设x x g x f xx g x x f ===)()(1)(1)(2 (5)错.，趋向于无穷小，则，设0)()()()(=+-==x g x f x x g x x f 2(1)无穷小 (2)无穷小 (3)无穷大 3，所以对任意给定的0,0-1sin >≤εx x x 时为无穷小为，即故时，就有则当，，要取要使01sin 01sin lim 0-1sin 00-1sin 0→==<<<=<→x xx y x x x x x xx x εδεδε 4(1)3)23(lim 23lim =+=+∞→∞→xx x x x (2)2)2(lim 24lim 020=+=--→→x x x x x (3)∞→→→→xx x x cos -110cos -11cos 0，，时，当 5存在极限，1lim lim 0/1==∞→∞→e e x x x不存在极限，+∞==∞→→e e x x x 0/10lim lim 6是有界函数，则假设x x y cos = ()，所以函数不是无穷大此时的情况，时，存在当内无界，在故函数所以假设不成立，，，使得显然不存在，00cos -cos cos cos ==∞→∞+∞=≤≤∴≤≤y x x x x y M x M Mx x x x M x x 7是有界量，时，)(0x g x x → 是无穷大即，则，时，恒有使得当，内无限增大，则存在在假设是无穷大，时，时，恒有使得当，内有界，则存在在假设)()(0)()(.)(000)()(.)(000)(222202*********x g x f M M x g x f M x f x x M x x x g x f x x M x g x x M x x x g ±=±≥±≥<-<><-<→≤<-<><-<δδδδ 8，内无限增大，则存在在假设’00)(0><-<M x x x g δ是无穷大即则时，恒有使得当’’)()(.)()(.)(00x g x f MM x g x f M x f x x ≥≥<-<δ。
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案三
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习 题 三（A ）1．根据导数定义求下列函数的导数：（1）; )0()(>=x x x f（2）; )0(1)(2≠=x x x f（3）; )0()(32≠=x x x f （4）. )0(log )(>=x x x f a解：(1)xx x x f 2121)()(2121=='='- (2)322)'()(---=='x x x f (3)313232)'()(-=='x x x f (4)nax a x e xx x f e a a 111log 11log 1)'(log )(∙=∙==='2．求下列曲线在指定条件下的切线方程； （1）曲线23x x y +=的与直线x y 5=平行的切线； （2）余弦曲线x y cos =在点2π=x 处的切线；（3）双曲线xy 1=的经过点（2，0）的切线.解：(1)5,5==k x y 则直线23x x y += 5232=+='x x y 可得11=x ,352-=x21=y 或27502-=y 。
斜率为5，且经过)2,1(或)2750,-35(-的斜率为35-=x y 或271755+=x y(2)=-==2sin 'x x y -1 当2π=x 时0=y∴斜率为,1-且经过)0,2(π的斜线为x y -=2π(3))0,2(得直线为 b kx y += 过)0,2( ∴ 02=+b k k b 2-=∴k kx y 2-= xy y 1=-= k xy =-='21则 kx 1-±= k y -±=)0(<k),1(k k--在k kx y 2-=上, ∴代入x x y k -=+-=-=22,13．如一直线运动的运动方程为,122++=t t s 求在3=t 时运动的瞬时速度.解：22',122+=++=t s t t s 当3=t 时，8='s ∴s m v t /83==4．设函数)(x f 在点a x =可导，求： （1）0lim→∆x ; )()(x x a f a f ∆∆-- （2）0lim →h ; 2)3()5(h h a f h a f --+（3）)(a f '，如已知0lim →t . 61)3()(=+-t a f a f t解：(1)0lim→∆x )(')()()(lim )()(0a f x a a x a f a f x x a f a f x =∆--∆--=∆∆--→∆ (2))(')()()(lim 2)3()5(lim 080a f x a a x a f a f h h a f h a f h k =∆--∆--=--+→→ (3)2)(61)3()(3lim 31)3()(lim 030-='=+--=+-→→a f t a f a f t t a f a f t t t5．设)(x f 可导，求 )]([)]([lim 220xx f x x f x ∆-∆+→∆.解：xx f x x f x f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+=∆-∆+→∆→∆)]()([)]()([lim )]([)]([lim 02206．设函数)(x f 在0=x 点连续，且极限,23)(lim 0=+→xx f x 问函数)(x f 在0=x 点处是否可导？若可导，求. )0('f 解：23)(lim=+→x x f x f(x) 在0x =点连续，∴3)(,23)(lim 00-==+=→x x x f x x f 2x3x)(lim x f(0)x)(lim )(f )(lim)0(0x 0x 0=∆+∆=∆⋅∆=∆⋅∆+='→∆→∆→∆f f x x x x f f x7．求函数x x x x f -=2)(的不可导点.解：x x x x f -=2)(当02≥-x x 时，即1≥x 或0≤x x x x x x f 23)()(223-='-='当02<-x x 时，即 32)(',102x x x f x -=<<，0)0()0(='='+-f f)(')(2)(2)(])()([lim )('0x f x f x f x f x f x x f x f x =∙'=+∆+=→∆1)1(-='-f 1)1(='+f )1()1('≠'∴+-f f ∴ 1x =为f(x)的为不可导点8．设a x x xs x f a,0 ,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=在什么条件下可使)(x f 在点0=x 处 （1）连续； （2）可导； （3）导数连续.解：x x xx x f 1cos ,1sin 0x 00x 1sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=为有界函数函数 1）连续 0a 0)0(1sin x lim 1sin x lim a 0a 0>∴===+→-→f xx x x2）可导xx x x x x f x f a x a x x ∆∆=∆∆∆=∆-∆++∆='-→∆→∆→1sin )(lim 1sin )(lim)0(01sin0)x (lim )0(100a 0存在1 01>∴>-∴a a 此时 0)0(='f3）导数连续⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='--0 x 00 x 1cos 1sin )(21xxx ax x f a a 若)('x f 再0x =处连续， 则 20)0()0(lim )0(lim 0>⇒='='='+→-→a f f f x x9．设)(x f 可导且,0)0(=f 证明)sin 1)(()(x x f x F +=在0=x 点可导，并求).0(f '解：)0(0)(lim 0sin 1)((lim )0()0(lim )0('00f xx f x x x f x F x F F x x x '=∆+∆=∆-∆+∆=∆-∆+=→∆→∞→10．对于函数),(x f 如xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0存在，是否)(x f '必存在？解：不一定，如x x f =)(，此极限在0=x 处为0，但)0('f 不存在.11．设)()()(x g a x x f -=，(1)若)(x g 在点a x =连续，求)('a f ；(2)若点a x =是)(x g 的间断点，)(x f 是否在a x =处必不可导，为什么？解：1))()()()()(),()()(a g x g a x x g a f x g a x x f a x ='-+='-==2) 如A x g ax =→)(lim ，则A a f =)('.如)(lim a g ax →不存在，则)('a f 不存在.12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 x 0,0 x ,1)(2e x xf 则下列结论正确的是（ ）. A ．)(x f 在0=x 点间断B ．)(x f 在0=x 点连续，但不可导C ．)(x f 在0=x 点可导，但)(x f '在0=x 点间断D ．)('x f 在0=x 点连续解：D. x x xe x e xx e x1312122121-=-='⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+，x x x x e x e xx e x e x 1412213121621=--=-="⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+lim)(lim 02lim )(lim )(lim 4140013==''=-='=→→→→→e x x f e x x f x f x x xx x x0=x ，时 0)()()(=''='=x f x f x f )(x f '∴在0=x 点 连续13．设)(x f 为可导函数，且满足12)1(4lim0-=-+→x x f x求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程. 解：12)1(4lim-=-+∞→xx f x 则4+f(1)=0 f(1)=42211c o s 11s i n 11xy y x y --=--=-='='xx f x x f x f x f f x x x ∆∆++=∆∆++=∆-∆+='→∆→∆→∆2)21(4lim 2)1(4lim )1()1(lim )1(00022))2(1(4lim20=∆-∆--+-=→∆xx f x所以k=2且经过)4,1(-则切线为62-=x y14．设)(x f 是偶函数，且在点0=x 可导，证明：.0)0(='f解：f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导为: )()(x f x f '=-'-所以0)()(='+-'x f x f当x=0时，等式变为0)0(2='f 所以0)0(='f15．求下列函数的导数：（1）; 13524xx x y +-= （2）; )1(x x y += （3）;215xx y +=（4）; ln 1ln 1x xy +-=（5）x x y a nlog = （6）; 133xx y -=（7）; sin 2x y x = （8）;3 2x y x -= （9）; cos 1xxy -=（10）; cot tan x x x y -= （11）; arctan s x y = （12）; arccos x e y x = （13）; cos sin 2cos xx xy +=（14）; ln tan 2x x x y =（15）; 5log 222++=--x y x （16）. 1111ln xx x x y -++--+=解：1)23241620' 135xx x y xx x y --=+-=2)xx x xx x x y 213)1(21])1[(+=++='+='3)22)22222)1(1(5)1(52)1(515x x x x x x x x y +-=+-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+' 4))x ln 1(2 x)ln (1)ln 1(x 1- x)ln 1(1) ln 1 ln 1(22+-=+-+-='+-='x x x xxy5))ln 1log (ln 1log )log (11aa x x a x x a nx a x y x n nx n x n +=+='='-- 6)3413323233223338313)1(xx x x x x x xx y +-=---='-'7) x)cos 2sin x (ln 2 x cos 22sin x 12) x sin 2(x x x +=+='='n y x 8)3) ln 2(333ln 3)3()(2222x x x x x x x e y x x x -+-==='-9)2)cos 1(sin cos 1)cos 1(x xx x x x y ---='-=' 10)x csc x cot x -x sec )cot x x -x (tan 22+='='y 11)21arctan x )arctan x (xx x y ++=''12)22x xx-11-x (arccos 1e - x arccos e ) x arccos(x x e xe y =-='='13)=+--+-='+=2)cos (sin 2cos )sin (cos )cos (sin 2sin 2)cos sin 2cos ('x x x x x x x x x xy =++---2)cos (sin 2cos sin 2cos cos cos 2sin 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x)c o s (s i n )c o s (s i n 2s i n )s i n (c o s x x x x x s x ++-+-x x x x x x x x x c o s s i n )c o s (s i n )c o s (s i n )c o s (s i n 2s i n 12--=++-=+--=14)=++='='x x x x x x x x nx x x y tan ln sec ln tan 2)1tan (222)t a nln sec ln tan 2(2x x x x x x x ++ 15)32222ln )25log 2(-----='++='x x y xx16))111211(ln)1111(ln 2'+-+---++='-++--+='xx x x x xx x x y=2222211111.1.11xx x x x x x-=----- 16．应用反函数求导法则证明： （1）; 11)(arctan xx +=' （2）. 11)(arccos 2xx --='解：1)tany x arctan x y 11)(arctan 2==+='x x yy x 2cos 1)(tan ='=' 22211t a n 11c o s 1xy y x y +=+=='=' 2)211)(arccos xx --=' x y arccos = y x cos =y y x sin )(cos -='=' 2211cos 11sin 11xy y x y --=--=-='='17．设函数1)(3-+=bx ax x f y 有反函数)(x g ，且曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，求常数a ，b.解：因为函数1)(3-+==bx ax x f y 有反函数)(x g ，且曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，所以函数f(x)过点(1,2),又因为曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，所以a= 1,b = 2.18．求下列分段函数)(x f 的)(x f '，:)1(),0(f f ''（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0; x ,e 0, x ,1sin )(x x x f （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<=.02- ,tan ,2x 0 ,arctan )(x x x x f ππ解：1) )(x f ' = .)1(.1(0), 0,0,cos 10e f e f x e x x x='=='⎪⎩⎪⎨⎧≥< 2)=')(x f.21111)1(.10cos 1)0(,02,sec 21,112222=+='=='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-<<+f f x x x x ππ19．求下列函数的导数：（1）;)15()53(53++=x x y （2）;41)23(23x x y ++= （3）;ln )ln(33x x y += （4）;12xx y += （5）);)(cos (sin x nx y n = （6）;11lnxx y -+=（7）;2tan ln x y = （8）;2cos 5x y = （9）;csc sec 22a x a x x y += （10）;1cot 2xx y +（11）;arcsin 12x x x y +-= （12）);ln(22222a x x a a x x y ++++= （13）;12arctan 2xxy -= （14）;1arccos 2xx y -= （15）;2xa ey -= （16）;xx x x e e e e y --+-=（17）;11arctanxxy +-= （18）;sin log 2x a e y =（19）;1ln 1arctan 22---=x x x y（20）b a a x u y x b ,()]([)(υ+=常数)(),(x x u υ可导）；（21）;x x x y ++= （22）;arcsin ln x y = （23）x xy cot )1(= （24）;)(sin cos x x y =（25）;x x y = （26）33224+++=x xx y（27）322)3(31x xx x y +--=（28）.)211(x xy -= 解：1)])15()53[(53'++='x y3452)53(*1)(5x *5*5 )15()53(*3*3+++++=x x x ;)15()53)(134120(42+++=x x x2)]41)23[(23'++='x x y322418*21)23(416x x x x x ++++=;41)1636(223xx x x +++=3).ln 11(311*)(ln 3131*1]ln )[ln(323232333xx x x x x x x y +=+='+='-- 4)322222)1(111221]1[x x x xx x xx y +=++-+='+='.5)]) nx)(cos [(sin n '='x yx n x nx x x n n n 1cos *)sin (sin cos cos --+=)cos sin sin cos (cos 1x x nx x nx n n n --=6).)1(1)1(2121*11]111[2x x x x xxxx xxxn y -=--+-+-='-+='7).csc sin 12cos 2sin 2121*2cos 1*2tan1]2tan 1[2x xx x x x x n y ===='='8).sin .2cos 4521*)2sin (2cos 5]2[cos 345x x x x x y -=-='='9)).cot csc tan (sec 2)sin 1cos 1(]csc 1[sec 222222ax a x a x a x a ax ax ax x y -='+='+=' 10).1csc 1cot 21*1sin 11cot 2]1cot [22222x x x xxx xx xx y +=--+='=' 11).12111221]arcsin 1[22222x x x x x x x x y -=-+--+-='+-='12)])ln([22222'++++='a x x a a x x y22222222222122ax x a x x aax x xa x ++++++++=.222a x +=13).12)1(22)1(2*)12(11]x-12xtan[2222222x x xx x x x arc y +=--+--+'='14)2222112)2(*arccos 1*11]1arccos [x x x x x x xx y -------='-=';11)1(a r c c o s 232x x x x ---=15);ln 2)2(*ln **][22222a exax a aeey xxxa x x a a ------=-='='16);)(4)()()(][2222x x x x x x x x xx x x e e e e e e e e ee e e y ------+=+--+='+-='17)2)1()11(*1121*1111]x 1x -1 tan[x x x xx x x arc y ++---+-+-+='+=';1212x--=18)x e e ae y x x x a 2**cos *ln sin 1]e sin [log 2222x ='=';c o t ln 222x x e xe a=19)]111x tan [22'---='x nx arc yxx x xx x x xx ln *11221122*11122222-------+=;)1(ln 32-=x x x20);)()()]([])]([[)(1)(na x v a x u x u b a x u y x v b x v b '+'='+='-21)]['++='x x x y)211(*211[*21xxx xx x +++++=;812422xx x x x x x x x x ++++++=22);arcsin 2121*11*arcsin 1]x arcsin[ln 2xx x xxxy -=-='='23) ]cot )1[('='x xy][c o t )1l n ('=x x e)]1(*cot *1ln)sin 1[*221lncot xx x x xe xx -+-=);cot ln (csc )1(2cot xxx x x x -= 24)])[(sin cos '='x x y][s i n ln cos '=x x ex]cos *sin xxcos sin x ln sin [*)(sin cos +-=x x x sin x);sin xln - x cos x (cot x)(sin cosx =25)x x y =，即x x y ln ln =， 所以)(ln )(ln '='xxy ，即x x x xy y +='ln 21*1所以)2ln 1(xxxy x+='；26));242(24]24[322332332+-++++='++='x x xx x x xx x x x y27)];)9(39112[)3(31])3(31[2322322x x x x x x x x x x x x y --+-++--='+--='28)x x y )211(-=,即x xy )211ln(ln -=,所以 ])211[ln()(ln '-='x x y ,即])211ln([*1'-='xx y y 所以].21)211[ln()211(xx x x y x -+--='20．设)(x f 可导，求下列函数的导数：（1）; )()(x f x e e f y = （2）; )](sin[)(sin 22x f x f y += （3）; )1(arcsin xf y = （4）. )](arctan[x f y =解：1）])([)('='x f x e e f y)(**)(**)()()(x f e e f e e e f x f x x f x x '+'=)];()()('[)(x x x x f e f x f e f e e '+=2）))](sin[)(sin (22'+='x f x f y )(c o s )()(22s i n )(s i n 22x f x f x f x x f '+'=3）;1)1(arcsin )1(*111*)1(arcsin ])x 1sin ([222-'-=--'='='x x x f x xx f arc f y4）;f 1(x)f') tan[f(x)](2(x)+='='arc y21．设,12)(2x x x f -='求.])1([2'-x f 解：.21*1112)1(*)1(])1([222222-=--+--='--'='-xx xx x x f x f22．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=1 x 1),-sinb(x 1x ),ln()(22a x x f 在点1=x 可导，求b a ,.解：因为f(x)在1x =处可导，所以f(x)在1x =处一定连续.所以有⎪⎩⎪⎨⎧==='='+→→+--0)1()(lim )(lim )1()1(11f x f x f f f x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)1ln(01222a a b ，所以.2,0==b a23．设曲线2ax y =与x y ln =相切，求a .解：因为曲线2ax =y 与x y ln =在ex =处相切，所以)()(21x y x y '='，即xax 12=,所以ax 21=,此时21=y .所以an21121=,所以ea 21=.24．设)(x f 是可导周期函数，证明)('x f 也是周期函数.解：因为f(x)是可导周期函数，设T 为f(x)的周期，所以T)f(x f(x)+=,所以)()(T x f x f +'=',所以(x)f '也是周期函数。
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案二
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习 题 二1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限： （1）; )1(1>=a ax nn （2）; 3)1(nn x -= （3）; 11ng x n = （4）; )11()1(nx n n +-= （5）; 1)1(3n x n n -+= （6）; 1sec nx n =（7）; 2642)12(531limn n n ++++-++++∞→ （8）. 2121121211lim )1(22-∞→++++++n n解：1）收敛.因为当∞→n 时,; )1(>∞→a a n 所以; 0→n x 所以. 01lim lim ==∞→∞→nx n x ax2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数n n x x n n 313 所以n x 是发散的;3)发散的.因为当∞→n 时,01→n ;所以-∞→=ng x n 11; 4)因为⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n x n 1 1 所以n x 是发散的;5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31)1(3→-+=n x n n ;即∞→x lim 3=n x ; 6)收敛的.当∞→n 时,01→n ;11sec →n ;即∞→x lim 1=n x ; 7)因为nn n n n n n n +=+-+=++++-+++12)22(2)121(2642)12(531 ;所以∞→x lim11=+nn; 所以是收敛的;8)因为23211)21(1212112121121211121)1(221=----=++++++----n n n n1211-+n所以2321123lim 1=+-∞→n x ; 所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为; 21 , , 21 , 21,11-n 2所以通项为; 211-=n n a 所以∞→x lim 0=n a ;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）; )0(lim 0>→μμx x （2）; )0(lim <∞→μμx x（3）; 1) , 0(lim 0≠>→a a x x （4）; 1) , 0(lim ≠>∞→a a x x（5）; 1) , 0(log lim 1≠>→a x a x （6）; arccos lim 1x x -→（7）; arctan lim 1x x → （8）. cos lim x x ∞→解：1）当0x →时,∞→x lim ; 0)0(=>u x u2）∞→x lim ∞→=<x u u x lim)0(; 0)0u (1=<-ux3）∞→x lim 1)1 , 0(=≠>a a a x4） 0; 1<a∞→x lim ⎩⎨⎧><=≠>.1 1.1 0)1 , 0(a a a a a x 所1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1=≠>-→a a a x x6)π=-→x arccos lim 1x 所以; 1cos -=π7). 4x arctan lim 1π=-→x8)x cos lim ∞→x 的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）; 0 , )(==x xx x f （2）; 0 ,3)( 1==xx f x（3）; 0 ,1arctan )(==x x x f（4）. 1 , 21 , )1arcsin(1 , )1(11)(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<+=x x x x x g x f解：1)10lim -→x +→≠-=0lim 1)x (f x ; 1)(f =x 所以该点的极限不存在2)10lim -→x ≠=0)x (f +→0lim x ; )x (f ∞=所以该点的极限不存在3)10lim -→x ; 2f(x)lim 2-f(x)0ππ=≠=+→x 所以该点的极限不存在4) ; 0)x (f lim 211)x (f lim 11=≠=+-→→x x g 所以该点的极限不存在5．用δε-或N -ε的方法陈述下列极限：（1）; )(lim A x f ax =+→ （2）; )(lim A x f ax =-→（3）; )(lim A x f x =+∞→ （4）. )(lim A x f x =-∞→解：1)当δ<-<a x 0时 ξ<-A x f )(2)当δ<<x -a 0时 ξ<-A x f )( 3)当M x >时 ξ<-A x f )( 4)当-M x <时 ξ<-A x f )(6．用极限的严格定义（即δε-或N -ε的方法）证明下列极限： （1）; 01lim4=∞→nn （2）; 31135lim22-=+-∞→n n n（3）; 01lim 1=++-→x x （4）. 010lim =-∞→x x解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使ξ14>n 即1n ξ>成立所以对于任意给定的ξ,存在41N ξ=当N n >时恒有ξ<-014n成立,故01lim4=∞→n x2)对于任意给定的ξ,要使ξ<++-3113522n n 成立即29316 )(1lim ξξ->+∞=→n x f o x x 成立所以对于正数ξ,存在293-16N ξξ=成立当N n >时恒有ξ<++-3113522n n 成立 所以31135lim22-=+-∞→n n x 3)由于10)(+=-x x f 所以对于任意给定的0>ξ,存在2ξδ=当δ<+<10x 时 恒有ξ<-0)(x f 成立 故01lim 1=++-→x x4)对于任意给定的正数ξ要使ξ<-010x 成立即ξ1g x >成立 所以存在. 1g X ξ=当X x >时恒有ξ1g x >成立 即. 010lim =∞→x x7．求下列极限：（1）; )(lim 330hx h x h -+→ （2）; 11lim 1--→x x n x（3）;)2(arctan lim1x x x ++∞→ （4）; 11lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x xx （5）; 11lim220xx x +-→ （6）; 231lim3xx x +--∞→（7）; 22312lim 4---+→x x x （8）. )31(lim 22---++∞→x x x x x解：1）22203322303303)33(lim 33lim )(lim x h xh x hx h xh h x x h h h x h h h =++=-+++=-+→→→2)n x x n x =--→11lim 1 3）12)1(arctan lim 2arctan lim 1+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→πx x x x x 4)x x x x x x xx x x x x x 1lim)1()1)(1(lim )11(lim 1121+=-+-=---→→→ 5)2)11(lim )11(lim11lim20222022-=++-=-++=+-→→→x xx x x x x x x6))31)(2(91231lim33+-+--=+---∞→x x x xx x)31)(2()42)(2(33323+-++-+=x x x x x2-= 7))312)(22()312)(312(lim22312lim44++--++-+=---+→→x x x x x x x x)312)(22()4(2lim 4++---=→x x x x)312()22(2lim 4+++-=→x x x322=8))31(lim 22---++∞→x x x x x)3142(lim 22--++++=∞→x x x x x x1)31111142(lim 2=--++++=∞→xx x x xx8．求. 3545lim 1-∞→+-n n n解：51)53(95)54(411lim3545lim211=+-=+-∞→++-∞→n nn n n n nn9．下列数列}{n x ，当∞→n 时是否是无穷小量？ （1）; 31050nn x =（2）[]; 1)1(1n x nn -+=（3）. n n n x =解：1)是无穷小量 因为0lim =∞→n n x2)是,因为0lim =∞→n n x (n 为奇数或者偶数)3)不是.10．当0→x 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）;100 3x y = （2）; 1012100x y =（3）; )1(log 2x y += （4）; 4cot x y =（5）; 2sec ⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π（6）. 1sin 1xx y =解：1)是无穷小,因为0lim 0=→y x2)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim3)是无穷小量,因为0lim 0=→y x4)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim5)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim6)非大非小11．已知)()(lim 0x g x f x x →存在，而0)(lim 0=→x g x x ，证明. 0)(lim 0=→x f x x解：因为, 5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=存在 而0)(lim 0=→x g x x所以; 0)(lim 0=→x f x x12．设31lim 21=-++→x bax x x ，求a ，b .解：因为3lim 1lim 121=+=-++→→y x x b ax x x x所以1)2)(1(12---=-++x x x x b ax x 所以1a =,2b -=13．设011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求a ，. b解：011lim )11(lim 222=+----+=--++∞→∞→x bbx ax ax x b ax x x x x所以即b bx ax ax x ----+221为一常数 所以-1b 1a ==14．当0→x 时，下列变量中与423x x +相比为同阶无穷小的是（B ）.A ．xB ．2xC ．3xD ．4x解：B ． 因为3131lim3lim 204220=+=+→→x x x x x x15．求. 28159lim 4823+--∞→n n n n n解：3281591lim281593lim4835482=+--=+--∞→∞→nn n n n nn n n16．设a x →时∞→)(x f ，∞→)(x g ，则下列各式中成立的是（D ）.A ．∞→+)()(x g x fB ．0)()(→-x g x fC ．0)()(1→+x g x f D ．0)(1→x f解：D.因为a x →时∞→f(x),∞→g(x)，所以0)(1→x f ，0)(1→x g .17．求下列极限 （1）; )72()43()12(lim 510--+∞→x x x x （2）. )cos 100(1lim 32x xx x x +++∞→解：1)=--+∞→510)72()43()12(limx x x x 32243232)72()43()12(lim15510151515510==--+∞→x x x x x x 2)x)105100(1111lim)105100(1lim 232+++=+++∞→∞→xx x x x x x x x18．求下列极限：（1）; 3sin 2sin lim0x x x → （2）; sin sin lim 0xx xx x +-→（3）; 5arctan 2lim0x x x → （4）; sin lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n π（5）; sin lim x x x -→ππ （6）; cos 1lim 0xxx -+→（7）; cos 1cos 1lim20x x x --→ （8）; sin tan lim 0xxx x -→（9）; sin tan cos lim 0x x x x x x --→ （10）. 65)1sin(lim 21-+-→x x x x解：1)3232lim 3sin 2sin lim00==→→x x x x x x2)0sin 1sin 1lim sin sin lim00=+-=+-→→xx x xx x x x x x 3)5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x4)ππππ===∞→∞→∞→nn nn nn n n n 1lim 1sin lim)sin (lim5)11cos lim ' )()(sin lim sin lim'=-=-=-→→→xx x x x x x x πππππ 6)2)'2sin 2()'(lim2sin2limcos 1lim 000===-+++→→→xx xx xx x x x7)2 8)0)cos cos 1(lim ')'sin (tan lim sin tan lim 2000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x x9)1cos lim )cos (sin )cos 1(lim sin tan cos lim0==-=--→→→x xx x x x x x x x x x10)7111lim )6)(1(1lim65)1sin(lim 1121=+=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x19．设3)1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ，. b解：因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221=+-++=-++→→x x bax x x b ax x x x所以)5)(1(2+-=++x x b ax x所以-5b . 4==a20．设nn n n x n ++++++=22212111 ，用极限存在的夹逼准则求. lim n n x ∞→解：因为nn nx n nn +≤≤+22111而111lim 2=+∞→n nn ，11lim 2=+∞→nn nn所以1lim =∞→n n x21．求下列极限：（1）; 31lim 3xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ （2）; )21(lim 13+∞→-xx x（3）; 21lim 30x x x +→ （4）; )tan 1(lim cot 210x x x -→+（5）; 1232lim 1+∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x （6）. 1312lim 10xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→解：1). ])31[(lim )31(lim 9933e xx xx x x =+=+∞→∞→2). )21(*])21[(lim )21(lim 3232213---∞→+∞→=--=-e xx x xx xx3). 323221030])21[(lim 21lime x x x x xx =+=+→→4). e x)tan 1(*]x)tan 1[(lim x)tan 1(lim 2-2tanx 12cotx -10=+++-→=→x x5). 1x)1221(lim )1232(lim 212121x e x x x x x x =+++=++++∞→+∞→6)xx x x x x x x 1010)131(lim )1312(lim --=--→→ =331)311(lim +-→-+x x x=. e22．设xx x k x x xx 2sinlim lim 2∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-，求. k解：因为.222sin 2lim 2sinlim ==∞→∞→xx x x x x所以. 2)1(lim )(lim 22*2==-=--∞→-∞→k kk xx x x e xk x k x 所以. n2121k =23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=; 0 , 0,0 , 1sin )(2x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=. 0 , 1, 0 , sin )(x x xx x f解：1)因为0x)(f lim 0=→x ，而0f(0)=.所以f(x)在定义域上是连续的。
微积分第四版曹定华李建平课后习题答案
习题 1.1
微积分第四版曹定华 李建平课后习题答案
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习题 1.2
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习题 1.3
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经管类 微积分 资料答案详解第四章 中值定理与导数应用
第四章 中值定理与导数应用一、填空1、)4()3()2()1(f f f f ===，)(x f 在[1,2] ，[2,3] ，[3,4] 上均满足罗尔定理条件，所以在每个开区间内都存在且仅存在一点i ξ使得0)(='i f ξ，即方程0)(='x f 在每个区间内都有且仅有一个根，共有3个根。
2、34)(x x f ='，151212)(44=--='ξf ，即1543=ξ，3415=ξ 3、因为)(x F 在0=x 处连续，所以有)(lim )0(0x F F x →=即)(lim 0x F A x →=a b a f xxa x f x f x x a x f x F A x x x x +=+'=+--=+==→→→→)0(sin lim 0)0()(lim sin )(lim)(lim 0004、3ln ,13ln 3ln 3lim 13lim 00====-→→a aa ax x x x x5、0232=+='p x y ，将驻点1±=x 代入得23-=p 6、令22)1(2)1()1()1(+=+--+='x x x x y 函数在[0,4]内无驻点和不可导点， 1|0-==x y ，53|4==x y ，函数在[0,4]上的最小值是1min -=y 7、令0134)1()1(32)(322312=-='-⋅-='-x x x x x f ，得驻点01=x ， 函数有不可导点13,2±=x ， 1)0(=f ，0)1()1(==-f f 函数在[-1,1]上的最大值是1，最小值是0 8、∞=-→xx e 11lim0，铅垂渐近线为0=x ；111lim =--∞→x x e ，011lim =-+∞→xx e ， 水平渐近线是0=y 和1=y9、由于函数只有一条水平渐近线1=y 且∞=+∞→)(lim x f x ，所以1)(lim =-∞→x f x 10、2arctan lim lim ,2arctan lim lim21ππ-====⋅==-∞→-∞→+∞→+∞→x x x x y a x x x x y a x x x x1111lim 12arctan lim )2arctan (lim 22-=-+=-=-=∞→∞→∞→xx x x x x x b x x x ππ斜渐近线为2条，分别为12-=x y π和12--=x y π11、0)()()()()(lim )()(2)(lim 020=''=-----+=-+-+→→a f hh a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h h 12、0)(6|),(6212=-=''-=''=b a a y b ax a y x ，a 与b 的关系为0≠=b a13、a x x f b ax x x f 26)(,23)(2+=''++='⎪⎩⎪⎨⎧=+=''=='==026)1(0)0(1)0(a f b f c f ⎪⎩⎪⎨⎧==-=103c b a 13)(23+-=x x x f二、选择题1、A ，B 不满足第三个条件，C 不满足第二个条件，选D2)(x f 在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，在(a,b)内至少存在一点ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ成立，0)(,0,0)()(>'∴>->-ξf a b a f b f 选B3、)(x f 在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件，在(1,3)内至少存在一点ξ使得2113)1()3()(-=--='f f f ξ成立，由导数的几何意义知曲线在ξ点的切线与x y 21-=平行。
高等数学经管类参考答案与提示
参考答案与提示习题1-21、7)0(=f ；27)4(=f ；9)21(=-f ；732)(2+-=a a a f ；62)1(2++=+x x x f2、1)2(-=-f ；0)1(=-f ；1)0(=f ；2)1(=f3、（1）[)(]1,00,1 -；（2）1>x （3）[]3,1- （4）()()()+∞∞-,22,11,4、（1）x y 2cos 2+=（2）23cot x arc y =习题1-31. （1）5；（2）1；（3）不存在；（4）不存在 2．（1）2；（2）25；（3）23；（4）32-；（5）12-；（6）1. 习题1-41. (1)无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大（∞-）；（4）-→0x 时是无穷小；+→0x 时是无穷大；2. （1）同阶无穷小；（2）高阶无穷小；（3）等价无穷小3. （1）1；（2）21；（3）23；（4）1 习题1-5（1）．24;（ 2）.0;（ 3）.35；（4）.∞；（5）.503030532⋅；（6）.21-；（7）.0；（8）.1259-；（9）.24925+；（10）.0 习题1-61．（1）35；（2）1x xsin lim x -=-→ππ；（3）4；（4）32（5）2；（6）2 2．（1）8e ；（2）1-e ；（3）32-e；（4）2-e （5）5e ；（6）e习题1-71.1=a ；1=b2.（1）1±=x 是第二类间断点中无穷间断点；（2）0x =是第二类间断点中的无穷间断点；（3）1=x 是第一类间断点中可去间断点；（4）1-=x 是第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点3.（1）)1ln(+e ；（2）232；（3）e a log 3；（4）1 复习题一1、（1）1；（2）[]2,1)0,2(⋃-；（3）[)3,0；（4）3；（5）ke ；（6）23；（7）2；（8）第一类间断点且可去间断点2、（1）C ；（2C （A.1x y -=；1x y .C --=）；（3）B ；（4）B ；（5）C ；（6）D ；（7）A ；（8）A3、（1）34；（2）312x x )1x sin(21x lim =-+-→；（3）2-e ；（4）1)x (sin x sin 330x lim =→；（5）31；（6）0)2x (sin xx 3x 2x lim=+-+∞→；（7）a cos ；（8）4π-4、1=a5、23=a 6、6b ,4a == 7、（1）21；（2）a 28、（1）11=x 是第一类间断点且是可去间断点，22=x 是第二类型无穷间断点；（2）01=x 是第一类间断点且是可去间断点，)(22Z k k x ∈+=ππ是第二类型无穷间断点；（3）0=x 是第一类间断点且是可去间断点；（4）0=x 是第一类间断点且是跳跃间断点 9、1=a习题2-11、(1) √ (2) × (3) × (4) × (5) × (6)、√2、2126()v t t =+∆+∆ 0.10.012|12.61|12.0601|12t t t v v v ∆=∆=====3、()2f x '=4、 (1) 在0x =处连续且可导(2) 在0x =处连续，但不可导5、切线方程：210x y --= 法线方程：230x y +-=6、t t d dtθ=7、dT dt习题2-21、 (1) × (2) × (3)、× (4)、√ (5)、×2、 (1) (0)0()2f f ππ''== (2) (0)1()1f f π''==- (3) (0)0(1)13f f ''== (4) 11(1)(4)418f f ''=-=-3、略4、 (1)2664x x ++ (2)212ln 2xx -(3)12632220xx x -----(4)1cos x x +(5)(ln sin cos )xa a x x ⋅+ (6)1cos ln sin x x x x⋅+(7)2983x x +- (8) 22(2tan 2sec )sec x x x x x ++(9) 31221122x x ---- (10)2sin 1cos x x x x ++-(11) 11222(1)x xx -+-- (12)22cos (sin 1)x x -- (13) cos 1sin x x x -+ (14) 22sin cos cos (1)x x x x x x +++(15)122ln 22xxx x --- (16)3cos 2sin 2x x xx- 5、切线方程：ln 210x y -+= 法线方程：ln 2ln 20x y +-= 6、切点坐标：(1,1)-- 切线方程：20x y ++= 法线方程：0x y -=习题2-31、(1)√ (2) × (3)× (4) ×2、(1) 2(41)xe x x ++(2) (3) tan x -(4) 23ln (1)+1x x + (5))1x ln n (nx 1n +- (6) 222sin 2sin 2sin cos x x x x x +(7)(8) (9) 24()x x e e ---(10)arcsin x(11)(12) 2242(1)16x x x -++ 3、()(1)(4)824f x f f '''===4、切线方程：20x y e --= 法线方程：230x y e +-= 5、30x y --习题2-41、(1)223(1)a y - (2)x ayax y+-+ (3)x y x y e y e x ---+ (4)21y xy - (5)y y e x -+ (6)cos()cos()x y x y e y xy e x xy +++-+2、 (1)232(2)31y y y x x x +-+-+ (2)cot 224(1)xxy y ye x x e +-- (3)(cos ln cos sin tan )y x x x x - (4) ln(5)5xyy x x -+-+ 3、(1)232te - (2) tan t 4、32t dydx π==-- 5、 (1)在0x =处切线方程：210x y +-= 法线方程：220x y -+=(2)在2t =处切线方程：43120x y a +-= 法线方程：3460x y a -+=习题2-51、 (1) 221(ln 3)3xx -(2) 22csc cot x x ⋅ (3)22(arctan )1x x x ++ (4) 2sec (tan sec )x x x + (5) -322(1)x x -+ (6) 21(ln 1)x x x x x-++2、(1) (1)7,(1)4,(1)0f f f ''''''=== (2)11(1),(0)2,(1)22f f f ''''''-==-= 3、 (1)0 (2) 3(ln3)xn(3)()11(2)!ln 1(1)(3)n n n n y x y y n xx--'''=+==-⋅≥ (4) ()xn x e + (5) 12cos(2)2n y x n π-=+⋅(6) 11(1)!5n ny n x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4、略5、 (1)(4)4sin x ye x =-(2) (5)22sin cos 16cos y x x x x x =-- (3)(20)0y = 6、31cot 3,sin 3a θθ--。
经管类微积分(上)参考答案
经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章 函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二 一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。
五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章 测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章 导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ． 五、212x +. 第三章 测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章 中值定理与导数的应用 习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章 测验题 一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章 不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21． 三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31． 二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2． 二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(． 四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2． 五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章 定积分及其应用习题一 一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22． 五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ． 三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727． 五、10/100Q Qe -． 六、31666． 七、1．2； 2．2ln 21．。
微积分第四版答案曲面的概念+曲面的第一基本形式
§ 1曲面的概念1.求正螺面'=｛ u m ,u •匸.，bv ｝的坐标曲线.解u-曲线为'={u - '二，u '1 1 ,bv J }= {0,0 , bv：} + u {八宀，：n- 1- ,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为'=｛心：；八，Y •匚，bv ｝为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面"=｛a （u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为，=｛ a （u+" ）, b （u-门），2u^｝=｛a , b、,0｝+ u｛a,b,2 J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;v-曲线为'=｛a （"：+v）, b C ' -v ）,2 一〕v｝= ｛a ：l, b‘），0 ｝+v｛a,- b,2 1 ｝表示过点（a^ , b "」,0）以｛a,-b,2 ‘‘ - ｝为方向向量的直线。
3. 求球面・；' 一上任意点的切平面和法线方程。
解心= （一乩乞尬0亡。
2卩厂订呂如朴羽口旦召｝心｛一匸cos sin p,a co; & cos（p F0）任意点的切平面方程为x-a cos^?cy - a cos 5 sin 炉-jcin ^sin 妒Q cos^i ctos (p 即xcos 「cos'" + ycos - si n 山 + zsin - a = 0法线方程为z - ju_ JZ7COS 呑z- a ccs^oas q? y- acos T9SITL込一肚sm®4•求椭圆柱面/ ■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,解椭圆柱面1 的参数方程为x = cos= asiz = tr e = (-Ljsin Ebe 恥 $0}。
所以切平面方程为:5•证明曲面 是常数。
的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积E =〔叫羊｝* x y uv斥二｛0 丄- + -^—^3。
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习题1-6
1(1)错.无穷小是趋向于0，非常小是趋向于负无穷
(2)对
(3)对
(4)错.，趋向于无穷大，则，设x x g x f x
x g x x f ===)()
(1)(1)(2 (5)错.，趋向于无穷小，则，设0)()()()(=+-==x g x f x x g x x f 2(1)无穷小 (2)无穷小 (3)无穷大 3，所以对任意给定的0,0-1
sin >≤εx x x 时为无穷小为，即故时，就有则当，，要取要使01sin 01sin lim 0-1sin 00-1sin 0→==<<<=<→x x
x y x x x x x x
x x εδεδε 4(1)3)23(lim 23lim =+=+∞→∞→x
x x x x (2)2)2(lim 24lim 02
0=+=--→→x x x x x (3)∞→→→→x
x x x cos -110cos -11cos 0，，时，当 5存在极限，1lim lim 0
/1==∞→∞→e e x x x
不存在极限，+∞==∞
→→e e x x x 0/10lim lim 6是有界函数，则假设x x y cos = ()，所以函数不是无穷大此时的情况，时，存在当内无界，
在故函数所以假设不成立，
，，使得显然不存在，00cos -cos cos cos ==∞→∞+∞=≤≤∴≤≤y x x x x y M x M M
x x x x M x x 7是有界量，时，)(0x g x x → 是无穷大
即，则，时，恒有使得当，内无限增大，则存在在假设是无穷大，时，时，恒有使得当，内有界，则存在在假设)()(0)()(.)(000)()(.)(000)(222202*********x g x f M M x g x f M x f x x M x x x g x f x x M x g x x M x x x g ±=±≥±≥<-<><-<→≤<-<><-<δδδδ 8，内无限增大，则存在在假设’00)(0><-<M x x x g δ
是无穷大即则时，恒有使得当’’)()(.)()(.)(00x g x f MM x g x f M x f x x ≥≥<-<δ。